(通用版)2017届高三数学二轮复习课余自主加餐训练(二)数列专练理

(二)数列专练1．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，aeq\o\al(2,3)＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n项和．2．在等差数列{an}中，a2＋a7＝－23，a3＋a8＝－29.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，求{bn}的前n项和Sn.3．已知递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，a6＝64，且a4，a5的等差中项为3a3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(n,a2n－1)，求数列{bn}的前n项和Tn.4．设数列{an}的各项均为正数，且a1，22，a2，24，…，an，22n，…成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sk≥30(2k＋1)，求正整数k的最小值．答案1．解：(1)设数列{an}的公比为q.由aeq\o\al(2,3)＝9a2a6得aeq\o\al(2,3)＝9aeq\o\al(2,4)，所以q2＝eq\f(1,9).由条件可知q＞0，故q＝eq\f(1,3).由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，得a1＝eq\f(1,3).故数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,3n).(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－eq\f(n（n＋1）,2).故eq\f(1,bn)＝－eq\f(2,n（n＋1）)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1))).eq\f(1,b1)＋eq\f(1,b2)＋…＋eq\f(1,bn)＝－2[eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)－\f(1,n＋1)))]＝－eq\f(2n,n＋1).所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,bn)))的前n项和为－eq\f(2n,n＋1).2．解：(1)设等差数列{an}的公差是d.∵a3＋a8－(a2＋a7)＝2d＝－6，∴d＝－3，∴a2＋a7＝2a1＋7d＝－23，解得a1＝－1，∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋2.(2)∵数列{an＋bn}是首项为1，公比为q的等比数列，∴an＋bn＝qn－1，即－3n＋2＋bn＝qn－1，∴bn＝3n－2＋qn－1.∴Sn＝[1＋4＋7＋…＋(3n－2)]＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)＝eq\f(n（3n－1）,2)＋(1＋q＋q2＋…＋qn－1)，故当q＝1时，Sn＝eq\f(n（3n－1）,2)＋n＝eq\f(3n2＋n,2)；当q≠1时，Sn＝eq\f(n（3n－1）,2)＋eq\f(1－qn,1－q).3．解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由题意，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1q5＝64，,a1q3＋a1q4＝6a1q2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,q＝2或q＝－3（舍），))所以an＝2n.(2)因为bn＝eq\f(n,a2n－1)＝eq\f(n,22n－1)，所以Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(2,23)＋eq\f(3,25)＋eq\f(4,27)＋…＋eq\f(n,22n－1)，eq\f(1,4)Tn＝eq\f(1,23)＋eq\f(2,25)＋eq\f(3,27)＋…＋eq\f(n－1,22n－1)＋eq\f(n,22n＋1)，所以eq\f(3,4)Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,23)＋eq\f(1,25)＋eq\f(1,27)＋…＋eq\f(1,22n－1)－eq\f(n,22n＋1)＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4n))),1－\f(1,4))－eq\f(n,22n＋1)＝eq\f(2,3)－eq\f(4＋3n,3×22n＋1)，故Tn＝eq\f(8,9)－eq\f(4＋3n,9×22n－1).4．解：(1)设等比数列的公比为q，则q2＝eq\f(24,22)＝22，又由题意q>0，故q＝2，从而an＝eq\f(22n,2)＝22n－1，即数列{an}的通项公式为an＝22n－1.(2)由(1)知a1＝2，数列{an}是以22为公比的等比数列，故Sn＝eq\f(2[1－（22）n],1－22)＝eq\f(2,3)(22n－1)．因此不等式Sk≥30(2k＋1)可化为e