第05讲相交线（十一大题型）

第05讲相交线（十一大题型）1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.3.邻补角与对顶角对比：角的名称特征性质相同点不同点对顶角①两条直线相交形成的角；②有一个公共顶点；③没有公共边.对顶角相等.①都是两条直线相交而成的角；②都有一个公共顶点；③都是成对出现的.①有无公共边；②两直线相交时，对顶角只有2对；邻补角有4对.邻补角①两条直线相交而成；②有一个公共顶点；③有一条公共边.邻补角互补.知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点：(1)记法：直线a与b垂直，记作：；直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2)垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：CD⊥AB．2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典例1】．下列各选项中，与属于对顶角的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了对顶角的定义：如果两个角有公共顶点，且角的两边应互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此可得答案．【解析】解：由对顶角的定义可知，只有A选项中的与属于对顶角，故选：A．【典例2】．下列四个图形中，和是对顶角的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了对顶角，根据对顶角的定义，“对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角”，据此即可判断．【解析】解：A、和不是对顶角，故本选项不符合题意；B、和不是对顶角，故本选项不符合题意；C、和是对顶角，故本选项符合题意；D、和不是对顶角，故本选项不符合题意；故选：C【典例3】．如图，直线a，b相交于点O，已知，则．【答案】/40度【分析】本题考查了对顶角．直接根据“对顶角相等”即可求解．【解析】解：直线a，b相交于点O，已知，则，故答案为：．【典例4】．如图，AB与CD相交于点O，，，则．【答案】/90度【分析】本题考查对顶角，角的和差计算，解题的关键是根据对顶角相等得到，再根据，代入计算计算即可．【解析】解：∵，∴，∵，∴，故答案为：．【典例5】．下列图形中，与是邻补角的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】邻补角是指两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，且两个角的和为，由此即可求解．【解析】解：、不是邻补角，原选项不符合题意；、是对顶角，原选项不符合题意；、是邻补角，原选项符合题意；、不是邻补角，原选项不符合题意；故选：．【点睛】本题主要考查邻补角的概念及识别，理解并掌握其概念，图形结合分析是解题的关键．【典例6】．已知与是邻补角，是的邻补角，那么与的关系是（

）A．对顶角 B．相等但不是对顶角 C．邻补角 D．互补但不是邻补角【答案】A【分析】根据对顶角、邻补角的概念进行判断即可．【解析】解：∵∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，∴∠1与∠3是对顶角，故选：A．【点睛】本题考查的是对顶角、邻补角的概念和性质，熟练掌握概念是解题的关键．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．【典例7】．如图，图中邻补角有几对（

）A．4对 B．5对 C．6对 D．8对【答案】D【分析】根据邻补角的概念判断即可．【解析】解：与，与，与，与，与，与，与，与是邻补角，共8对，故选：D．【点睛】本题考查的是邻补角的概念，只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，称为互为邻补角．【典例8】．如图，直线AB、MN相交于一点O，，则∠COM的邻补角是（

）A．∠AON B．∠AOC C．∠NOC D．∠MOB【答案】C【分析】相邻且互补的两个角互为邻补角【解析】解：∠COM与∠NOC相邻且互补，所以互为邻补角.故选：C【点睛】熟记邻补角的定义是解题的关键.【典例9】．如图，点在直线上，平分，且，则．【答案】【分析】本题考查邻补角，角平分线，根据邻补角的定义以及角平分线的定义进行计算即可．掌握邻补角的定义以及角平分线的定义是正确解答的关键．【解析】解：，，平分，，．故答案为：．【典例10】．如图，直线、相交于点G，，平分，若，则°．【答案】30【分析】本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据已知可设，，从而可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，再利用角平分线的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算可求出，最后利用平角定义进行计算，即可解答．【解析】解：∵，∴设，，∴，∵，∴，∴，∵平分​，∴，∴，解得：，∴，∴，故答案为：30．【典例11】．当两条不同的直线有时，我们称这两条直线，这个点叫做它们的．【答案】公共点相交交点【分析】本题主要考查了两直线的位置关系，熟知相交线的定义是解题的关键．【解析】解：当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做它们的交点，故答案为：公共点，相交，交点．【典例12】．下列说法错误的个数（

）①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交；③有公共顶点且相等的角是对顶角；④直线外一点到已知直线的垂线段，叫做这点到直线的距离；A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据垂线的性质，相交线，对顶角，点到直线的距离分别判断．【解析】解：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故正确，不合题意；②平面内，互相垂直的两条直线一定相交，故正确，不合题意；③有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故错误，符合题意；④直线外一点到已知直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故错误，符合题意；∴错误的个数为2个，故选：B．【点睛】本题考查了垂线的性质，相交线，对顶角，点到直线的距离，解决本题的关键是熟练掌握以上基础知识．【典例13】．平面上的三条直线最多可将平面分成（

）部分A．4 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】题目主要考查相交线，理解题意，掌握相交线的性质是解题关键．【解析】解：如图，三条直线两两相交时将平面分为7部分，故选C．【典例14】．如图，用三角板经过直线外一点画这条直线的垂线，这样的垂线只能画出一条．这里面蕴含的数学道理是．【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【分析】根据垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行作答即可．【解析】解：由题意，蕴含的数学道理是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．【典例15】．如图，在同一平面内，，垂足都为点O，则与重合的理由是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【答案】D【分析】本题考查垂线的性质，由垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，即可判断．【解析】解：在同一平面内，，垂足都为点O，则与重合的理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故选：D．【典例16】．根据语句“直线与直线相交，点在直线上，直线不经过点．”画出的图形是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M进行判断，即可得出结论．【解析】解：A．直线经过点M，故本选项不合题意；B．点M不在直线上，故本选项不合题意；C．点M不在直线上，故本选项不合题意；D．直线与直线相交，点M在直线上，直线不经过点M，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了相交线以及点与直线的位置关系，两条直线交于一点，我们称这两条直线为相交线．【典例17】．按下列语句画图：点在直线上，也在直线上，但不在直线上，且直线两两相交，下列图形符合题意的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题中语句，结合直线与直线、点与直线关系逐项验证即可得到答案．【解析】解：由点在直线上，也在直线上，可知直线与直线交于点；A、C不符合题意；由点不在直线上，可知B不符合题意；再由直线两两相交，即可确定D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查直线与直线、点与直线的关系，熟记相关定义是解决问题的关键．【典例18】．平面内两两相交的条直线，其交点个数最少为个，最多为个，则等于（

）A． B． C． D．以上都不对【答案】A【分析】先求出m、n的值，再代入求解．【解析】解：平面内两两相交的3条直线，它们最多有3个交点，最少有1个交点，∴m=3，n=1∴m+n=4，故选A.【点睛】当三条直线都交于一点时，只有1个交点，两两相交不在同一点，有3个交点，注意掌握数学基础知识．【典例19】．在同一平面内不重合的三条直线的交点个数（

）A．可能是0个，1个，2个 B．可能是0个，1个，3个C．可能是0个，1个，2个，3个 D．可能是0个，2个，3个【答案】C【分析】在同一平面内,两条直线的位置关系有两种,平行和相交,三条直线互相平行无交点,两条直线平行,第三条直线与它相交,有2个交点,三条直线两两相交,最多有3个交点,最少有1个交点．【解析】解：由题意画出图形，如图所示：故选C.【点睛】本题考查了直线的交点个数问题,此类题没有明确平面上三条不重合直线的相交情况,需要运用分类讨论思想,解答时要分各种情况解答,要考虑到可能出现的所有情形,不要遗漏,否则讨论的结果就不全面．【典例20】．下列判断正确的是（

）A．从直线外一点到已知直线的垂线段叫做点到已知直线的距离B．过直线外一点作已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离C．作出已知直线外一点到已知直线的距离D．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短【答案】D【解析】略【典例21】．（1）在同一平面内，过一点有且只有直线与已知直线垂直（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做【答案】一条垂线段最短点到直线的距离【分析】（1）本题考查垂线相关知识，掌握概念即可解题．（2）本题考查垂线段相关知识，掌握概念即可解题．（3）本题考查点到直线的距离相关知识，掌握概念即可解题．【解析】解：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．故答案为：一条．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．故答案为：垂线段最短．（3）直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．故答案为：点到直线的距离．【典例22】．下列说法正确的是（

）．A．垂线段就是与已知直线相交的线段B．垂线段就是垂直于已知直线的线段C．垂线段就是一条竖起来的线段D．过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段【答案】D【解析】略【典例23】．下列说法正确的个数为（）①P点到直线l的距离是P点到直线l的垂线段；②P点到直线l的距离是P点到直线l的垂线段长；③过P点做直线l的垂线，垂足为O，P点到直线l的距离是P、O点两点之间的距离．A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【分析】本题考查点到直线的距离，垂线，两点的距离，关键是掌握点到直线距离的定义．直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．【解析】解：①点到直线的距离是点到直线的垂线段的长，故①不符合题意；②点到直线的距离是点到直线的垂线段长，正确，故②符合题意；③过点作直线的垂线，垂足为点到直线的距离是、点两点之间的距离，正确，故③符合题意．∴正确的个数是2个．故选：B．【典例24】．P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，，则点P到直线m的距离（）A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于【答案】D【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键，根据垂线段最短和点到直线的距离的定义得出即可．【解析】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于，故选D．【典例25】．如图，已知于，于，，，，，．则：（1）点A到直线的距离为；（2）点A到直线的距离为；（3）点到直线的距离为；（4）点到直线的距离为；（5）点到直线的距离为．【答案】3.666.484.8【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，正确理解点到直线的距离的定义是解答本题的关键．（1）根据点到直线的距离，可得点A到直线的距离为线段的长；（2）根据点到直线的距离，可得点A到直线的距离为线段的长；（3）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长；（4）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长；（5）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离为线段的长．【解析】（1）解：，点A到直线的距离为线段的长，；故答案为：．（2）解：，点A到直线的距离为线段的长，；故答案为：．（3）解：，点到直线的距离为线段的长，；故答案为：．（4）解：，点到直线的距离为线段的长，；故答案为：．（5）解：，点到直线的距离为线段的长，．故答案为：．题型11：垂线段有关的作图题【典例26】.如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：（1）作边上的高；（2）过点作直线的垂线，垂足为；（3）点到直线的距离是线段________的长度．（不要求写画法，只需写出结论即可）【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）BH【分析】（1）过点C向AB作垂线垂足为H，画出图形即可；（2）过点H向CB作垂线垂足为D，画出图形即可；（3）根据点到直线的距离即可得出点B到直线CH的距离是线段BH的长度．【解析】解：（1）如图所示：（2）如图所示：（3）点B到直线CH的距离是线段BH的长度．故答案为：BH．【点睛】此题考查了作图——基本作图，一边上的高应是过这边的对角的顶点向这边引垂线，顶点和垂足间的线段就是这边上的高．一、单选题1．下面四个图形中，与是对顶角的图形的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据对顶角的定义作出判断即可．【解析】解：根据对顶角的定义可知：只有第三个图中的两个角是对顶角，其它都不是．故选：B．【点睛】本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，掌握对顶角的定义是解题的关键．2．下列图形中，∠1与∠2互为邻补角的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】依据邻补角的定义进行判断即可．【解析】解：．两个角不存在公共边，故不是邻补角，故不符合题意；、两个角不存在公共边，故不是邻补角，故不符合题意；、两个角不存在公共边，故不是邻补角，故不符合题意；、两个角是邻补角，故符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握相关概念是解题的关键．3．下列说法正确的是（）A．互补的两个角是邻补角 B．相等的角必是对顶角C．对顶角一定相等 D．若两个角不是对顶角，则这两个角不相等【答案】C【分析】根据邻补角定义、对顶角定义和性质逐项判断解答即可．【解析】A．有一条边是公共边，另一边互为反向延长线的两个角是邻补角，故A不符合题意．B．对顶角指角的两边互为反向的延长线的两个角，相等的角不一定是对顶角，故B不符合题意．C．根据对顶角的性质，对顶角一定相等，故C符合题意．D．例如等腰三角形的底角不是对顶角，但两个底角相等，故D不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查邻补角定义、对顶角定义和性质，理解定义，掌握对顶角的性质是解答的关键，4．如图，已知直线与相交于点F，平分，若，则度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查了角平分线的定义及对顶角相等等知识点．先根据角平分线的定义得出，再根据对顶角相等即可得出答案．【解析】解：∵平分，∴，∴．故选：C．5．如图，取两根木条a，b，将它们钉在一起，得到一个相交线的模型，固定木条a，转动木条b，当减小时，下列说法正确的是（

）A．增大 B．增大 C．减小 D．与的和增大【答案】A【分析】根据对顶角和邻补角的定义逐项判断即可．【解析】解：A、和是邻补角，当减小时，增加，故选项正确，符合题意；B、和是对顶角，当减小时，也减小，故选项错误，不符合题意；C、和是邻补角，当减小时，增加，故选项错误，不符合题意；D、和都与是邻补角，当减小时，和都增加，与的和增大，故选项错误，不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查的是对顶角和邻补角的定义，关键掌握对顶角相等，邻补角互补．6．下列说法中正确的个数有（

）（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．（2）画一条直线的垂线段可以画无数条．（3）在同一平面内，经过一个已知点能画一条且只能画一条直线和已知直线垂直．（4）从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：（1）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故此选项正确；∵在同一平面内，经过一点能画一条且只能画一条直线与已知直线垂直，经过的点不确定，可以画无数条，故（2）（3）选项正确；∵从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做点到直线的距离，故（4）选项错误；∴正确的选项是（1）（2）（3），共3个，故选：C．7．已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（）A．90° B．180° C．270° D．360°【答案】B【分析】根据对顶角的性质：对顶角相等，邻补角的性质：邻补角互补，进行求解即可.【解析】解：∵∠1与∠2是对顶角，∴∠1＝∠2，∵∠1与∠3是邻补角，∴∠1+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝180°．故选B．【点睛】本题主要考查了对顶角与邻补角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握对顶角与邻补角的性质.8．如图：若∠AOB与∠BOC是一对邻补角，OD平分∠AOB，OE在∠BOC内部，并且∠BOE＝∠COE，∠DOE＝72°.则∠COE的度数是()A．36°B．72°C．44°D．56°【答案】B【分析】设∠EOB=x度，∠EOC=2x度，把角用未知数表示出来，建立x的方程，用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【解析】解：设∠EOB=x，则∠EOC=2x，则∠BOD=（180°3x），则∠BOE+∠BOD=∠DOE，即x+（180°3x）=72°，解得x=36°，故∠EOC=2x=72°．故选B．【点睛】本题考查了对顶角、邻补角，设未知数，把角用未知数表示出来，列方程组，求解．角平分线的运用，为解此题起了一个过渡的作用．9．如图，为直线上一点，，OE平分，OG平分，OF平分，下列结论：①；②与互补；③；④，其中正确的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】C【分析】设，根据题意得出，，则，根据平分线的定义得出，然后逐项分析判断即可求解．【解析】解：设，∵OE平分，∴，∴，则，∵OG平分，OF平分，∴∴，故①正确；∵，∵未知，故②不正确；，故③正确；，故④正确，故选：C．【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键．10．如图，2条直线最多有＝1个交点，3条直线最多有＝3个交点，4条直线最多有＝6个交点，……由此猜想，8条直线最多有＿＿＿个交点.A．32 B．16 C．28 D．40【答案】C【分析】由题目所给信息进行分析后找出规律，归纳为一般性公式即可得到答案．【解析】由题目所给信息进行分析总结可得，n条直线最多交点个数M=，当n=8时，=28，故选C．【点睛】本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．二、填空题11．如图，点在直线上，，垂足为，，则线段的长是点到直线的距离．【答案】【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，进行判断即可，熟练掌握点到直线的距离是解此题的关键．【解析】解：，线段的长是点到直线的距离，故答案为：．12．如图，这是小涛同学在体育课上某一次跳远后留下的脚印．通过测量得到如下数据：米，米，米，米，其中AC，DE分别垂直起跳线于C，E．小涛这次跳远成绩是米．【答案】【分析】此题主要考查了垂线段最短，正确理解题意是解题关键．直接利用跳远成绩应该是垂线段最短距离进而得出答案．【解析】解：由题意可得：小涛同学这次跳远的成绩应该是的长米．故答案为：．13．如图，直线相交于点O，则的对顶角是，的邻补角是．【答案】/和【分析】对顶角:有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角.邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角.根据这两个定义求解即可．【解析】解：的对顶角是；的邻补角是，；故答案为：；，．【点睛】此题主要考查了对顶角和邻补角，关键是掌握定义，邻补角有两个，不要漏解．14．如图，直线相交于点．的对顶角是，的邻补角是．【答案】或【分析】根据对顶角定义，结合图形可知的对顶角是；根据邻补角定义，结合图形可知的邻补角是或，从而得到答案．【解析】解：由图可知，的对顶角是；的邻补角是或，故答案为：；或．【点睛】本题考查对顶角定义及邻补角定义，熟记对顶角与邻补角定义，结合图形求解是解决问题的关键．15．如图，点O是直线上一点，，是的平分线，则的度数是°．【答案】25【分析】本题考查与角平分线有关的计算．先求出的度数，进而求出的度数，利用，进行计算即可．正确的识图，找准线段之间的和差关系，是解题的关键．【解析】解：∵，∴，，∵是的平分线，∴，∴；故答案为：25．16．如图，直线、相交于点O，平分，平分，且，则的度数为．【答案】/度【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得．【解析】解：∵平分，∴，∵，，∴，，∴，∵平分，∴．故答案为：【点睛】此题主要考查了邻补角的性质和角平分线定义，关键是正确理清图中角之间的和差关系．17．如图，直线相交于点O，．（1）图中的对顶角有对；（2）的邻补角是；（3）如果，，那么．【答案】2、/38度【分析】根据对顶角的定义及性质、邻补角的定义及性质分析解答即可．【解析】解：（1）图中的对顶角有和；和；共2对，故答案为：2；（2）的邻补角是、，故答案为：、；（3）∵，∴，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了对顶角的定义及性质、邻补角的定义，熟练掌握数学基础知识是解题的关键．18．如图，已知直线，作，垂足为，在内部，在内部，且，，则的度数为．【答案】/151度【分析】由垂直可知，，再利用已知条件，得出，进而求得，即可求出的度数．【解析】解：，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了垂线、角度的和差计算，根据题意正确找出角度之间的数量关系是解题关键．三、解答题19．如图所示，是钝角.（不写作图过程，保留作图痕迹）(1)画出点A到的垂线段.(2)过点C画的垂线.【答案】(1)见解析；(2)见解析；【分析】（1）根据题意画出点A到的垂线段即可；（2）根据题意过点C画的垂线即可．【解析】（1）如图，线段即为点A到的垂线段，（2）如图，线段即为所作的垂线，【点睛】本题考查作图基本作图，解题的关键是理解垂线段的概念及作法．20．如图，直线相交于点是内部的一条射线．(1)写出和的邻补角；(2)写出图中所有的对顶角．【答案】(1)的邻补角为的邻补角为(2)与互为对顶角，与互为对顶角【解析】略21．如图，已知于，于．(1)点到直线的距离是线段_______的长；(2)点到直线的距离是线段_______的长；(3)线段的长表示点到直线_______距离；(4)线段的长表示点到直线_______距离；(5)线段的长表示点_______到直线______距离；(6)线段的长表示点_______到直线______距离；【答案】(1)(2)(3)(4)(5)，(6)，【分析】（1）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离是线段的长；（2）根据点到直线的距离，可得点到直线的距离是线段的长；（3）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离；（4）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离；（5）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离；（6）根据点到直线的距离，可得线段的长表示点到直线距离．【解析】（1）∵，∴点到直线的距离是线段的长；故答案为：．（2）∵，∴点到直线的距离是线段的长；故答案为：．（3）∵，∴线段的长表示点到直线距离；故答案为：．（4）∵，∴线段的长表示点到直线距离；故答案为：．（5）∵，∴线段的长表示点到直线距离；故答案为：，．（6）∵，∴线段的长表示点到直线距离；故答案为：，．【点睛】此题考查点到直线的距离的定义，解题关键在于掌握其定义．22．如图，直线和直线相交于点，平分．(1)写出图中的对顶角______，和两个邻补角______；(2)若，求的度数．【答案】(1)，．(2)的度数为．【分析】（1）根据对顶角及邻补角的定义即可求解；（2）根据角平分线的性质，可知，，由此即可求解．【解析】（1）解：的对顶角是，∵，∴的邻补角是，故答案为：，．（2）解：∵，平分，∴，∴，∵，∴，∴的度数为．【点睛】本题主要考查邻补角，角平分线综合，掌握角平分线的性质，邻补角的定义是解题的关键．23．按下列要求画图并填空：如图，直线AB与CD相交于点O，P是CD上的一点．(1)过点P画出CD的垂线，交直线AB于点E；(2)过点P画PF⊥AB，垂足为点F；(3)点O到直线PE的距离是线段的长；(4)点P到直线CD的距离为．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OP(4)0【分析】（1）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；（2）根据垂线的定义，利用三角板的两条直角边画图即可；（3）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度是这点到直线的距离解答即可；（3）根据直线上的点到这条直线的距离等于0解答即可．【解析】（1）解：如图，直线PE即为所求；（2）解：如图，直线PF即为所求；（3）解：点O到直线PE的距离是线段OP的长．故答案为：OP；（4）解：由图可知，点P到直线CD的距离为0，故答案为：0．【点睛】本题考查了垂线的作法，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．按下列要求画图并填空：如图，（1）过点A画直线BC的平行线AD；（2）过点B画直线AD的垂线段，垂足为点E；（3）若点B到直线AD的距离为4，BC=2，则=．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）4【分析】（1）根据平行线的画法画出即可；（2）根据垂线的画法画出即可；（3）根据平行线间的距离处处相等得出三角形ABC的高为4cm，再根据三角形的面积公式即可求出．【解析】解：（1）如图:AD即为所求（2）如图:BE即为所求（3）因为BC//AD,所以三角形ABC的高为4cm；所以；故答案为4【点睛】本题考查了基本作图的知识以及三角形的面积公式，正确的作出图形是解答第（3）题的关键，难度不大．25．如图，直线与相交于点，，，射线平分，求的度数．【答案】【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线的定义，几何图形中角度的计算；根据角平分线的定义可得，，则，根据题意可得，根据，建立方程，解方程，即可求解．【解析】解：射线平分，，由于，可设，则，又，，，，解得，，答：的度数为26．如图，直线AB，CD相交于点O，OA平分．(1)的对顶角为________；(2)若，求的度数；(3)若，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【解析】解：（1）（2）因为OA平分，，所以．又因为，所以．（3）因为，，所以，．由（2）可得．27．如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE于点O，若∠AOC＝60°，求∠BOF的度数．解：∵∠BOD＝∠AOC（对顶角相等），∠AOC＝60°（）∴∠＝°∵OE平分∠BOD（

已知

）∴∠BOE＝∠＝°（）∵OF⊥OE（已知）∴∠EOF＝°（