中考数学知识点与经典题型练习 等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题(解析版)

专题24等腰三角形中由动点引起的分类讨论问题

【模型展示】

等腰三角形的性质并能灵活应用，并能分析动态变化过程。这类问题属于比较难得问题，历年

都以中考压轴题的形式出现，在分析的过程中要有分类讨论的思想，再结合图形的动态变化过程。

已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外.

在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类.

如果AA8C是等腰三角形，那么存在①48=AC,②A4=8C,③C4=C8三种情况.

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，

几何法一般分三步：分类、画图、计算.哪些题目适合用几何法呢？

如果AABC的N4（的余弦值）是确定的，夹N4的两边AB和AC可以用含X的式子表示出

来，那么就用几何法.

①如图1,如果AB=AC,直接列方程;

②如图2,如果BA=BC,那么1/2AC=ABcosZA;

特点

③如图3,如果CA=CB,那么1/2AB=ACcosZA.

图1图2图3

代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程，解方程并检验.

如果三角形的三个角都是不确定的,而三个顶点的坐标可以用含X的式子表示出来，那么根据两

点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来.

结论等腰三南形的性质并能灵活应用

【题型演练】

一、单选题

I.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4,面积是16,腰4C的垂直平分线EF分别交

AC,A8边于£,F点，若点。为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CCM周长

的最小值为（）

E

M

ʃF∖B

A.7B.8C.9D.10

【答案】D

【分析】先根据对称性判断点M的位置，再根据等腰三角形的性质得AO上BC,进而根据

三角形的面积求出Ab即可求出答案.

【详解】YEF是AC的垂直平分线，

点A与点C关于EF对称.

连接AZZ与EF的交点为M,则此时点M为使△SM周长最小时的位置.

：点。是底边BC上的中点，且AABC是等腰三角形，

，ADlBC.

'∙'S"Be=16,BC—4,

：.AD=竺注=≡=8.

BC4

'：MA=MC,

：.△CDM的周长=MC+MD+CD=AD+DC=8+2=10.

故选：D.

【点睛】本题主要考查J'垂线段最短的应用，等腰三角形的性质等，确定点M的位置是解

题的关键.

2.如图，已知△48C是等边三角形，。是BC边上的一个动点（异于点B、C）,过点。作

DEA.AB,垂足为E,Z）E的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,连接FZXFE,当点。

在BC边上移动时，有下列三个结论：①一定为等腰三角形；②ACFG一定为等边

三角形；③可能为等腰三角形.其中正确的有（）

A

【答案】C

【分析】根据中垂线的性质，以及等边三角形的判定进行判断即可；

【详解】解：：FG是DE的中垂线，

/.EF=DF,

，，DEF为等腰三角形，故①正确；

ABC是等边三角形，

.*.NB=NC=60°,

VDE1.AB,FG-LDE

：.FG//AB.

：.NFGC=NB=60°,

...△CFG为等边三角形，故②正确；

,/NC=60。，

若AFQC为等腰三角形，则：AFQC为等边三角形，

•••△CFG为等边三角形，

...△尸。C不可能为等腰三角形，故③错误：

综上正确的个数有2个；

故选C.

【点睛】本题考查了中垂线的性质，等边三角形的性质和判定.解题的关键是熟练掌握相关

性质和判定方法.

3.如图，ABC是边长为2的等边三角形，AO是BC边上的中线，有一动点P由点A出发匀

速向点B运动，到点8后停止运动，在运动过程中，当AAPO为等腰三角形时，AP的长为

()

(P)A

B

D

A.迫或GB.1或6C.应或GD.述或1

33

【答案】B

【分析】当AP=P。时，P点在4£＞的垂直平分线上，可得ABPQ为等边三角形，可得AP

=BP=WAB,当AP=A。时-，勾股定理求得4。即可求解.

【详解】解：当AP=PQ时，P点在AO的垂直平分线上，

:△ABC为等边三角形，AD是BC边上的中线，

.∖AD±BC,/8=60。，ZBAD=30°,BD=ɪBC=1,

"：AP=DP,

：./AOP=NB4。=30。，

N8PD=300+30°=60°,

...△8PO为等边三角形，

：.BP=DP,

.'.AP=BP=^Aβ=∖i

当AP=A。时，

VZADB=90o,AB=2,

ΛΛD=√22-I2=√3，

∙'∙AP=√3.

当AQ=PO时，不合题意，

综上，A尸的值为1或

故选:B.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性

质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键.

4.如图，在4ABC中，AB=AC,ZB=40o,。为线段BC上一动点(不与点8、点C重合)，

连接AO,作NNz)E=40。，OE交线段AC于点E.以下四个结论：®ZCDEZBADx②当

。为BC中点时，DEYAC-,③当Na4。=30。时，BD=CEi④当44。E为等腰三角形时，

NEZ)C=30。.其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】①根据等腰三角形的性质得到∕8=∕C=4()o,根据三角形的内角和和平角的定义即

可得到NBAD=NCr>E；故①正确；

②根据等腰三角形的性质得到ACBC,根据三角形的内角和即可得到DELAC,故②正确；

③根据全等三角形的性质得到8O=CE;故③正确；

④根据三角形外角的性质得到/AEZ)>40。，求得∕ADE≠NAED,根据等腰三角形的性质和

三角形的内角和得到/8AZ>60。，故④错误.

【详解】解：®'CAB=AC,

：./B=NC=40。，

.,.ZBAD=∖S0o-40o-ZADB,ZCDE=180o-40o-ZADB,

：.ZBAD=ZCDE,故①正确；

②∙.∙。为BC中点，AB=AC,

.,.ADLBC,

：.ZΛDC=90o,

ZCDE=50o,

YN040°,

ZDEC=90o,

：.DELAC,故②正确；

®'：ZBAD=30o,

/.ZCDf=30o,

o

ZADC=IOt

・・・ZCAD=180o-70o-40o=70o,

：.ZDAC=ZADCf

：.CD=ACf

•：AB=AC,

：.CD=AB,

.MABD4ADCE(ASA),

：・BD=CE;故③正确；

(4)VZC=40o,

ΛZΛED>40o,

/.ZADE≠ZAED1

•「△A。E为等腰三角形，

IAE=DE,

：.ZDAE=ZADE=WO,

∙.∙NBAC=I80o-40o-40°=100°,

,o

..ZBAD=60f故④错误；

综上分析可知，正确的有3个，故C正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，正确

的识别图形是解题的关键.

5.如图，在正方形ABC。中，E、尸是对角线AC上的两个动点，户是正方形四边上的任意

一点，且A8=4,EF=2,设AE=X.当O<χ<4j∑-2,△PE/是等腰三角形时，下列关

于P点个数的说法中，P点最多有()

A.8个B.10个C.12个D.14个

【答案】A

【分析】分别以E、尸为圆心，防的长为半径画圆，作线段EF的垂直平分线，观察圆和垂

直平分线与正方形边的交点个数即可.

【详解】解：：在正方形ABCo中，AB=A,

∙-∙AC=√2AB=4√2•

,.∙EF=2,

∙,-AE+CF=4√2-2，

，当0<x<4√Σ-2时，点E,F在AC上，

如图，分别以E、尸为圆心，E尸的长为半径画圆，作线段E尸的垂直平分线,

观察图象得：尸是等腰三角形时，P点最多有•8个.

故选：A

【点睛】本题考查正方形的性质、等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质等知识,

解题的关键是准确画出图形.

6.如图，在正方形ABCo中，4?=4,对角线AC上的有一动点P,以OP为边作正方形

DPFG.

①在尸点运动过程中，F点始终在射线BC上；

②在P点运动过程中，NCPz）可能为135。；

③若E是Z）C的中点，连接EG,则EG的最小值为近；

④ACDP为等腰三角形时，AP的值为2夜或4忘-4

以上结论正确是（）

A.①③④B.②④C.①②③D.②③④

【答案】A

【分析】由“SAS”可证△DP”也4FPC,可得NPHD=NPCF=I35。,可证点3,点C,点F

三点共线，故①正确；由三角形的外角可得NCPD不可能为135。，故②错误；由

△DPNmADGE(SAS),可得EG=PN,当NP_LAC时，NP有最小值为即EG有最

小值为也，故③正确；由等腰三角形的性质可得AP的值为2夜或40-4,故④正确，即

可求解.

【详解】解：连接CF，过点P作PHLPC交CO于”，如图所示：

∙.∙四边形ABCQ和四边形DPFG是正方形，

.∖PD=PF,NDPF=NHPC=90°,NACB=NAC0=45°,

NDPH=NCPF,4PCH=NPHC=45°,

ΛPH=PC,NPHD=I35。,

C.∕∖DPH^∕∖FPC(SAS),

.∙.NPHD=/Pb=135°,

，ZACB+ZPCF=180°,

二点B,点C,点尸三点共线，故①正确；

VZCPD=ZCAD+ZADP,NC40=45°,ZCPD=135°,

NAOP=90°,

则点P与点、C重合，

此时NCPz)不存在，故②错误；

取4。的中点M连接PM如图所示：

ND

:点N是AD的中点，点E是CO中点，

.'.AN=DE=DN=2,

'：ZADC=ZPDG=90°,

ZADP^ZGDE,

又YDP=DG,

：.ADPN马ADGE(SAS),

,EG=PN,

：点P是线段AC上一点，

.∙.当NPLACtI寸，NP有最小值为正，

.∙.EG有最小值为应，故③正确；

∖'AD=CD=4,

AC=√2ΛD=4√2.

当点/,是4C中点时，AP=PD=PC=2五,则APCO是等腰三角形，

当CP=CO=4时，是等腰三角形，

ʌΛP=4√2-4∙故④正确；

综上分析可知，①③④正确，故A正确.

故选：A.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角

形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键.

7.如图，点Λ/是直线y=2x+3上的动点，过点用作MVl.X轴于点N,点P是V轴上的

动点，MPINP,且ΔPMN为等腰三角形时点MP的长为()

y=2x+3

y,

M/

/N^^[F-›x

A.3拒或√ΣB.√2C.好或3√ΣD.逑

44

【答案】D

【分析】先根据MPJ■NP,且Δ∕WW为等腰三角形，可知ΔPΛYN为等腰直角三角形，得

NMNP=45。,易得Δ∕V尸O是等腰直角三角形，设OP=m,表示出M点坐标，代入宜线解析

式，求出加的值，即可求出MP的长.

MPLNP,且ΔPΛ√N为等腰三角形，

.∙∙ΔPM∕V为等腰直角三角形，

.-.ZMNP=45°,

.MNJ_x轴，

NPNo=45°,

，MNO为等腰直角三角形，

.-.OP=ON,

设OP=ON=m,

根据勾股定理，得NP=MN=2m,

①M(-m,2,"),代入直线y=2x+3,

得2ιn=-2m+3,

解得机=J，

4

MP=NP=叵m=＞五,

②M(∕n,2m),代入直线y=2x+3,

得2"?=2m+3,

此方程无解.

综上所述：MP=2垃.

故选：D.

【点睛】本题考查了一次函数与等腰直角三角形的综合，灵活运用等腰直角三角形的性质是

解决本题的关键.

8.如图，在ABC中，AB=AC,点O为线段BC上一动点(不与点8,C重合)，连接AE>,

作ZADE=ZB=40o,OE交线段AC于点E.下列结论：

①NDEC=NBDA；

②若AD=DE,则BD=CE;

③当。E上AC时，则力为BC中点；

④当VADE为等腰三角形时，ZBAD=APP.

其中正确的有个.()

RDC

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】①根据三角形外角的性质即可得到ZBAD=ZCDE；

②当△•£)三DCE时，BD=CE;

③根据等腰三角形的性质得到ADlBC,根据三角形的内角和即可得到DElAC-.

④根据三角形外角的性质得到NA£»>的，求得NAoE≠NAED,根据等腰三角形的性质

和三角形的内角和得到44)=60。.

【详解】①,乙4£>C=NB+N8AE>,ZB=ZAOE=40°,

.-.ABAD=ACDE.

AB=AC,

.∙.ZB=ZC.

，由三角形内角和定理知：ZDEC=ZBDA.

故①正确；

(2)AB=AC,

.∙.ZB=ZC=40o,

由①知：ZDEC=ZBDA.

AD=DE.

,∖,,ABD=DCE.

.*.BD-CE,

故②正确；

③。为BC中点，AB=AC,

.-.ADlBC,

:.ZADC=90°,

.-.ZCDE=50°,

∠C=40o,

:.ZDEC=90°,

：.DELAC,

故③正确；

④ZC=40°,

.-.ZAED>40°,

ZADE≠ZAED,

.二ADE为等腰三角形，

.∙.AE=DE或Ao=DE,

当ΛE=OE时，ZE¼E=ZADE=40°,

Zβ4C=180o-40o-40o=100o,

.-.ZBAD=60°,

故④不正确.

故选：C.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和，计算

各角的度数是解题的关键.

9.如图，已知在直角梯形ABC。中，AD//BC,ABlBC,AD=W,BC=∖3,AB=I2.动点

P、Q分别在边AQ和BC上，且8Q=2QP.线段尸Q与BQ相交于点E,过点E作E/〃BC,

交CD于点F,射线P尸交BC的延长线于点G,设。P=x.下列说法正确的有几个（）

13

(I)四边形PQCo为平行四边形时，x=1；

DF_I

(2)CF=2;

9∩Q

(3)当点尸运动时，四边形EFG。的面积始终等于一1；

(4)当APQG是以线段尸。为腰的等腰三角形时，则x=∣∙∖2或号.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】(1)由平行四边形的性质即可求值；

(2)由平行线分线段成比例即可求解其比值；

(3)点P在AO上运动时，由相似三角形的判定与性质可得E/与。G的比始终是1：3,

且BQ=CG,所以其面积为定值，进而求出其面积即可；

(4)以线段PQ为腰，则可能是PQ=PG,也可能是PQ=QG,所以分情况求解即可.

【详解】解：(1)VPD=x,BQ=IDP9BC=13,

：.QC=BC-BQ=∖3~2χf

YAD∕∕BC,BPPD//QC,

，当Po=QC时，四边形尸QCo为平行四边形，

Λx=13-2%,

13

.*.PD=X=—,故(1)正确；

(2)在梯形A3CQ中，

YAD∕∕BC,BQ=2DP,

.DEPD1

**BE^Bβ^2,

•：EF〃BC,

.DEDF

"~BE~'CF,

DF1

Λ-=-,故(2)正确；

(3)在^BC。中，

λ

∖EF//BC9

：.丛DEFSADB3

.EFDEl

••---=---=—,

BCDB3

VBC=13,

：・EF=—,

3

又YPD∕∕CG,

.PDDF∖

t,'CG~~CF~21

：.CG=2PD.

：.CG=BQ9EPQG=BC=U.

作EWi.8C,垂足为点M过E作区WI.8C于

：・ABEMs∕∖BDN,

.EMBEEM2

••而一访一五一3’

.∖EM=S.

[([3、208

.*.SEFGQ=-×∖-∙^-^∖×^=-γ~,故(3)正确;

.*.2x+—=11-x

29

3

解得X=；，

(»)当PQ=GQ时,PQ=J(Il-3x)2+12?=13,

解得x=2或X=?,

综上，当AP。G是以PQ为腰的等腰三角形时，X的值为,、2或故(4)正确,

.∙.正确的结论有4个.

故选：D.

【点睛】本题属于几何综合题，主要考查了平行线分线段成比例的性质、相似三角形的判定

与性质、以及梯形的面积的求解、等腰三角形的性质、勾股定理、解方程等知识，能够利用

所学知识熟练求解是解答的关键.

二、填空题

10.如图，等腰三角形A8C的底边BC长为4,面积是12,腰AC的垂直平分线EF分别交

AC,AB于点E、F,若点。为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则aCDM的周

长的最小值为.

【分析】连接AD,由于ΔABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，故AOlBC,再根据

三角形的面积公式求出AD的长，再再根据E尸是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直

线EF的对称点为点A,故AO的长为CM+MO的最小值，由此即可得出结论.

【详解】解：连接A3，

MBC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

.-.ADA.BC,

∙∙∙sAW=；BaAo=94XAD=I2，

解得AZ>=6,

所是线段AC的垂直平分线，

点C关于直线EF的对称点为点A,

.：A。的氏为CM+的最小值，

.∙,SCDM的周长最短=(CM+Λffi>)+Cf>=AO+j8C=6+gx4=6+2=8.

故答案为：8

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题

的关键.

11.如示意图，在AABC中，AC=BC,AE_LBC于点E,过点B作/A8C的角平分线BF

交AE于G,点。是射线B尸上的一个动点，且点。在AABC外部,连接AD.∕C=2NAO8,

当AADG为等腰三角形，则Ne的度数为

【答案】90。或108°

【分析】设NAQB=X,则NC=Zr,从而可求得∕EA8=x,ZABF=ɪZABC-45°^y

所以NAGO=NE4B+∕A8F=x+45°-gx=45°+gx,再分三种情况：①当AO=CG时，

ZDAG^ZDGA；②当AD=AG时，ZADG^ZAGDi③当AG=QG时，ZGAD^ZADG

=x,分别求解即可.

【详解】解：设∕AC8=x,则/C=2x,

"：AC=BC,

180o-2x

.".ZCAB=ZCBA=90°-X,

2

'：AELBC,

：./AEB=90°,

：.NEAB=X,

平分NA8C,

ZABF=INABC=45。-ɪɪ,

.∙.NAGD=/EAB+/ABF=X+45°-gx=45°+Tx,

△AOG为等腰三角形时，存在三种情况：

①当Az)=QG时，ZDAG=ZDGA,

即x+45°+^∙Λ+45°+ɪX=180°,

X=45°,

ΛZC=90°,

②当Ac=4G时，NAoG=NAGZZ

x=^5+-x,

x=90°,

.∙.ZC=180。(不符合题意,舍去)，

③当AG=QG时，ZGAD=ZADG=X,

2x+45+g.r=180,x=540,

NC=108°,

综上，/C的度数为90。或108。.

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，角平分线与三角形内角和定理，三角形外角的性质，

分类讨论思想的应用是解题的关键.

12.如图，已知4G〃CF,ABA.CF,垂足为B,A8=BC=3,点P是射线AG上的动点(点

P不与点A重合)，点Q是线段C8上的动点，点。是线段AB的中点，连接PD并延

长交BF于点E,连接PQ,设AP=2f,CQ=t,当APQE是以PE为腰的等腰三角形时，f

的值为.

【答案】13■或(2

【分析】以8为原点、直线C尸为X轴，直线48为)，轴，建立直角坐标系，先证明AP=BE,

即可得E点坐标为(2/,0),CQ=t,BQ=3-t,P点坐标为(-2f,3),C点坐标为(-3,0),A点坐标为

(0,3),。点坐标为(r-2,0),根据。点在线段BC上，P点不与A点重合，可得0<r<3,进而

有BE=2t,BQ=3-t,QE=BQ+EB=3+t,利用勾股定理有：PQ2=(3-3r)2+9,QE2=(t+3↑,

PE2=16∕2+9,根据△P0E是以PE为腰的等腰三角形，分类讨论：当PQ=PEWj,当QE=PE

时两种情况，即可求解.

【详解】以8为原点、直线CF为X轴，直线45为y轴，建立直角坐标系，如图，

VAG//CF,ABLCF,

a

..Aβ±AGf

o

：.ZGAB=ZABF=Wf

•・•。点为48中点，

：・AD=BD,

，结合NAoP=NBDE可得△APDqABED,

：.AP=BE,

^AP=2tf

：.BE=2=

，E点坐标为(2，,0),

VAB=BC=3,

β

..CQ=t,BPBQ=S-I9尸点坐标为(∙2r,3),C点坐标为(-3,0),A点坐标为(0,3),

・・・Q点坐标为(f∙3,0),

Y。点在线段BC上，尸点不与A点重合，

Λ0<r<3,

VBE=2hBQ=3-3

QE=BQ+EB=3+t,

，利用勾股定理有：PQ2=(-2r-r+3)2+(3-0)2=(3-3/)2+9,0E2=(r+3)2,

PE2=(-2r-2?)2+(3-0)2=165+9,

根据APQE是以PE为腰的等腰三角形，分类讨论：

当PQ=PE时,有(3-3.,+9=16/+9,

整理:7『+18/-9=0,

3

解得f=1(负值舍去)，

⅛QE=PEWi,有16产+9=«+3)2,

整理：15r2-6r=0,

2

解得(0舍去)，

32

综上所述：/的值可以为

32

故答案为：—»—.

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、构建直角坐标系、勾股定理、全等三角形的判定与

性质、一元二次方程的应用等知识，构建直角坐标系是快速解答此题的关键.解答时，需注

意分类讨论的思想.

13.如图，等腰三角形ABe的底边BC长为4,面积是12,腰48的垂直平分线EF分别交

AB,AC于点E、F,若点。为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则aBOM的周

长的最小值为一.

【答案】8

【分析】连接A。，AM,根据等腰三角形的性质可知AD垂直8C,则根据AABC的面积即

可求出AQ,由题意点B关于直线EF的对称点为点A,即有AM=8M,即有8M+MD=4M

+MD,即当A,M,D三点共线时，8M+MO的值最小，最小为Af）的长，进而即可求解.

【详解】解：如图，连接A。，AM,

「△ABC是等腰三角形，点。是BC边的中点，

.∖AD±BC,

;BC=4,AABC的面积为12,

∙*.∙BC,AD——×4×AD—12,

.'.AD=6,

∙∙∙EF是线段AB的垂直平分线，

点B关于直线EF的对称点为点A,

：.AM=BM,

：.BM+MD=AM+MD,

即当4,M,。三点共线时，8Λ7+ΛW的值最小,

：.AD的长为BM+MD的最小值，

.•.△8。例的周长最短为8例+用力+8。=4。+8力=4。+58。=6+2=8,

故答案为：8.

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题

的关键.

三、解答题

14.已知：如图，在RtAABC中，NC=90?,AS=5cm,AC=4cm,动点尸从点8出发沿

射线BC以IernZS的速度移动，设运动的时间为，秒.

⑴求BC边的长；

(2)当A48P为直角三角形时，求f的值;

(3)当AABP为等腰三角形时，求r的值.

【答案】(1)3Cm

(2)3或g

(3)5或6或三

O

【分析】(1)利用勾股定理即可求出结论；

(2)由题意可得：BC=rem,∠B≠90o,然后根据直角三角形直角的情况分类讨论，利用

勾股定理等知识即可解答；

(3)当A4BP为等腰三角形，根据等腰三角形腰的情况分类讨论，分别画出对应的图形,

根据三线合一、勾股定理等知识即可解答.

(1)

解：:在RfABC中，/090?,AB=5cm,AC=4cm,

22

BC=y/AB-AC=3cm∙

(2)

解：BC=tern,ZB≠90o

当NA∕>8=90。时，点P与点C重合，

BP=BC,

即f=3；

当NB4B=90。时，如下图所示：

A

：.CP=BP-BC=(t-3)cm.

^.∙AC2+CP2=AP-=BP'-AB2，

：.42+(r-3)2=r2-52,

解得：t=∙γ.

综上：当人钻尸为直角三角形时，U3或年;

(3)

解：当AB=AP时，如下图所示：

BP=IBC,

即∕=2X3=6.

当AB=BP时，如下图所示:

当AP=8P时，如下图所示:

在RtAPC中，AC?+'=/1/*

即42+(3-Γ)2=Z2,

解得：，=后25.

6

综上：当A4BP为轴对称图形时，f=5或6或-.

6r

【点睛】此题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，掌握勾股定理、等腰三角形的性质是

解决此题的关键.

15.如图，在AABC中，ZC=90o,AB=5cm,BC=3cm,动点P从点C出发，沿CBTBA

的路线运动，且速度为每秒2cm,设运动的时间为，秒.

(I)AC=cm；

(2)出发0.5秒后，求八43P的周长；

(3)当r为何值时，43CP为等腰三角形？

(4)另有一动点Q,从点C出发，沿C4向终点A运动，且速度为每秒ICm,若尸、。两点同

时出发，当，为何值时，直线PQ把△相C的周长分成相等的两部分？

【答案】(1)4

(2)(7+√Π)cm

,小U5—33

(3)f=下或3或K

410

(4)2

【分析】(I)根据勾股定理即可得到答案.

(2)根据路程=速度X时间求出CP、BP的长，再利用勾股定理求出町的长，即可求解.

(3)分三种情况进行讨论，ΦPC=PB,②BP=BC,③PC=BC,根据等腰三角形的性

质分别列出方程即可求解.

(4)根据题意列出方程，解方程即可求解.

(1)

*.*ZC=90o,AB=5cm,BC=3Cm,

AC=y∣AB2-BC2=√52-32=4(cm),

故答案为:4.

(2)

：动点P从点C出发，沿CB-BA的路线运动，且速度为每秒2cm,

r=0.5s时，CP=2×0.5=1cm.

JBP=BC-PC=2cm

.∙.在四△ACP中，由勾股定理，得AP=∖JAC2+PC2=√42+l2=717

CABC=AB+AP+PB=5+yfn+2=7+V17(cm)

(3)

图1图2图3

①当尸C=P8时，如图1,则NPcB=N3,

•・•^PCA+ZPCB=ZB+^A=90o,

・•・ZPCA=ZA,

，PC=PA=PB,

BP=-AB

2

：.BP=25,

・・・2r=3+2∙5,

解得，=^;

4

②当8P=8C=3时，如图2,

则2r=3+3,解得t=3；

③当CP=CS时，如图3,作CD_LAfi于点ZZ则CZ)=YCm,

由勾股定理，得BD=JBC?-CD?=Wcm,

1Q

.*.BP=2BD=-cm,

5

1133

综上所述，当/=丁或3或瞪时，为等腰三角形；

4IO

(4)

由题意，得什力=带生，解得/=2,

即当f=2时，直线P。把ZXABC的周长分成相等的两部分.

【点睛】此题是三角形综合题，考查了勾股定理、等腰三角形的性质及判定、三角形面积的

计算；熟练掌握等腰三角形的判定与性质进行分类讨论是解决本题的关键.

16.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,NC=90?,BC=∖6,DC=I2,AD=21,动点

P从点。出发，沿射线D4的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点。从点C出发，在

线段C8上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P,。分别从点O,C同时出发，当点

Q运动到点8时，点P随之停止运劲，设运动的时间为秒).

(1)当，为何值时，以B,Q，D,P为顶点的四边形为平行四边形?

(2)当f为何值时，以8,D,P为顶点的三角形为直角三角形？

⑶当f为何值时，以B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？

【答案】⑴，=9

(2»=8或1=12.5

⑶f=∙∣或r=与

【分析】(1)AD//BC,当划=制时四边形5。Z)P是平行四边形，得2f=16-t,计算即

可求出n

(2)分二种情况进行讨论，①当NBPZ)为直角时，可证得四边形PBCD为矩形，得PD=BC,

即2/=16,计算即求出/；②当NPBD为直角时，PB2+=尸£>*得12?+⑵-16y+202=⑵尸，

计算即可求出f,

(3)分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ,在凡PMQ中，Pβ2=r+122,由也一他,将

各数据代入，可将f求出：②若BP=BQ,在相∕≡中，PB2=(16-2r)2+l22,将各数据代

入，可将f求出；③若PB=PQ,由尸B=PU得产+122=(16—+12"将各数据代入，可将

f求出.

(1)

解：如下图,

：AD//BCf

当外=BQ时四边形BQDP是平行四边形,

由题意可知：PD=2t,BQ=I6-t,

即2/=16-t,

解得：，号,

.1=与时，四边形800尸是平行四边形；

(2)

解：如下图，作BHj.PD，

NWB为锐角，

•*.只能NBP。或者ZPBD为直角，

BC=I6,DC=∖2,x×C=90?.

\切=20,/的范围为OVfWI6,

①当NBPD为直角时,

∙.NC=90?,AD//BC

：.NoCB=90?,

四边形PBeD为矩形，

PD=BC,

：.2r=16,

,f=8；

②当NPBD为直角时，PBL+BD2=PDr,

'：BH±PD,

：.∠z8"P=90?,

PB-=BH2+PH2

：.122+(2r-16)2+202=(20∖

/.r=12.5,

综上所述，/=8或f=12.5时，以8、。、P为顶点的三角形是直角三角形;

(3)

解：如下图：

AD

BMQC

由上图可知，CM=PD=2t,CQ=t,若以8、P、。为顶点的三角形是等腰三角形，可以分

三种情况：

①若PQ=8。，在RPMQ中，PQ2=t2+l22,

7

由PO?=BQ2得『+122=(16-/)2,解得f=5；

②若BP=BQ,在∕?CnWe中，PB2=(I6-2∕)2+122,

由P炉=8。得(16-2^+122=(16-A)?,即3?-32/+144=0.

此时，/-M4=(j［浜04?-,

所以此方程无解，

.∙.BP手BQ,

③若PB=PQ,由PB,=P行得产+12=(163+122得G=乱=16(不符合题意，舍去)，

综上所述，当f=g或，=当时，以B,P,。三点为顶点的三角形是等腰三角形.

【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是注意

分情况讨论.

17.如图，在RfAABC中，ZABC=90o,AB=2G,8C=15,点。为AC边上的动点，点。

从点C出发，沿边CA往A运动，当运动到点A时停止，若设点。运动的时间为f秒，点D

运动的速度为每秒2个单位长度.

(1)当f=2时，CD=；AD=；

(2)当r为何值时，ACBO是等腰三角形？并说明理由.

【答案】⑴4,21

(2)6.25或75或9秒.

【分析】(I)先由勾股定理求解AC的长,再由速度乘以时间可得CQ从而可得AD的长度;

(2)分三种情况讨论：①当CC=BC时，CD=15,②当CQ=B。时，③当BO=BC时，过点

8作LAC于F,结合等腰三角形的性质可得答案.

(1)

解：R∕AA8C中，ZABC=90°,48=20,BC=15,

∙^∙AC=^AB-+BC2=25,

；由题意可得：CD=2t,

：.DA=25-2t.

当片2时，CZ>4,D4=21.

故答案为：4,21.

(2)

①当Co=BC时，CD=I5,

②当Co=8。时•，如图,

二NC=NDBC,

'：ZC+ZA=ZDBC+ZDθΛ=90o,

.∙.ZA=ZDBA,

：.BD=AD,

.,.CD=AD=-AC=U.5,

2

③当BD=BC时，如图，过点B作BFLAC于F,

B

根据等腰三角形三线合一的性质可得CD=2CF;则CF=DF,

.RkABxBC15×20,ɔ

..BF=------------=----------=12,

AC25

CF=y∣BC2-BF2=√152-122=9,

.∙.CQ=2CF=9x2=18,

Λ∕=18÷2=9.

综上所述，/=6.25或7.5或9秒时，ACBD是等腰三角形.

故答案为：6.25或7.5或9秒.

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰三角形的定义与性质，清晰的分类讨论是解本

题的关键.

18.如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与X轴，y轴分别交于A,B两点，点C（2,M

为直线y=χ+2上一点，直线y=-χ+%过点C.

⑴求加和〃的值；

（2）直线y=-X+力与X轴交于点。，动点P从点。开始以每秒1个单位的速度向X轴负方向

运动（点尸不与点。，点A重合）.设点P的运动时间为/秒.

①若点尸在线段QA上，且ΔAC尸的面积为10,求f的值；

②是否存在，的值，使AACP为等腰三角形？若存在，直接写出f的值；若不存在，请说明理

由.

【答案】（1）“F=4,b=6

⑵①t=3；②存在f的值，使ΔACP为等腰=角形，r的值为8-4及或8+4√Σ或4

【分析】（1）将点C（2,M代入y=χ+2,求出S的值，再将确定的点C代入y=τ+b中，即

可求〃的值；

(2)①由题意可知尸点的坐标为(6T,O),则AP=8T,再由&Ie=gx(8τ)x4=10,求出t

的值即可；

②由①分别求出AC=4&,APN8-”，CP="(4τ>+16，再根据等腰三角形的边的关系

分三种情况建立方程，求出/的值即可.

(1)

解：将点C(2,㈤代入y=x+2,

.*.∕n=4,

；直线y=-χ+b过点C,

*'.-2+6=4.

解得b=6；

(2)

解：①∙"=6,

直线解析式为y=τ+6,

.∙.D(6,0),

直线y=x+2与X轴交点A为(-2,0),与y轴交点3(0,2),

由题意可知P点的坐标为(6τ,0),

AP=6-t+2=8-t,

；•SMe=；X(8T)X4=10，

解得r=3；

②存在f的值，使ΔACP为等腰三角形，理由如下：

VA(-2,0),C(2,4),P(6T,O),

ʌAC=4√2,AP=∣8T∣,CP=√(4-r)2+16.

当AC=AP时，4√2=∣8-z∣,

解得f=8-4夜或r=8+4五；

当AC=CP时，4√2=√(4-Z)2+16,

解得/=O(舍)或f=8(舍)；

当CP=AP时，∣8T∣=J(4T)2+16,

解得/=4：

综上所述：r的值为8-4&或8+4夜或4.

【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的

性质，分类讨论是解题的关键.

19.已知，在.ABC中，AB=AC=5,BC=8,点E是射线CA上的动点，点。是边8C上

的动点，且"=OE,射线OE交射线BA于点£>.

图1备用图备用图

求沁的值:

(1)如图1,如果OC=2,

(2)联结A0,如果AAEO是以AE为腰的等腰三角形,求线段OC的长;

(3)当点E在边4C上时，联结BE,CD,NDBE=NCD0,求线段OC的长.

【答案】⑴0.09

⑵理或竺

3913

(3)8-√39

【分析】⑴先证明，ABCsCoEC,求出CE,AE,再证明OBD^AED,利用面积比等于

相似比的平方即可得解;

(2)分当点E在线段AC上和当点E在线段C4的延长线上两种情况讨论，根据等腰三角形

的性质和线段的转化，得到AE=OE=OC,再利用一ABCs_of。，列比例式求解即可;

ΔΓRo

(3)证明，AOES∖COE,ABgDBC,得到一,设OC。，0B=8-x,根据

ECCB

ABCs,OEC,求出CE,AE,再代入到笑=”即可得解.

ECCB

(I)

解：VAB=AC,

：.W=c,

;OC=OE1

：.NoEC=/C,

JZB=ZOEC9

：.ABCSOEC,

.AC_BC

"OC-CE,

.5_8

>>---------

2CE

：.CE=3.2，

・•・AE=I.8；

•：ZAED=ZOEC=ZB,/ODB=ZADE,

：..OBD^AED,

.∙∙空与。.3,

OB6

...鼠些=032=009

SZ)DB

(2)

当点E在线段AC上，

∙/∕∖AEO是以AE为腰的等腰三角形，

・・・AE=OE,

•：OC=OE,

设AE=OE=OC=X,

由(1)得，ABCS&0EC,

.AC_BC

u,~δc~~CEt

.5_8

••———，

X5-x

解得，X=子25

则。C的长是为今25;

当点E在线段C4的延长线上时，如图2,

图2

,/ZVlEO是等腰三角形,

AE=AO,

.∙.NE=ZAOE,

/B=NC=NOEC,

:./B=ZAOE,

.∙.AABCSMOE.

.AEOE

,AB-BC,

.AEOC

.,.---=---,

58

.∙.AE=-OC,

8

由(1)可知：ABC^OEC,

.OCEC

,AC-BC,

.OCEC

"^5^--Γ,

AC=EC-AE=5,

QC

/.-OC--0C=5,

58

•••"卷

综上所述：OC为2瑞00或看25；

(3)

由(1)得，ZB=ZOEC,

,.∙^OEC+ZOEA=l80o,

Jz×β+∠zOE4=180o,

・・・A、B、0、E四点共圆，

ZDBE=ZAODf

■：ZDBE=ZCDO,

・・・ZAOD=ZCDO,

：.AO//DC9

&AOESdCDE,ABC~DBC,

.AO_BOAO_AE

*'~DC^~CBy~DC^~CE'

.AEBO

**EC-cF,

⅛OC=x,OB=S-X,

YABCs.QEC,

.AC_BC

*βoc-cF,

.58

・・—=---，

XCE

解得，CE=L6r,

・・・AE=5-1.6r

.5-1.6x_8-x

1.6x-V*

解得，xl=8-√39,Λ2=8+√39（舍去）,

则。。的长是为8-病.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质.通过己知条件推出三角形相似，利用相似三角

形的对应边对应成比例列式计算是解题的关键.

20.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在，轴正半轴上，边AB、OA(AAOA)

的长分别是方程V-