广东省2021年春季高考数学模拟试卷一（含解析）

2021年广东春季高考数学模拟试卷(1)

注：本卷共22小题，满分150分。

一、单选题(本大题共15小题，每小题6分，满分90分)

1.已知集合/={2,3,4,6},5={1,2,3,4,5},则/口8=()

A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3}D.{2,3,4}

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用交集的定义计算即可.

【详解】

因为/={2,3,4,6},8={1,2,3,4,5},所以/Cl8={2,3,4}.

故选:D.

【点睛】

本题考查了集合交集的计算，属于基础题.

2.圆C-.Z+/=1的面积是()

Ttn

A.—B.—C.£D.2"

42

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆的方程即可知圆的半径，由圆的面积公式即可求其面积.

【详解】

由圆的方程知：圆C的半径为1,所以面积5=乃/=万，

故选：c

【点睛】

本题考查了圆的标准方程，由圆的方程求面积，属于简单题.

3.血585。的值为（）

友66V3

A.----------D.----------------C.---------I）.

2222

【答案】A

［解析］sin585°=sin（585°—720。）=sin（—135。）=一日.

x+y-2>0

4.已知实数x，V满足不等式组<3x—4y+820,则目标函数z=2x-y的最大值为（）

x<2

A.-2B.2C.-4D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

画出可行域，然后作出目标函数的一条等值线2x-y=0,通过平移等值线找到目标函数取最大值

的最优解，可得结果.

【详解】

如图

由z=2x-y,令z=0,则目标函数的一条等值线为2x-y=0

当该等值线经过点N（2,0）时，目标函数有最大值

所以Zmax=2X2-0=4

故选:D

【点睛】

本题考查线性规划的问题，此种类型的问题，常看几步：（1）画出可行域；（2）根据线性的和非线

性的理解z的含义，然后简单计算，属基础题.

5.设等差数列｛4｝的前〃项为S“，若4=7,$3=3,则4=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【解析】

【分析】

%+4d=7

由等差数列的性质得出,3x（3-l）,，解出q,d，即可求出

3a.+------------（1=3

I2

【详解】

设等差数列｛%｝的公差为d

解得％=-1,4=2

故选：D

【点睛】

本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.

6.如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分），已知

甲组数据的中位数为17,乙组数据的平均数为，则x+＞的值为（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】C

【解析】

【分析】

观察茎叶图，利用甲组数据的中位数与乙组数据的平均数分别求出X、y,相加即可.

【详解】

因为甲组数据的中位数为17,所以x=7,

因为乙组数据的平均数为，所以9+16上16+；。土『)-29=]74,解得y=7,

所以x+y=14.

故选：C

【点睛】

本题考查根据茎叶图求数据的中位数与平均数，属于基础题.

7.已知角8的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，若P(4,3)是角。终边上的一点，则cos。=()

3443

A.-B.-C.-D.一

5534

【答案】B

【解析】

【分析】

由尸的坐标求得I。尸I,再由任意角的三角函数的定义得答案.

【详解】

由尸(4,3),得[0冃=而子=5,

又角。终边经过尸(4,3),

八4

cose=—.

5

故选：B.

【点睛】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，是基础题.

8.在中，8c=10,sinN=丄，则A/BC的外接圆半径为（）

3

A.30B.15GC.20D.15

【答案】D

【解析】

【分析】

结合已知条件，由正弦定理即可求A/BC的外接圆半径.

【详解】

若外接圆半径为R,由正弦定理知：归5=27?,

sin/

3

AA=10x-=15,

2

故选：D

【点睛】

本题考查了正弦定理，由‘一=27?结合已知边角求外接圆半径，属于简单题.

sinA

9.下列函数为偶函数，且在（0,+力）单调递增的是（）

A.N=j_B-_y=x~+xC.y=2-x~D.y=-2

【答案】D

【解析】

【分析】

采用逐一验证法，先判断函数的定义域，然后计算根据奇偶性以及单调性的判断方法可得结果.

【详解】

对A：令片A（x）=\,定义域为（-℃,0）D（0,+OO）

/(-x)=R=自=/(x),所以函数为偶函数，

但该函数在(0,+8)单调递减，故A错

对B：令歹=/(%)=炉+x,定义域为夫

/(-x)=x2-x*/(x),所以该函数不是偶函数，故B错

对C：令y=/(》)=2-/,定义域为R

/(-X)=2-%2=./-(%),所以函数为偶函数且在(0,+8)单调递减，故C错

对D：令y=/(x)=|x|—2,定义域为火

/(—x)=国―2=/(x)所以函数为偶函数且在(0,+。)单调递增，故D正确

故选：D

【点睛】

本题考查函数的性质，熟练掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等，属基础题.

10.设a=3℃，6=0.53，c=bg3().5,则a,b.c的大小关系为()

A.a>b>cB.b>a>cC.0b>aD.a>0b

【答案】A

【解析】

【分析】

利用对数函数和指数函数的性质求解.

【详解】

解：♦••3°<3°5<3、•♦♦1<36<1，即l<a<3,

•/0<0,83<0.8°，A0<0,83<1,即0<6<1,

,/V=log3x在(0,+8)上为增函数，且0.5<1,

/.log30.5<log31=0,即c<0

a>b>c,

故选：A.

【点睛】

此题考查对数式、指数式比较大小，属于基础题

11.函数/(%)=尹1的定义域为()

A.[—1,2)kJ(2,+oo)B.(—l,+oo)

C.[―1,2)D.[-l,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意可得出关于X的不等式组，由此可解得函数/(X)的定义域.

【详解】

对于函数/")=中以，有，x+1>0

日八，解得xN-l且x02.

2-XHO

因此，函数=的定义域为[-1,2)"2,+8).

2-x

故选：A.

【点睛】

本题考查函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.

“\|^2+l（x<0）/、

12.已知函数/（x）=（'若则。的值是（）

I幺I>uI

A.-3或5B.3或—3C.-3D.3或—3或5

【答案】A

【解析】

【分析】

根据函数解析式，分别讨论。40,a>0两种情况，结合题中条件，即可求出结果.

【详解】

若a40,则/（4）="+1=10,.，.（7=—3（a=3舍去），

若a>0,则/（a）=2a=10,a=5,

综上可得，a=5或a=-3回.

故选:A.

【点睛】

本题主要考查由分段函数值求参数，属于基础题型.

13.《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，

深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求

此容器能放多少斛米”（古制1丈=10尺，1斛=1.62立方尺，圆周率乃=3）,则该圆柱形容器能

放米（）

A.900斛B.2700斛C.3600斛D.10800斛

【答案】B

【解析】

【分析】

计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算岀圆柱形容器的体积，由此可得出结果.

【详解】

设圆柱形容器的底面圆半径为尸，则r=——=一=9（尺），

2万6

所以，该圆柱形容器的体积为忆=7ir'X18=3X92X18=4374（立方尺），

4374

因此，该圆柱形容器能放米——=2700（斛）.

1.62

故选：B.

【点睛】

本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题.

14.已知直线/过点（0,-2）,当直线/与圆x2+/=2y相交时，其斜率〃的取值范围是（）

A.（-272,272）B.（-oo,-2扬U（2&,+8）

C.------,一D.-oo,------U——,+oo

4444

【答案】B

【解析】

【分析】

1-1-21

由圆的方程可得圆的圆心和半径，再由直线与圆相交的性质即可得"=」/,丄<1,即可得解.

“2+1

【详解】

圆/+丁=2、的方程可变为/+（"]『=],圆心为（0」），半径为1,

因为直线/过点（0,-2）,且斜率为％所以直线1的方程为丁+2=厶即厶—歹一2=0,

-1-2

若要使直线/与圆相交，则圆心到直线/的距离』=」/,1<1,

+1

解得kG卜oo,—2(2-^5+ooj.

故选：B.

【点睛】

本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

15.已知x,y的几组对应数据如下表：

X01234

y236910

根据上表求得回归方程?=哀+6中的5=2.2,那么匠=。

A.2D.-11.2

【答案】B

【解析】

【分析】

求出样本点的中心，再代入回归直线的方程，从而求得&的值.

【详解】

_0+1+2+3+42+3+6+9+10，

"：x=--------------------=2,y=----------------------=6,

55

样本点的中心（2,6）,

6-2.2x2+a=>a=1.6.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用样本点的中心求回归直线方程的截距，考查函数与方程思想，考查运算求解能力，属

于基础题.

二、填空题

16.已知平面向量a=(2,-2),6=(-1,w),若:丄力，则恸=.

【答案】V2

【解析】

【分析】

根据向量垂直的坐标运算列关系求参数即可.

【详解】

丄丄一一

解：二Q丄b，，Q•6=—2—=0，解得-1,

w=&.

故答案为：、伤.

【点睛】

本题考查了利用向量坐标运算求参数，属于基础题.

17.在各项均为正数的等比数列｛4｝中，若log2%+log2a8=1，则%.%=.

【答案】2

【解析】

试题分析：log2a2+log2a8=1=>log2<?2-a8=1=>a2-a8=2,又数列｛4“｝是等比数列，所以

%•%=。2'48=2

考点：本题考查等比数列的性质，对数式的运算

点评：解决本题的关键是熟练掌握等比数列的性质

18.若将一个质点随机投入如图所示的长方形N8CD中，其中/8=2,8C=1,则质点落在以48

为直径的半圆内的概率是.

n

【答案】-

4

【解析】

【分析】

利用几何槪型的概率公式，求出对应的图形的面积，利用面积之比即可得到结果.

【详解】

丄乃X*

设质点落在以48为直径的半圆内为事件4,则P6(A八)=2乃.

1x24

TT

故答案为：

4

【点睛】

本题主要考查了几何槪型的概率的计算，求出对应的图形的面积是解决本题的关键，属于基础题.

19.已知2a+36=4,则4"+8"的最小值为.

【答案】8

【解析】

【分析】

由4"+8〃=22a+23b，利用基本不等式即可求解.

【详解】

由2。+36=4,

则4"+8"=22a+23b>2722flx23A=2y)22a+ib=2A/F=8，

2

当且仅当2a=36=2,即a=l,b=§时取等号，

故答案为：8

【点睛】

本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.

三、解答题

20.设等差数列｛%,｝的前〃项和为S„,,己知生=5,$3=9.

（I）求首项％和公差d的值：（II）若S,=100,求〃的值.

【答案】（I）%=1；d=2；（II）〃=10

【分析】

（I）利用53=丄詈丄求得％=1；根据等差数列通项公式可求得d；（II）利用等差数列前〃项

和公式可构造出关于〃的方程，解方程求得结果.

【详解】

（I）由题意得：邑=3（&+兮）.=3（“丑5）=9,解得：

322

5-1

则公差2

2

n（n-\]o

（II）由（I）知：S=na+

n]2

若S〃=100,即〃2=100

又nwN*，解得：〃=10

【点睛】

本题考查等差数列通项公式和前〃项和的基本量的求解，涉及到等差数列通项公式和前〃项和公式

的应用，属于基础题.

21.已知函数/（x）=2sin

（1）求函数/（x）的最小正周期和最大值;

（2）求函数〃x）的单调减区间.

jl3九

【答案】⑴「最大值为2；⑵小兀丁"伏⑶

【解析】

【分析】

(1)先化简得/(x)=sin2x+l,即得函数的最小正周期和最大值；

7T34

(2)解不等式^^+2版■K2x<］-+2Qr/eZ),即得解.

【详解】

71兀

(1)/(%)=2sin(x+―)cos(x-y)+1=2cosxsinx+l=2sinxcosx+l

2乃

所以函数的最小正周期为7=?=1,当sin2x=l时最大值为2；

2

IT37r

(2)令'+2k兀