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文档简介

初中数学《函数》复习管头中学刘拦挡第一页,共三十七页。函数是初中数学的重要内容,它集坐标系、方程(组)、不等式、应用题、几何知识于一身,是初中数学知识的集中体现,是整个初中数学的难点,也是中考的重点。第二页,共三十七页。许多学生认为函数难学,这个“难”缘自哪里?其实,函数本身并不难,往往难在没有学好其它知识,也可能是因为没有掌握解题的基本方法。第三页,共三十七页。今天我们从五个方面来复习一下函数,你将全面了解函数的系统知识,学会基本的解题方法,体会到解决问题的基本策略。今天复习的五个方面是:一、会用函数的基本性质二、会用函数图象解决问题三、会看函数图象四、会与其它知识联系五、会用函数解决实际问题

第四页,共三十七页。“会用函数的基本性质”之一:一次函数的性质

1例1一次函数y=-2x+3的图象是经过

的,

,它与y轴交于

,它不经过第

象限,y随x的增大而

。将它向

平移

个单位后图象过原点,这时就成为

函数。

直线(0,3)(1,1)(0,3)yxO3三减小下3正比例第五页,共三十七页。“会用函数的基本性质”之二:反比例函数的性质

1例2A是双曲线上一点,AB⊥x轴于B,O是坐标原点,那么当x>0时,y随x的增大而

,S△AOB=

,此双曲线关于

对称。

增大3原点yxOAB或二、四象限的角平分线或一、三象限的角平分线第六页,共三十七页。“会用函数的基本性质”之三:二次函数的性质

1二次函数解析式常见的有三种,即一般式、顶点式、交点式。不同的形式性质也不同。

第七页,共三十七页。y=-3(x2-4x)-9=-3(x2-4x+4)-9+12=-3(x-2)2+3例3已知二次函数y=-3x2+12x-9,回答下列问题(1)化为顶点式是

,化为交点式是

。(2)图象的顶点坐标是

,对称轴是

,当x

时y随x的增大而增大。当x=

时y有最

值是

。若将抛物线向上平移2个单位,向左平移6个单位,得到的抛物线解析式为

。(3)图象与y轴的交点坐标是

,与x轴的交点坐标是

。(2,3)直线x=2<2y=-3(x-2)2+3y=-3(x2-4x+3)=-3(x-3)(x-1)y=-3(x-3)(x-1)2大3y=-3(x+4)2+5(0,-9)(1,0)、(3,0)2向上平移几,顶点纵坐标就加几,向左平移几括号内的数就加几。第八页,共三十七页。例4已知抛物线y=ax2+bx+c,(1)若抛物线与x轴交于(-3,0),(1,0),则对称轴是

。(2)当a+b+c=0时,抛物线一定过点

,当a-b+c=0时,抛物线一定过点

。(3)当b2-4ac

0时,抛物线与x轴有两个交点。(4)当

时,抛物线过原点;当

时,抛物线的顶点在y轴上(或者说以y轴为对称轴);当

时,抛物线的顶点在x轴上。(5)若x取x1和x2时,y的值相等,则x取时,y的值等于

。直线x=-1(1,0)>c=0(-1,0)b=0b2-4ac=04ac-b24a第九页,共三十七页。二次函数基本性质:1、抛物线是轴对称图形,对称轴是直线x=-b/2a;2、由顶点式可以解决顶点坐标,对称轴,最大(小)值,增减性,平移等问题。3、抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0)是关于对称轴对称的;4、b2-4ac的值决定了抛物线与x轴的交点个数;5、b=0时顶点在y轴上,Δ=0时顶点在x轴上,c=0时图象过原点;6、平移时“上加下减,左加右减”。小结第十页,共三十七页。

许多函数问题利用其图象来解决,显得灵活、直观、简便。画图多多,好处多多。

会用函数图象解决问题

2例5反比例函数和一次函数y=x+b的图象交于A、B两点,A点的横坐标是2,则B点的坐标是

.AB21-2-1(-1,-2)第十一页,共三十七页。例6抛物线与x轴交于A、B两点,顶点为C,为使△ABC成为直角三角形,必须将抛物线向上平移几个单位()A、7B、6C、5D、4

ABCO设平移后的抛物线为y=0.5x2+c,则C的坐标为(0,c),所以A的坐标为(-c,0),代入得0.5c2+c=0,解出c=-2(舍零),由-8到-2,应选B。B第十二页,共三十七页。例7已知抛物线y=ax2-2ax-1+a(a>0)与直线x=2,直线x=3,直线y=1,直线y=2围成的正方形有公共点,则a的取值范围是

.(注:直线y=1即为过(0,1)点平行于x轴的直线).

12312ABCD抛物线过C点是最低位置,此时C(3,1)代入得,9a-6a-1+a=1,a=1/2。抛物线过A点是最高位置,此时A(2,2)代入得,4a-4a-1+a=2,a=3。½≤a≤3第十三页,共三十七页。对已经给出的函数图象,要求我们能看懂图中的有用信息,达到解决问题的目的。这与函数性质的掌握有直接的关系。会看函数图象

3例8已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,OA>OB,有下列5个结论:①abc>0;②b<a+c;③

4a+2b+c<0;④2a+b<0;⑤ac+b+1=0,其中正确的结论有()2个 B.3个 C.4个 D.5个

a<0,b>0,c>0,①×∵x=-1时,y<0,∴a-b+c<0,即b>a+c,∴②×∵x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,∴③

√∵对称轴在x=1的左边,∴-b/2a<1,∵a<0,∴-b>2a即2a+b<0,∴④

√∵OA>OB,∴在OA之间有一点C使OC=OB。∵B(0,c),∴D(c,y),且y>0将其代入得ac2+bc+c>0,即ac+b+1>0,∴⑤×ACD第十四页,共三十七页。例9在同一坐标系中一次函数y=ax+b和二次函数y=ax2+bx的图象可能为()

OxyOxyOxyOxyABCD方法1、看直线和抛物线中的a、b是否有矛盾方法2、看抛物线是否过原点A方法3、找直线和抛物线与x轴的交点第十五页,共三十七页。一次函数y=kx+b与二次函数y=ax2+bx+c中字母的符号规律一次函数中,k决定直线的方向,b决定直线与y轴的交点二次函数中,a决定抛物线的开口,c决定抛物线与y轴的交点二次函数中,对称轴在y轴左侧时,a、b同号,反之a、b异号(简称“左同右异”)小结第十六页,共三十七页。例10看图写结论(1)已知二次函数的部分图象如图所示,则关于x的一元二次方程的解为

.将(3,0)代入,得m=3,则-x2+2x+3=0,即x2-2x-3=0,x1=3,x2=-1x1=3,x2=-1第十七页,共三十七页。(2)如图所示的抛物线是二次函数y=ax2-3x+a2-1的图象,那么a的值是

因为图象过(0,0),故a2-1=0,a=1或a=-1,又开口向下,故a=-1。例10看图写结论yxa=-1第十八页,共三十七页。(3)如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点,根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围是

X<-3或0<x<1例10看图写结论-3第十九页,共三十七页。会与其它知识联系4前面已经提到,函数问题往往与许多其它数学知识相联系,尤其是与方程、不等式以及几何的联系更加密切。

第二十页,共三十七页。“会与其它知识联系

”之一与方程的联系4例11(1)直线y=2x-1与直线y=-x+5的交点坐标是

。(2)方程的根的个数,与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同?通过画图,确定这个方程根的个数。

∵两条直线的交点坐标同时满足两个解析式∴可以解方程组来获得交点坐标(2,3)从第(1)题我们已经看到,方程组的解可以决定两个函数图象的交点,而(2)中的方程解的个数就是右面方程组解的个数第二十一页,共三十七页。这个方程组的解又与二次函数y=x2+4x-5和反比例函数图象的交点有直接的联系,我们画出两个图象如右图:从第(1)题我们已经看到,方程组的解可以决定两个函数图象的交点,而(2)中的方程解的个数就是右面方程组解的个数第二十二页,共三十七页。例11(1)直线y=2x-1与直线y=-x+5的交点坐标是

。(2)方程的根的个数,与我们学过的哪两个函数图象的交点个数相同?通过画图,确定这个方程根的个数。

(2,3)解:这个方程根的个数与二次函数y=x2+4x-5和反比例函数图象的交点个数相同。通过画图可知,共有3个根。

第二十三页,共三十七页。例12(1)直线y=-3x+2上有一动点A(x,y),设经过点(0,8)且平行于x轴的直线为m,经过点(0,-1)且平行于x轴的直线为n,当x取值范围是

时,点A在直线m、n之间。(2)不等式x2-2x-3>0的解,相当于函数

的图象在x轴

方的x取值范围。

-2<x<1“会与其它知识联系

”之二与不等式的联系4先画出大致图象,我们从图中发现:-1<y<8,即-1<-3x+2<8,-2<x<1.y=x2-2x-3上第二十四页,共三十七页。例13如图,点A在抛物线上,过点A作与x轴平行的直线交抛物线于B,延长AO、BO分别与抛物线相交于点C、D,连接AD、BC,设点A的横坐标为m,且m>0.

(1)当m=1时,求点A、B、C、D的坐标;

(2)当m为何值时,四边形ABCD的两条对角线互相垂直;

(3)猜想线段AB与CD

之间的数量关系,

并证明你的结论.

“会与其它知识联系

”之三与几何的联系4AxyB

COD第二十五页,共三十七页。(1)当m=1时,求点A、B、C、D的坐标;解:将x=1代入y=1/4·x2,得y=1/4,由AB∥CD得△AOB∽△COD,故DF=4FO,设D(4y,-y),得-y=-1/8·(4y)2,y=1/2(舍零),AxyB

C

ODEF故A(1,1/4),B(-1,1/4),C(-2,-1/2),D(2,-1/2)第二十六页,共三十七页。(2)当m为何值时,四边形ABCD的两条对角线互相垂直;

解:由A在抛物线上可知,AE=m,EO=1/4·m2,因AO⊥BO,AO=BO,故EO=AE,∴1/4·m2=m,m=4(舍零).AxyB

C

ODEF第二十七页,共三十七页。(3)猜想线段AB与CD之间的数量关系,并证明你的结论.

猜想:CD=2AB.DF=4/m·FO,设D(4y,-my),得-my=-1/8·(4y)2,AxyB

C

ODEF故y=m/2,DF=2m,DF=2AE,即CD=2AB.证明:由A在抛物线上可知,AE=m,EO=1/4·m2,由AB∥CD得△AOB∽△COD,第二十八页,共三十七页。许多实际问题有两个变量,往往就有函数关系存在。利用函数关系式可以解决实际问题中的数量关系和最值问题。

会用函数解决实际问题

5第二十九页,共三十七页。会用函数解决实际问题

5例14陈琳从甲地匀速前往乙地,3h后距离乙地110km,5h后距离乙地50km。问几h后到达乙地?解:设x(h)后距离乙地y(km),陈琳速度为v(km/h),甲乙两地相距a(km),由已知,得y=a-vx,将x=3,y=110和x=5,y=50代入,得解得所以,y=200-30x当y=0时陈琳到达乙地,即200-30x=0,答:陈琳行了h到达乙地。第三十页,共三十七页。PPT内容概述初中数学《函数》复习。许多学生认为函数难学,这个“难”缘自哪里。y=-3(x+4)2+5。1、抛物线是轴对称图形,对称轴是直线x=-b/2a。许多函数问题利用其图象来解决,显得灵活、直观、简便。2个 B.3个。方法1、看直线和抛物线中的a、b是否有矛盾。X<-3或0<x<1。-2<x<1。先画出大致图象,我们从图中发现:-1<y<8,。(3)猜想线段AB与CD

之间的数量关系,

并证明你的结论.。得y=1/4,由AB∥CD得。△AOB∽△COD,故。(3)猜想线段AB与CD之间的数量关系,并证明你的结论.。由AB∥CD得△AOB∽△COD,。许多实际问题有两个变量,往往就有函数关系存在。利用函数关系式可以解决实际问题中的数量关系和最值问题。现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元。答:放养25天后可以获得最大利润,最大利润是6250元。由已知,容易证明△ADE∽△BEF,第三十一页,共三十七页。会用函数解决实际问题

5例15一学生推铅球,在距地面m的A处推出铅球,铅球经过的路线呈抛物线状(如图建立平面直角坐标系),如果抛物线的最高点M离y轴距离4m,距地面高度为3m,求该学生推铅球的成绩。

解:由已知,A(0,5/3),顶点M(4,3)设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+3将A点坐标代入上述解析式,得16a+3=5/3,a=-1/12,所以y=-1/12·(x-4)2+3,令y=0,则-1/12·(x-4)2+3=0,解得x=10(舍负),答:该学生推铅球的成绩为10米。第三十二页,共三十七页。会用函数解决实际问题

5例16有一种螃蟹,放养在塘内,可以延长存活时间,但每天也有一定数量的蟹死去,假定放养期内蟹的个体重量基本不变。现有一经销商,按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内,此时市场价为每千克30元。据测算,此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元。但是,放养一天需各种费用支出400元,且平均每天还有10千克蟹死去。假定死蟹均于当天全部出售,售价都是每千克20元。(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元,写出p关于x的函数解析式;(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售,并记1000千克蟹的销售总额为Q元,写出Q关于x的函数解析式;(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售,可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)?最大利润是多少?

第三十三页,

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