2023届高三第一轮复习-函数的基本概念(解析版)（全国文理通用）

2022-2023学年高三第一轮复习素养提升考点透析(全国文理通用版)

2.1函数的基本概念(解析版)

【重点知识梳理】

知识点1.函数与映射的概念

(1)函数：一般地，设A,8是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系了,使对

于集合4中的任意一个数x,在集合8中都有唯一确定的数八外和它对应，那么就称A—8

为从集合A到集合8的一个函数，记作y=^x),xCA.其中，x叫做自变量，x的取值范围

A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合伏x)|xGA}叫做函

数的值域.

(2)映射：一般地，设A,B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系/，使对

于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应

/：A—B为从集合A到集合B的一个映射.

知识点2.函数的三要素

(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

(2)两个函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个

函数相等.

知识点3.分段函数

若函数在定义域的不同子集上的对应关系不同，则这种形式的函数叫做分段函数，它是

一类重要的函数.

知识点4.复合函数

一般地，对于两个函数yfw)和“=g(x),如果通过变量”，)，可以表示成x的函数，那

么称这个函数为函数和"=g(x)的复合函数，记作y=7(g(x)),其中>=火〃)叫做复合函

数y=Ag(x))的外层函数，〃=g(x)叫做y=Ag(x))的内层函数•

【考点透析】

考点一函数的概念

【例题1】.(2022•河北省邢台一中期中)下列所给图象是函数图象的个数为()

①②③④

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①中当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象，②中当

x=x°时，y的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x的值对应唯一的y值，因此

是函数图象.

【例题2】.(2022•江苏南通高三练习)函数y=/(x)与)轴的交点个数为()

A.至少1个B.至多一个C.有且只有一个D.与有关，不能确定

【答案】B

【解析】由函数定义可知，定义域包含x=o时，则与y轴有1个交点，当定义域不包含x=o

时，则与y轴无交点，所以函数y=f(x)与y轴的交点个数为。个.

故选：B

【例题3】(2021•山西•怀仁市第一中学校高三检测)中国清朝数学家李善兰在1859年翻译

《代数学》中首次将而〃”译做“函数”沿用至今，已知集合"={7,1,2,4},N={1,2,4,16},

给出下列四个对应关系，请由函数定义判断，其中能构成从何到N的函数的是()

A.y=2xB.y=x+lC.y=2xD.y=x2

【答案】D

【解析】在A中，当x=-l时，y史N、故A错误；

在B中，当x=-l,2,4时，y^N,故B错误；

在C中，当x=-l,4时，"N,故C错误；

在D中，任取xwM,总有y=x?cN,故D正确.

故选：D

【例题4】.(2023•全国•高三专题练习)存在函数“X)满足，对任意xeR都有()

A./(cos2x)=sinxB.1/'(x2-2x)=|x-l|C./(x?+1)=D./(cos2x)=x2+x

【答案】B

【解析】对A,取x=(可得/(cos]]=sin?,即/(0)=等，再取?可得

/fcos^-1J=sin^-^,即〃o)=_等，故A错误；

对B,令「=/一2》，此时|x-l|=Jx2_2x+l=g,即/(r)=JFTT(fZ—l),符合题设，

故B正确；

对C,取x=—l,有/(2)=0；取x=l,有〃2)=2,故C错误；

对D,取x=［得〃0)=2+乙，再取x=—£可得/(0)=二-三，故D错误

4v71644、1164

故选：B

【例题5】.(2021・陕西安康高三模拟)下列函数中，对于定义域内的任意乂/*+1)=/(》)+1

恒成立的为()

A./(x)=x+lB.f(x)=-x2C.f(x)=—D.f(x)=ix\

x

【答案】A

【解析】A：/(x+l)=(x+l)+l=/(x)+l,成立.B：/(x+1)=-(x+l)2*/(x)+l,不成立.

C：/(x+l)=工，/(x)+l=-+l,不成立.D：/(x+DMx+H,/(x)+l=|x|+l,不成立.

X+lX

故选：A

【例题6】.(2022•河南省平顶山模拟)已知具有性质：娟=一段)的函数，我们称为满足“倒

负”变换的函数，下列函数：

x,0<%<1,

0,x=l,

Q/(x)=jc-p(gyu)=x+%物x)=其中满足“倒负”变换的函数是—.(填

px>\.

序号)

一『("),满足题意：对于②,=；+x=«),

X,

1

即/故

X,0,x—l,

、一x,0<^<1,

«3=-f(x),满足题意.

综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.

【例题7】.(2022•四川省眉山一中模拟)设式x),g(x)都是定义在实数集上的函数，定义函

;二gO)=A则()

%2,烂0,[Inx,x>0,

A.(A/)(x)=/(x)B.(f-g)(x)=j(x)

C(g・7)(x)=g(x)D・(g-g)(x)=g(x)

【答案】A

(x),f(x)>0,

【解析】对于A,(/•7)(x)=f(F(/))=]、,、yc当x>0时，f(x)=x>0,

[f2(x),/(x)<0,

(/,/)(x)=f(x)=x；当水0时，f(x)=/>0,(F・/)(x)=F(x)=/；当x=0时，(L/)(x)

=f\x)=0=0\因此对任意的x£R,有(F・/)(x)=F(x),故A正确，选A.

考点二判断同一函数

【例题8】(2021•山东威海模拟)下列函数为同一函数的是()

A.f(x)=皿与g(x)=[L"—°B.f(%)=而Vx+1与g(x)=Jx(x+1)

xl-l,x<0

C.f(x)=/-2x-1与g(r)=P-2r-1D./(x)=1与g(x)=x°(x#0)

【答案】C

【解析】解：对于4f(x)=—=%,定义域是(-8,o)U(0,+8),g

x1-1,%<0

(X)=「'X-0,定义域为R,两函数的定义域不同，不是同一函数；

I-19xV0

对于6,F(x)=VxVx+1=7X(X+1),定义域是[0，+°°).g(x)=yjx(x+1),定

义域为(-8,-1)U(0,+8),两函数的定义域不同，不是同一函数；对于C,f(x)

=x~2x~I,定义域是R,g(t)=tz-2t-1,定义域为R,两函数的定义域相同，对

应关系也相同，是同一函数；对于〃，f3=1,定义域是R,g(x)=f=l,定义域

为(-8,0)U(0,+8),两函数的定义域不同，不是同一函数.

故选：C.

【例题9】.(2022•黑龙江•铁人中学高三开学考试)以下各组函数中，表示同一函数的是()

A.f(x)=7?>g(x)=Y?B./(x)=VxVx+1,g(x)=y]x2+x

C.y=x°,y=±r(X-l)(X+3)a

D.y=-——v=X+3

X—1

【答案】c

【解析】对于A,y(x)=>/?=|x|,g(x)=V?=x.对应法则不同，故不是同一函数；

对于B,/(耳=石》771的定义域为[0,也)，g(x)=jY+x的定义域为

定义域不相同，故不是同一函数；对于c,y=x0=l的定义域为(T,0)U(0,T8),y=+=i

的定义域为(f,O)U(O,+8),故是同一函数；对于D,y=(、l)(：+3)的定义域为

(Y。1)(1,-8),y=x+3的定义域为R,故不是同一函数.

故选：C.

考点三函数求值

(-)具体函数的求值

【例题I。】⑵2。•江苏•无锡市大桥实验学校高二期中)若函数/。)=喜,则

〃l)+〃2)+〃3)+)

r101

A.50D.—

2

【答案】C

【解析】因为f(x)=

则〃1)+〃2)+〃3)

=7•⑴+/(2)+出)+/(3)+

+/(50)+f

199

=-+1x49=—,

22

故选：C.

【例题11】.(2022•甘肃酒泉高三开学检测)设函数y=/(x)(%£R)满足

7兀

/(x+7t)=/(x)+sinx,当04x<7t时，/(x)=0,则/=()

B.1「£

A.0V.---------D.1

22

【答案】A

【解析】因函数y=/(x)(xwR)满足/l(x+Tth/aHsinx,且当04x＜兀时，/(x)=0,

4兀、.4兀+sin色+sin他=0+且一直=0,

则/(y)=/(y—)+sin—

3322

所以f(T)=o.

故选：A

【例题12].(2023•甘肃天水一中高三专题练习)已知定义域为人的函数,f(x)的图象关于点

(1,0)成中心对称，且当xNl时，f[x}=x2+mx+n,若/(一1)=-7,则3加+〃=()

A.7B.2C.—2D.—

2

【答案】C

【解析】解：因为定义域为R的函数/(X)的图象关于点(1,0)成中心对称，且当XN1时，

/(x)=x2-4-mx+n,

若〃一l)=—7,贝1/(3)=—/(一1)=7.

故/(3)=32+3〃?+〃=7,即3，〃+〃=—2.

故选：C.

【例题13].(2021•山西大附中高二期中)设函[数/。)=以5+法3+5+7(其中以b、c为

常数，xeR),若/(-1)=一17,则f(l)=()

A.17B.-17C.31D.-31

【答案】C

【解析】解：因为=7,令8(%)=加+加+5,则

g(-x)=«(-x)5+Z>(-x)3+c(-x)=-(ax5+/?x3+cx)=-g(x),ERg(x)=ar5+bx3+cx为奇函

数，则/(x)=g(x)+7,又/(-1)=T7,即=1)+7=—17,所以g(—1)=一24,所

以〃l)=g(l)+7=-g(-1)+7=24+7=31；

故选：C

【例题14].(2022•内蒙古赤峰•高二期末(理))已知〃力=7•'⑴ln(x+l)-〃0)x+y2,

则〃2)的值为()

A.2+21n3B.l+31n3C.2+ln3D.l+41n3

【答案】A

[解析】因为f(x)=f'(l)ln(x+l)_/(0)x+gx2,/(O)=/'(l)ln(O+l)_/(O)xO+gxO2=O,

所以r(x)=g)+x,所以尸6=曹+1=孚+1,

所以尸(1)=2,所以/(x)=2ln(x+l)+；x2,

所以f(2)=21n(2+l)+；x22=21n3+2,

故选：A

(二)分段函数求值及其他

log2(x-l),x>2

【例题15].(2022•安徽•北大培文蚌埠实验学校高三开学)设函数f(x)=(]丫，

1一-X2

若/[〃-3)]=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】：〃一3)=(；)-3=5,/(5)=log,(5-l)=2.

故选：B.

77,0<X<1

【例题161(2022•山西长治高三模拟)设函数/(幻=[1,则八3)=()

5f(x-l),x>1

A.-B.yC.—D.1

422

【答案】A

4x,0<x<\

【解析】因函数/(x)=1，则八3)=』八2)=:/(i)=!，

-f(x-\),x>\244

.乙

所以/(3)=!.

4

故选：A

log3X，X>0,

【例题17](2022•安徽安庆一中模拟)已知犬尤)=一，八(0<a<l),且|-2)=5,

cv+b,烂0

八-1)=3,则欢一3))=()

A.-2B.2C.3D.-3

【答案】B

【解析】(1)因为f(l)=Y+2=3,所以f(f(l))=f(3)=3+:9—4.故选C.

(2)由题意得，f(-2)=a-2+b=5,①

f(―1)=a1+b=3,②

联立①②，结合得a=1b=1,

log3X,x>0,

所以f(x)=、Zj\

U+1,xWO,

-3

则f(一3)=(，+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2,故选B。

2x+n,x<l,/

【例题18】.(2021•浙江省宁波一中模拟)设函数«r)=若=2,则

log2X,X>L

实数〃的值为()

A.—B.—|C.；D.|

【答案】D

【解析】因为/{1)=2义弃刀=?+〃,当即〃V—；时,

jq乙乙乙

/(6))=41+"+"=2,解得片一；，不符合题意；

当5+庐1,即g时，Gt))=l°g2(l+")=2，即|+〃=4,

解得〃=5,符合题意，故选D.

—|—x,x>0,

【例题19].(2022•吉林省四平一中模拟)已知函数40=''若叫⑷一八一“)]

—3x,x<0,

>0,则实数a的取值范围为()

A.(1,+co)B.(2,+oo)C.(—oo,—1)U(1,+oo)D.(—oo,—2)U(2,+oo)

【答案】D

【解析】当a>0时，不等式a[F(a)—f(—a)]>0化为才+a—3a>0,解得a>2.

当aVO时，不等式a[f(a)—F(—a)]>0化为———2aV0,解得a<—2.

综上可得实数a的取值范围为(—8,-2)U(2,+8).

(三)抽象函数的求值

【例题20]..(2020•河南•三门峡市外国语高级中学高一期中)已知定义在R上的函数/(X)

满足/1(x+y)=/(x)+f(y)+4取,/(1)=1,则/(-2)=()

A.-2B.2C.6D.10

【答案】D

【解析】因为函数“X)满足〃x+y)=〃x)+f(y)+4孙，/(1)=1,

所以〃o)=f(o)+/(o),即〃。)=0,

所以/(O)=/(l)+f(T)_4即/(T)=3,

/(-2)=/(-1)+/(-1)+4^10,

故选：D

【例题21].(2021•浙江省杭州第二中学高三开学)函数/(》)满足：

入,”(70,0)5。,+8),/(盯)=/(幻+/(y)+1恒成立.若"8)=2,则〃T)=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】C

【解析】.Vx,yc(e,0)50,”)J3)=/(x)+f(y)+l,，/(2xl)=/(2)+/(l)+l,

x./(I)=/(-I)+/(-1)+!,----1=2/(-1)+1,=

f(2x4)=f⑵+/(4)+1,/(4)=f(2x2)=/⑵+/⑵+1=2八2)+1,/.f(8)="(2)+2

"8)=2,.•.42)=0

/(-lx2)=/(2)+/(-l)+l,K/(-D=-l,.-./(-2)=/-(2)=0

”(-4)y(-2x2)向(一2)田⑵+1=1

故选：C

【例题22].(2022•陕西西安•三模(理))己知函数“X)满足"1)=：,

4/(x)/(y)=/(x+y)+/(x-y)(x,yeR),则/⑺=()

A.—B.—C.—D.5

4422

【答案】B

【解析】令x=l,y=0,则4f(l)/(O)=/(l)+/(l),即/(0)=；,

令x=l,y=l,则4〃1)〃1)=〃2)+〃0),即/⑵==，

令x=2,y=l,则4〃2)/⑴=-3)+/⑴，即/(3)=—g,

令x=2,y=2,贝iJ4/(2)/(2)=〃4)+/(0),即〃4)=廿，

令x=4,y=3,则4/(4)〃3)=〃7)+/(1),即，(7)=；,

故选：B

【例题23].(2022•江西•赣州市第三中学模拟预测(文))如果函数Ax)对任意满足

/(2)/(4)/(6)17(2022)

f(a+b)=f(a)-f(b),且/(1)=2,则+++)

/(I)/(3)/(5)/(2021)

A.2022B.2024C.2020D.2021

【答案】A

【解析】根据题意,令6=1,则/3+D=Wn=/(D=2,所以

/(«)

7(2)/(4)/(6)/(2022)2022

==2,因为2,4,6,…，2022共有^=1011个数，所以

/(I)-/⑶一/⑸一/(2021)

A2)/(4)/(6)।1(2022)

+++=1011x2=2022

/(I)/(3)/(5)/(2021)'

故选：A.

【例题24].(2022•海南•嘉积中学高二期末)的定义域为R,且

2022

/(x+y)+/(x—y)=/(x)/(y),*1)=1,则£/(x)=()

k=\

A.一3B.-2C.0D.1

【答案】C

【解析】令y=i,则f(x+i)+/d)=/。),即f(%+D=/C-i),

所以/(x+2)=/(x+l)-/(x),/(x+3)=/(x+2)-/(x+l),

所以/。+3)=-f(x),

所以/(x+6)=-f(x+3)=f(x),

所以/(X)的周期为6,

令x=l,y=O,则/。)+/(1)=/⑴x/(0),得/(0)=2,

因为/(x+l)=f(x)—f(x—l),

所以/(2)=./■⑴一〃0)=1-2=-1,

/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,

/(4)=/(3)-/(2)=-2+1=-1,

/(5)=/(4)-/(3)=-1+2=1,

/(6)=/(5)-/(4)=1+1=2,

所以/(D+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)=0,

2022

所以Z/(X)=337X0=0

k=\

故选：C

(四)新定义函数的求值

【例题25】.(2022•北京•高三学业考试)对于正整数〃,记不超过n的正奇数的个数为K(〃)，

如《1)=1,则K(2022)=()

A.2022B.2020C.1011D.1010

【答案】C

【解析】由题意，不超过2022的正奇数有誉=1011个.

故选：C.

flx为有理数

【例题26].(2021•陕西西安高二质检)已知函数。⑺=；，田协,对于任意的实数x,

[0,x为无理数

D(D(x))=()

A.1B.0C.1或0D.无法确定

【答案】A

【解析】解：当x为有理数时，=则O(O(x))=。⑴=1；

当x为无理数时，D(x)=0,则O(D(x))=D(0)=l.

综上，对于任意的实数x