【高中数学】2023-2024学年人教A版必修第一册 方程的根与函数的零点 教案

教学设计

课例名称：方程的根与函数的零点

单元教学设计说明（有可以写，没有可以不写）

（含单元教学目标、单元教学重难点、单元课时安排、单元内容结构

等内容，其中单元内容结构建议以思维导图等结构图形式呈现。）

课时教学设计理念

通过实例抽象出对零点概念进行讲解，认识函数的零点与方程的根、

与函数图像与X交点的横坐标的关系，会判断函数零点所在的大致区间,

函数的零点的个数，发展学生的逻辑思维能力。

课时教学内容分析（含教材分析）

为了让学生在认识对函数零点概念的理解，对零点存在性的掌握，本

节从多个不同函数图像让学生直观感受概念，定理的内涵，加深对概念,

定理的理解。

课时学情分析

在教学过程中，利用信息技术，创设教学情境，了解构造过程，让学

生理解函数的零点概念，零点存在性定理，通过图像的展示对相关知识点

进行讲解，发展学生的数型结合思维能力。

课时教学目标（需体现学科核心素养的培养）

知识与技能：结合具体的函数图象和方程根的问题，了解函数的零点

与方程根的联系，形成函数零点的概念及零点存在的判定方法。

过程与方法：在应用函数研究方程的过程中，体会函数与方程思想，

数形结合思想以及化归思想；把从特殊函数零点存在的判定方法上升到一

般函数，体现了从特殊到一般的研究方法。

情感态度与价值观：让学生亲身经历数学知识产生的过程，提高学

生的学习能力，养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质，

感受探究的乐趣。

课时教学重点、难点

教学重点：方程的根与函数零点的关系及零点存在性定理的深入理解

与应用

教学难点：零点存在定理的发现与准确理解

课时教学资源（含教学媒体、工具、素材等）

多媒体，PPT

课时教学过程（应包括教学步骤、教学活动、设计意图、组织形式等内容）

一引入：探究一：方程的根与相应函数的联系。

利用y=X2-2X-3,y=X2-2X+1,y=x?一2工+3的图像，总结方程的

根与相应函数的联系

1.函数零点的概念

对于函数y=/⑴，我们把使/⑴=°的实数》叫做函数尸八幻的零点。

注：零点是图像与X轴交点的横坐标，不是点

设计意图：以学生熟悉的函数图象和方程为平台，观察方程和函数形

式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系，自然的得到零

点的概念，理解零点是连接函数与方程的结点。

探究二：结合零点的定义和探究的过程，你认为方程的根与函数的图

像与函数的零点三者之间有何联系？

方程/（X）=°有实数根o函数y=/（x）的图象与X轴有交点=函数

y=/（x）有零点。

这组等价关系，指明了方程与函数的联系告诉我们要求方程的根等价

于找到图象与x轴有交点的横坐标，等价于求出函数的零点，这里蕴含了

丰富的数学思想，联系方程与图像就是数形结合思想，联系方程与函数就

是方程与函数的思想，也体现了转化思想。

例1.求下列函数的零点：

(l)/(x)=x+l(2)/(%)=x2-4x+3

⑶/(x)=2'—4(4)/(x)=log2x-l

对点练习

(1)函数f(x)=x2—x—6的零点为；

(2)函数f(x)=2x—4的零点为；

(3)函数f(x)=log4x+l的零点为

设计意图：明确函数的零点与的根的关系的关系。

探究三：函数存在零点的条件

师：我们继续探究函数存在零点的条件

观察二次函数f(x)=x2-2x-3图象填下表

X-2124

f(X

)的符号

问：函数在［-2,1］上是否有零点？在［2,4］上是否有零点？

思考：能否找到判断函数丁=/(")在区间3份上有零点的一般方法？

注意：学生探究与教师指导相结合，使学生得到零点存在判定定理

(2)零点存在判定定理

如果函数y=/(x)在区间以”上的图象是连续不断的一条曲线，并且

有了⑷那么函数y=〃x)在区间内有零点,即存在cw(a，Q,

使得/⑹=°，这个，也就是方程八幻=°的根。

辨析1：若函数y=f(x)在区间［a,b］上满足f(a)•f(b)<0,则f(x)在

区间(a,b)内是否有零点？

辨析2:若函数y=f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)・f(b)〈函则f(x)

在区间(a,b)内一定只有一个零点么？

思考：增加什么条件时，函数在区间(a,b)上只有一个零点？

推论：在零点存在的条件下，如果函数在［a,b］上是单调函数，则

函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。

设计意图：通过辨析更好的理解零点存在判定定理，同时给出推论。

例2.已知函数f(x)=-3x5-6x+l有如下对应值表

-1.

X-2012

5

f(X)10932.781-8-107

1)函数在哪个区间必有零点？

2)在该区间上如果有零点，零点是否唯一？

例3.已知：函数f(x)=lnx+2x—6,试判断函数f(x)是否存在零点;

若存在判断函数f(x)的零点个数.

鼓励学生多种方法解题

学生：/⑵<0,/（3）〉o,即/⑵♦/⑶<0,说明这个函数在区间（2,3）内

有零点。由于函数A6在定义域（0,+8）内是增函数，所以它共有1个

零点。

课堂小结：

1.函数零点的概念

2.零点存在判定定理

3.思想方法：函数与方程思想，数形结合思想，化归思想从特殊到

一般的研究方法

课时板书设计

方程的根与函数的零点

1概念：对于函数k了⑴,我们把使/（“）=°的实数x叫做函数的

零占

方程/（x）=0有实数根=函数y=/（x）的图象与x轴有交点o函数y=/3

有零点。

2零点存在判定定理

如果函数在区间以㈤上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

〃砂"）<°,那么函数k/⑴在区间（。⑼内有零点,即存在cG（a，*使

得这个，也就是方程八幻=0的根。

课时作业设计

1函数f(x)=2'+3x的零点所在的一个区间是(B)

A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)

2函数/(x)=3ox+l-2。在(T,1)上存在X。，

使/(%)=0,则a的取值范围是(D)

(A)(―1,—)(B)(―,+oo)(C)(―co,—1)(D)(—co,-1)(―,+oo)

3方程Igx-x=0根的个数(D)

A.无穷多B.3C.1D.0

4方程lgX=ICT的根的个数是」.

5.设/(X)是定义在R上的奇函数，当x>0时，

f(x)=ex-2,则。(x)有_3一个零点

课时评价设计

本节课通过以学生熟悉的函数图象和方程为平台，观察方程和函数形

式上的联系，从而得到方程实数根与函数图象之间的关系，从而得到零点

的概念，理解零点是连接函数与方程的结点。

课堂指明了方程与函数的联系告诉学生要求方程的根等价于找到图象与x

轴有交点的横坐标，等价于求出函数的零点，这里蕴含了丰富的数学思想,

联系方程与图像就是数形结合思想，联系方程与函数就是方程与函数的思