2019版数学浙江省学业水平考试专题复习必修4-§5

知识点一平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ投影|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积特别提醒：(1)两非零向量a＝eq\o(OA,\s\up6(→))，b＝eq\o(OB,\s\up6(→))，则a与b夹角为∠AOB，其范围是[0，π]；(2)数量积是一个实数；(3)零向量与任一向量的数量积为零．知识点二平面向量数量积的性质及运算律1．数量积的重要性质对于非零向量a，b，(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ，其中θ为a与e的夹角，e为单位向量；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝|a|2，|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)，其中θ为a与b的夹角；(5)|a·b|__≤__|a||b|.2．数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

知识点三平面向量数量积、模、夹角的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)a·b＝x1x2＋y1y2.(2)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))或|a|2＝xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1).(3)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).知识点四向量垂直的充要条件设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a，b为非零向量)．题型一向量的夹角与模的问题例1(1)(2016年10月学考)设向量a＝(x－2,2)，b＝(4，y)，c＝(x，y)，x，y∈R，若a⊥b，则|c|的最小值是()A.eq\f(2\r(5),5)B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\r(5)(2)(2016年4月学考)已知平面向量a，b满足|a|＝eq\f(\r(3),4)，b＝e1＋λe2(λ∈R)，其中e1，e2为不共线的单位向量，若对符合上述条件的任意向量a，b恒有|a－b|≥eq\f(\r(3),4)，则e1，e2夹角的最小值为()A.eq\f(π,6)B.eq\f(π,3)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(5π,6)答案(1)B(2)B解析(1)由题意得a·b＝(x－2,2)·(4，y)＝0，即2x＋y＝4.方法一∴|c|＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(x2＋4－2x2)＝eq\r(5x2－16x＋16)＝eq\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(8,5)))2＋\f(16,5))≥eq\f(4\r(5),5).方法二∵|c|＝eq\r(x2＋y2)，即直线2x＋y－4＝0上的点(x，y)到原点(0,0)的距离，∴|c|min＝eq\f(|2×0＋0－4|,\r(22＋12))＝eq\f(4\r(5),5).(2)∵|a－b|≥eq\f(\r(3),4)，∴a2－2a·b＋b2＝|b|2－eq\f(\r(3),2)|b|cos〈a，b〉＋eq\f(3,16)≥eq\f(3,16)，∴|b|2－eq\f(\r(3),2)|b|cos〈a，b〉≥0，即|b|≥eq\f(\r(3),2)cos〈a，b〉．即|b|≥eq\f(\r(3),2)，∴|e1＋λe2|2≥eq\f(3,4)，设e1与e2的夹角为θ，则eeq\o\al(2,1)＋2λ|e1||e2|cosθ＋λ2eeq\o\al(2,2)≥eq\f(3,4)，∵|e1|＝|e2|＝1，则λ2＋(2cosθ)λ＋eq\f(1,4)≥0，∴Δ＝4cos2θ－4×eq\f(1,4)≤0，∴－eq\f(1,2)≤cosθ≤eq\f(1,2)，又θ∈[0，π]，∴θ的最小值为eq\f(π,3).感悟与点拨(1)求夹角或模可以直接利用公式：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)利用|a|2＝a2，即|a|＝eq\r(a·a).(3)利用方程与函数的思想构建关于角或模的函数或方程求解．跟踪训练1(1)已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝eq\r(13)，则|b|等于()A．1B．3C．4D．5(2)(2018年4月学考)若平面向量a，b满足2a＋b＝(1,6)，a＋2b＝(－4,9)，则a·b＝________.(3)已知△ABC外接圆的圆心为O，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\r(3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则∠AOC＝________.答案(1)C(2)－2(3)eq\f(2π,3)解析(1)根据条件，(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝9－3|b|＋|b|2＝13，解得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．(2)∵2a＋b＝(1,6)，a＋2b＝(－4,9)，∴a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴a·b＝(2,1)·(－3,4)＝－6＋4＝－2.(3)设|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\r(3)eq\o(OB,\s\up6(→))，两边平方，∴12＋4·eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＋4×12＝3×12，∴eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)，∴cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝－eq\f(1,2)，∵0＜∠AOC＜π，∴∠AOC＝eq\f(2π,3).题型二向量的平行与垂直例2已知平面向量a＝(2，x)，b＝(2，y)，c＝(3，－4)，且a∥c，b⊥c，则a与b的夹角为________．答案eq\f(π,2)解析∵a∥c，∴－8－3x＝0，解得x＝－eq\f(8,3).∵b⊥c，∴6－4y＝0，解得y＝eq\f(3,2).∴a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(8,3)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))).设a与b的夹角为θ，且θ∈[0，π]，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(2×2－\f(8,3)×\f(3,2),\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8,3)))2)\r(22＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2))＝0，∴θ＝eq\f(π,2)，即向量a与b的夹角为eq\f(π,2).(2)在△ABC中，点A(2，－1)，B(3,2)，C(－3，－1)，AD为边BC上的高，求eq\o(AD,\s\up6(→))与点D的坐标．解设点D的坐标为(x，y)，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝(x－2，y＋1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(－6，－3)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(x－3，y－2)，∵点D在直线BC上，即eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))共线，∴存在实数λ，使eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，即(x－3，y－2)＝λ(－6，－3)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3＝－6λ，,y－2＝－3λ，))得x－2y＋1＝0.①又∵eq\o(AD,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即(x－2，y＋1)·(－6，－3)＝0，即2x＋y－3＝0.②由①②，得x＝1，y＝1，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＝(－1,2)，点D的坐标为(1,1)．感悟与点拨a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b为非零向量．(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.跟踪训练2(1)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值为()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(5,3)C.eq\f(5,3) D.eq\f(3,2)答案A解析∵c＝(1＋k,2＋k)，又b·c＝0，∴1＋k＋2＋k＝0，∴k＝－eq\f(3,2).(2)在平面四边形ABCD中，向量a＝eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,1)，b＝eq\o(BC,\s\up6(→))＝(3，－1)，c＝eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－1，－2)．①若向量a＋2b与向量b－kc垂直，求实数k的值；②若eq\o(DB,\s\up6(→))＝meq\o(DA,\s\up6(→))＋neq\o(DC,\s\up6(→))，求实数m，n.解①∵向量a＋2b与向量b－kc垂直，∴(a＋2b)·(b－kc)＝0.∴(10，－1)·(3＋k，－1＋2k)＝0.∴30＋10k＋1－2k＝0，∴k＝－eq\f(31,8).②∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2，－3)，∴eq\o(DB,\s\up6(→))＝(－2,3)．∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝(6，－2)，∴eq\o(DA,\s\up6(→))＝(－6,2)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(1,2)．∵eq\o(DB,\s\up6(→))＝meq\o(DA,\s\up6(→))＋neq\o(DC,\s\up6(→))，∴(－2,3)＝m(－6,2)＋n(1,2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2＝－6m＋n，,3＝2m＋2n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝1.))

题型三平面向量的综合应用例3(1)已知平面向量a，b满足|a|＝|b|＝2，存在单位向量e，使得(a－e)·(b－e)＝0，则|a－b|的取值范围是________________．(2)已知平面向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，若c为平面单位向量，则|a·c|＋|b·c|的最大值是________．答案(1)[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1](2)eq\r(7)解析(1)由(a－e)·(b－e)＝0，得a·b＋1＝e(a＋b)，所以|a·b＋1|＝|e(a＋b)|≤|a＋b|，即(a·b＋1)2≤|a＋b|2，所以(a·b)2≤7，所以a·b∈[－eq\r(7)，eq\r(7)]，所以|a－b|＝eq\r(8－2a·b)∈[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1]．(2)|a·c|＋|b·c|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a·c,|c|)))＋eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b·c,|c|)))，其几何意义为a在c方向上的投影的绝对值与b在c方向上投影的绝对值的和，当c与a＋b共线时，取得最大值．∴(|a·c|＋|b·c|)max＝|a＋b|＝eq\r(|a|2＋|b|2＋2a·b)＝eq\r(7).感悟与点拨(1)熟练进行数量积、模、夹角的计算与转化．(2)充分利用向量加减运算，数量积运算的几何意义．(3)充分利用“数形结合”．(4)将向量坐标化，通过坐标运算来解决问题．跟踪训练3(1)已知点G为△ABC的重心，∠A＝120°，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，则|eq\o(AG,\s\up6(→))|的最小值是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)(2)已知向量a，b，|a|＝1，|b|＝2，若对任意单位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤eq\r(6)，则a·b的最大值是________．答案(1)C(2)eq\f(1,2)解析(1)设BC的中点为M，则eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→)).又M为BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，所以|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)eq\r(\o(AB,\s\up6(→))2＋\o(AC,\s\up6(→))2＋2\o(AB,\s\up6(→))·\o(AC,\s\up6(→))\o(\s\up7(),\s\do5()))＝eq\f(1,3)eq\r(\o(AB,\s\up6(→))2＋\o(AC,\s\up6(→))2－4\o(\s\up7(),\s\do5())).又因为eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝－2，∠A＝120°，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AC,\s\up6(→))|＝4.因为|eq\o(AG,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)eq\r(\o(AB,\s\up6(→))2＋\o(AC,\s\up6(→))2－4\o(\s\up7(),\s\do5()))≥eq\f(1,3)eq\r(2|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|－4\o(\s\up7(),\s\do5()))＝eq\f(2,3)，当且仅当|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|时取“＝”，所以|eq\o(AG,\s\up6(→))|的最小值为eq\f(2,3)，故选C.(2)因为|(a＋b)·e|＝|a·e＋b·e|≤|a·e|＋|b·e|≤eq\r(6)，所以|(a＋b)·e|≤|a＋b|≤eq\r(6)，平方得|a|2＋|b|2＋2a·b≤6，即12＋22＋2a·b≤6，则a·b≤eq\f(1,2)，故a·b的最大值是eq\f(1,2).一、选择题1．设向量a，b均为单位向量，且|a＋b|＝1，则a与b的夹角θ为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)答案C2．已知向量a＝(1,2)，a·b＝5，|a－b|＝2eq\r(5)，则|b|等于()A.eq\r(5) B．2eq\r(5)C．5 D．25答案C3．已知向量a，b满足a＋b＝(1，－3)，a－b＝(3,7)，则a·b等于()A．－12B．－20C．12D．20答案A解析方法一∵(a＋b)＋(a－b)＝2a＝(4,4)，∴a＝(2,2)，∴b＝(a＋b)－a＝(－1，－5)，∴a·b＝2×(－1)－2×5＝－12.方法二∵(a＋b)2－(a－b)2＝－48，∴4a·b＝－48，∴a·b＝－12.

4．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．－eq\f(3,2)a2 B．－eq\f(3,4)a2C.eq\f(3,4)a2 D.eq\f(3,2)a2答案D解析如图所示，∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))，∴eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BA,\s\up6(→))＝a2＋a·acos60°＝eq\f(3,2)a2.故选D.5．已知向量a，b满足|a|＝2，a·(b－a)＝－3，则b在a方向上的投影为()A.eq\f(2,3)B．－eq\f(2,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案C解析∵|a|＝2，a·(b－a)＝－3，∴a·b－a2＝a·b－22＝－3,∴a·b＝1，∴向量b在a方向上的投影为eq\f(a·b,|a|)＝eq\f(1,2).故选C.6.如图所示，半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A，B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))的最小值是()A．2B．0C．－1D．－2答案D解析由平行四边形法则得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，故(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))，又|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2－|eq\o(PO,\s\up6(→))|，且eq\o(PO,\s\up6(→))，eq\o(PC,\s\up6(→))反向，设|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝t(0≤t≤2)，则(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝－2t(2－t)＝2(t2－2t)＝2[(t－1)2－1]．因为0≤t≤2，所以当t＝1时，(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))·eq\o(PC,\s\up6(→))取得最小值－2，故选D.7．在边长为1的正方形ABCD中，点M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(EM,\s\up6(→))的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) D．[0,1]答案C解析如图，以AB，AD所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，进而可得C(1,1)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，设E(x,0)(0≤x≤1)，所以eq\o(EC,\s\up6(→))＝(1－x,1)，eq\o(EM,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－x，\f(1,2)))，所以eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(EM,\s\up6(→))＝(1－x)(1－x)＋1×eq\f(1,2)＝x2－2x＋eq\f(3,2)＝(x－1)2＋eq\f(1,2).因为0≤x≤1，所以当x＝1时，(eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(EM,\s\up6(→)))min＝eq\f(1,2)；当x＝0时，(eq\o(EC,\s\up6(→))·eq\o(EM,\s\up6(→)))max＝eq\f(3,2).8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝3，点P在AD上，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))等于()A．4 B．2C．－2 D．－4答案D解析由|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝3，点P在AD上，且满足eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(PD,\s\up6(→))，可得|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝1，|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝2，由D是BC的中点，可得2eq\o(PD,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，即有eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PD,\s\up6(→))＝－2|eq\o(PA,\s\up6(→))|·|eq\o(PD,\s\up6(→))|＝－2×1×2＝－4.9.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，eq\o(CP,\s\up6(→))＝3eq\o(PD,\s\up6(→))，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝2，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))等于()A．22 B．23C．24 D．25答案A解析∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(BC,\s\up6(→))－\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝2，∴eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,4)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(3,16)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝25－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(3,16)×64＝2.∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝22.10．已知a，b是两个单位向量，a·b＝0，若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1] B．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋2]C．[1，eq\r(2)＋1] D．[1，eq\r(2)＋2]答案A解析条件|c－a－b|＝1可理解成如图的情况．|a＋b|＝eq\r(2)，向量c的终点在单位圆上，故|c|的最大值为eq\r(2)＋1，最小值为eq\r(2)－1.二、填空题11．在平行四边形ABCD中，AD＝2，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝1，则AB的长为________．答案6解析如图所示，由题意可得，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＝eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝22－eq\f(1,2)×2×|eq\o(AB,\s\up6(→))|×cos60°＝1，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝6，即AB的长为6.12．已知正三角形ABC的边长为1.设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，那么a·b＋b·c＋c·a的值为________．答案eq\f(1,2)解析由题意可知，a，b的夹角为120°，b，c的夹角为60°，a，c的夹角为60°，所以a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos120°＋1×1×cos60°＋1×1×cos60°＝eq\f(1,2).13．在等腰三角形ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，点E为斜边BC的中点，点M在线段AB上运动，则eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))的取值范围是________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16)，1))解析如图，以A为坐标原点，AC，AB所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(0,1)，C(1,0)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2))).设M(0，m)(0≤m≤1)，则eq\o(ME,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)－m))，eq\o(MC,\s\up6(→))＝(1，－m).eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)－meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－m))＝m2－eq\f(1,2)m＋eq\f(1,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(1,4)))2＋eq\f(7,16)，由于eq\f(1,4)∈[0,1]，所以当m＝eq\f(1,4)时，eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))取得最小值eq\f(7,16)；当m＝1时，eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))取得最大值1.所以eq\o(ME,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,16)，1)).14.(2016年10月学考)如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2，若点P满足eq\o(BP,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝______.答案4解析依题意得eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(2,3)\o(AC,\s\up6(→))))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))2＝－eq\f(4,3)－eq\f(2,3)＋6＝4.15．(2017年4月学考)设点P是边长为2的正三角形ABC的三边上的动点，则eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))的取值范围为________．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(9,8)，2))解析取AB的中点O.以AB的中点O为坐标原点，AB边所在直线为x轴，AB边高线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，可得A(－1,0)，B(1,0)，C(0，eq\r(3))．当点P在线段AB上时，设P(t,0)(－1≤t≤1)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－1－t,0)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1－t,0)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－t，eq\r(3))，即有eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－1－t,0)·(1－2t，eq\r(3))＝(－1－t)(1－2t)＋0×eq\r(3)＝2t2＋t－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,4)))2－eq\f(9,8)，由－1≤t≤1可得，当t＝－eq\f(1,4)时，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最小值－eq\f(9,8)，当t＝1时，eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))取得最大值2；当点P在线段CB上时，设P(m，eq\r(3)(1－m))(0≤m≤1)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(－1－m，eq\r(3)(m－1))，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(1－m，eq\r(3)(m－1))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝(－m，eq\r(3)m)，即有eq\o(PA,\s\up6(→))·(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝(－1－m，eq\r(3)(m－1))·(1－2m，eq\r(3)(2m－1))＝(－1－m)(1－2m)＋eq\r(3)(m－1)×eq\r(