专题05角的平分线（七大题型跟踪训练）（原卷版）

专题05角的平分线（七大题型+跟踪训练）题型1：角平分线的性质定理1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离为（）A．2m B．3m C．4m D．6m2．如图，，是的中点，平分，且，则（

）A． B． C． D．3．如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是______．4．如图，在中，是的平分线，过点分别作，的垂线，垂足分别为点，，若，则的长为________．5．如图，在中，平分交于点D，点E为的中点，连接，若，则的面积为________．题型2：角平分线的性质定理的应用6．三条公路将三个A，，村庄连成一个三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（

）A．三条高线的交点 B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点7．如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处 B．两处 C．三处 D．四处8．如下图，AO、BO、CO分别平分、、，，的周长为12，，则的面积为__________．9．如图，的三边，，的长分别为40，50，60，其三条角平分线交于点O，则：：___________10．如图，双骄制衣厂在厂房O的周围租了三幢楼A、B、C作为职工宿舍，每幢宿舍楼之间均有笔直的公路相连，并且厂房O与每幢宿舍楼之间也有笔直公路相连，且．已知厂房O到每条公路的距离相等．（1）则点O为三条_____的交点（填写：角平分线或中线或高线）；（2）如图，设，，，，，，现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房停放，那么最短路线长是_____．题型3：角平分线的判定定理11．如图所示，，于点，于点，若，则________．12．点在内，且到三边的距离相等．若，则等于（

）A． B． C． D．13．如图，，，于．(1)求证：平分；(2)若，，求的长．14．如图，，，，，交于点，连接.求证：(1)；(2)平分.题型4：角的平分线—尺规作图15．如图，用直尺和圆规作的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（

）A． B． C． D．16．阅读以下作图步骤：①在和上分别截取，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，连接，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是（

）A．且 B．且C．且 D．且17．如图，在中，，用直尺和圆规在边上确定一点，使点到边、的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（

）A．

B．

C．

D．

18．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点F，作射线交边于点G，若，，则的面积是（

）A．1 B． C．2 D．19．如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为__________．题型5：角平分线的最值问题20．如图，平分，于点A，点Q是射线上的一个动点，若，则的最小值为___________21．如图，点P是平分线上一点，，垂足为D，且，点M是射线上一动点，则的最小值为___________．22．如图，在中，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是__________．题型6：角平分线的判定与性质的综合题23．如图，，点E是的中点，平分．(1)求证：是的平分线；(2)已知，，求四边形的面积．24．如图，在中，点在边的延长线上，，的平分线与外角的平分线交于点，过点作，垂足为．(1)求的度数．(2)若，，，且，求的面积．题型7：线段垂直平分线与角平分线的综合题25．如图，，点为的中点，平分，过点作，垂足为，连结、．(1)求证：是的平分线．(2)求证：线段垂直平分．26．如图，点是等边外一点，，，点，分别在，上，连接、、、．(1)求证：是的垂直平分线；(2)若平分，，求的周长．27．在△ABC中，AB＝10，AC＝6．若点D为∠BAC的平分线上一点．（1）当点D在△ABC的外部时，如图1，过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC交AC的延长线于F，且BE＝CF．①求证：点D在BC的垂直平分线上；②BE＝．（2）当点D在线段BC上时，如图2，若∠C＝90°，BE平分∠ABC，交AC于点E，交AD与点F，过点F作FG⊥BE，交BC于点G，则①∠DFG＝；②若BC＝8，EC＝，则GC＝．（3）如图3，过点A的直线lBC，若∠C＝90°，BC＝8，点D到△ABC三边所在直线的距离相等，则点D到直线l的距离是．28．我们知道角是轴对称图形，角平分线所在的直线是角的对称轴，角平分线有许多性质．（1）如图1，在的平分线上截取线段，分别以点O和点C为圆心、大于的长为半径画弧，两弧相交于点E、F．画直线，分别交、于点D．G连结，，则形状一定是_____________________；（2）如图2，在中，，平分，过点D作于M，连结，若，求证：；（3）如图3，点D是的平分线上一点，P是边上一点，若，，点D到的距离为8，直接写出线段的长．一、单选题1．如图，点在平分线上，，，则点到的距离为（）A． B． C． D．2．点在的角平分线上，点到边的距离等于，点是边上的任意一点，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．3．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，COM的面积为9，OM=6，则点C到射线OA的距离为（

）A．9 B．6 C．3 D．4.54．如图，，若，则的度数为（

）A． B． C． D．5．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，=15，DE=3，AB=6，则AC长是(

)A．4 B．5 C．6 D．76．在中，，AD平分交BC于点D，，则AC长为（

）．A．4 B．5 C．6 D．7．下列说法正确的有（

）①角平分线上任意一点到角两边的距离相等②到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上③三角形三个角平分线的交点到三个顶点的距离相等④三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，AD平分，于点E，于点F，则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．9．如图，在中，，，BD是的平分线，设、的面积分别为、，则（

）A． B． C． D．10．如图，内角和外角的平分线交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，有以下结论；①；②；③若，则；④；⑤．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题11．如图，已知P是平分线上一点，，，垂足分别是E、F，如果，那么．12．在的网格中，的位置如图所示，则到两边距离相等的点是．13．如图，在中，平分交于点D，，垂足为E，若，则的长为．14．如图在中，，平分，交于点D，垂直平分，交于点E，若，，则．15．阅读作图过程，并解答问题：①在，上分别截取，，使；②分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，如图所示．已知点为射线上一点，于点，点在边上，连接．若，则的最小值为．16．如图，是的角平分线，于点，，和的面积分别为和．过点作于，则（填“、、”）；的面积为．17．如图，平分，点为上的任意一点，，垂足为，线段的垂直平分线交于点，交于点，已知，，则的面积为．18．如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点，下列结论：①；②；③；④、都是等腰三角形．其中正确的是．三、解答题19．已知：如图，，垂足分别为D，E，与相交于点O，平分．求证：．20．已知：如图，于，于，若，；求证：平分．21．如图，在中，．(1)用尺规作的平分线，交于点D．（保留作图痕迹，不写作法）(2)若，求证：．22．如图，点P是外的一点，平分，于点D，且，交的延长线于点B，连接，．(1)求证：；(2)若，，求的长．23．如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，连接，求证：(1)；(2)平分．24．我们学习过利用尺规作图平分任意一个角，而“利用尺规作图三等分任意一个角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．人们根据实际需要，发明了一种简易操作工具——三分角器．如图1是它的示意图，其中与半圆O的直径在同一直线上，且的长度与半圆的半径相等；与垂直于点B，足够长．三分角器的使用方法如图2所示，若要把三等分，只需适当放置三分角器，使经过的顶点E，点A落在边上，半圆O与另一边只有一个交点F，且，则，就把三等分了．求证：．图1

图225．如图1，是等边三角形，、分别是、上的点，、相交于点，．(1)求的度数；(2)如图2，当时，延长至，使得，连接、，①求证：平分；②若，，求的长度．26．如图1，点和点分别在轴正半轴和轴负半轴上，且，点和点分别在第四象限和第一象