【数学】一次函数与方程、不等式课件 2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十九章一次函数一次函数与方程、不等式教学目标1.理解一次方程、一元一次不等式与一次函数的转化关系及本质联系,

掌握用图象求解方程、不等式的方法;（重点）2.根据一次函数的图象求解方程和不等式.（难点）已知一次函数y=2x+1，求当函数值y=3，y=0，y=-1时，自变量x的值．自变量x的值依次是1，

，-1当y=3时，2x+1等于几？当y=0，y=-1时，2x+1又等于几呢？你能把它们写成一个方程的形式吗？可以写成2x+1=3，2x+1=0，2x+1=-1的形式，就变成了一元一次方程．也就是说当一个一次函数y=kx+b,只要确定了y的值，它就变成了一个一元一次方程，每一个一元一次方程都可以看成是一次函数的一种具体情况．思考下面3个方程有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个方程进行解释吗？(1)2x＋1＝3; (2)2x＋1＝0；(3)2x＋1＝－1.可以看出，这3个方程的等号左边都是2x＋1，等号右边分别是3,0,－1.从函数的角度看，解这3个方程相当于在一次函数y＝2x＋1的函数值分别为3,0，－1时，求自变量x的值.或者说，在直线y＝2x＋1上取纵坐标分别为3，0,－1的点，看它们的横坐标分别为多少画出一次函数y=2x+1的图象，如图:观察图象，前面的三个方程可以看成函数y=2x+1的一种具体情况．当y=3时，x=1；当y=0时，x=

；当y=-1时，x=-1．这三个方程的解则刚好是自变量x的一个值．因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为0时，求自变量x的值.从数的角度看：求ax+b=0的解，相当于求函数y=ax+b的值为0时，对应的自变量x.从形的角度看：求ax+b=0的解，这相当已知直线y=ax+b，确定它与x轴交点的横坐标．1.直线y＝2x

+

20

与x轴交点坐标为(

，

)，这说明方程

2x＋20＝0

的解是

x＝_____.-100-102.若方程

kx＋2＝0

的解是

x＝5，则直线y＝kx＋2与x轴交点坐标为(____，_____).50练一练例

一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒？(从方程、函数解析式及图象三个不同方面进行解答)解：设再过

x秒它的速度为17米/秒，由题意得2x+5=17，解得x=6.答：再过6秒它的速度为17米/秒.方程典例分析

解：速度

y(单位：米/秒)是时间

x(单位：秒)的函数，

y=2x+5.由2x+5=17得2x－12=0.由右图看出直线

y=2x－12与

x轴的交点为(6，0)，

得

x=6.Oxy6－12y=2x－12函数解析式解：速度

y(单位：米/秒)是时间

x(单位：秒)的函数，y=2x+5由右图可以看出当

y=17时，x=6.y=2x+5xyO6175－2.5图象已知一次函数y=3x+2，求函数值y＞2，y＜0，y＜-1时，自变量x的取值范围.自变量x的取值范围依次是x＞0，x＜,x＜-1．当y＞2时，3x+2大于几？当y＜0，y＜-1时，3x+2又小于几呢？可以怎样列式表示？可以写成3x+2＞2，3x+2＜0，3x+2＜-1的形式，就变成了一元一次不等式．思考下面3个不等式有什么共同点和不同点？你能从函数的角度对解这3个不等式进行解释吗？(1)3x＋2＞2; (2)3x＋2＜0；(3)3x＋2＜－1.可以看出，这3个不等式的不等号左边都是3x＋2,而不等号及不等号右边却有不同.从函数的角度看，解这3个不等式相当于在一次函数y＝3x＋2的函数值分别大于2、小于0、小于－1时，求自变量x的取值范围.或者说，在直线y＝3x＋2上取纵坐标分别满足大于2、小于0、小于－1的点，看它们的横坐标分别满足什么条件.

画出一次函数的图象，如图．从图象上观察，上面的三个不等式可以看成y=3x+2的函数值y大于2、小于0、小于-1时自变量x的取值范围．当y＞2时,x＞0；当y＜0时,x＜；当y＜-1时,x＜-1．由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y=ax+b的值大于0（或小于0）时，求自变量x相应的取值范围.从数的角度看：求ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的解，也就是求x为何值时y=ax+b的值大于0或小于0．从形的角度看：求ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)的解，也就是求直线y=ax+b在x轴上方或下方部分所有点的横坐标满足的条件．已知函数y1＝2x－5，y2＝3－2x，求当x取何值时：(1)y1＞y2；(2)y1＝y2；(3)y1＜y2.解：方法一：代数法．(1)y1＞y2，即2x－5＞3－2x，解得x＞2；(2)y1＝y2，即2x－5＝3－2x，解得x＝2；(3)y1＜y2，即2x－5＜3－2x，解得x＜2.所以当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2.图象法．在同一直角坐标系内画出函数y1＝2x－5和y2＝3－2x的图象，如图所示．由图象知，两直线的交点坐标为(2，－1)．观察图象可知，当x＞2时，y1＞y2；当x＝2时，y1＝y2；当x＜2时，y1＜y2.根据问题可寻找代数法和图象法两种途径，用代数法将其转化为解不等式，用图象法确定一元一次不等式的解集的方法是：先找出直线与坐标轴的交点，画出函数的图象，再观察图象，确定两条直线的交点坐标，最后观察图象交点两侧直线的位置，直接得出不等式的解集．观察函数图象，直接回答下列问题：（1）在什么时候，1号气球比2号气球高？（2）在什么时候，2号气球比1号气球高？气球1海拔高度：y=x+5气球2海拔高度：y=0.5x+15（1）20min后，1号气球比2号气球高.（2）0~20min时，2号气球比1号气球高.例

如图，求直线

l1与

l2的交点坐标.分析：由函数图象可以求直线

l1与

l2的解析式，进而通过方程组求出交点坐标.解方程组y=2x+2，

y=-

x+3，解：因为直线

l1过点(-1，0)，(0，2)

，用待定系数法可求得直线

l1的解析式为

y=2x+2.同理可求得直线

l2的解析式为

y=-

x+3.即直线

l1与

l2的交点坐标为一次函数与方程、不等式解一元一次方程对应一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，即一次函数与________的横坐标解一元一次不等式对应一次函数的函数值大(小)于0时，求自变量的取值范围，即在_______________的图象所对应的

x

取值范围

解二元一次方程组求对应两条直线____________x轴交点

x

轴上方

(或下方)交点的坐标课堂总结C1.已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程2x＋n＝0的解可能是(

)A．x＝1B．x＝C．x＝－

D．x＝－12.如图,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点(2，0)，与y轴相交于点(0，4)，结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是

.

x=23.如图，直线y=kx+