考点02二元一次方程组及其应用

考点二二元一次方程组及其应用知识点整合一、二元一次方程（组）及解的概念1．二元一次方程含有2个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解．3．二元一次方程组由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，其一般形式为．4．解二元一次方程组的基本思想解二元一次方程组的基本思想是消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程．5．二元一次方程组的解法（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．二、一次方程（组）的应用1．列方程（组）解应用题的一般步骤（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）．考向一解二元一次方程组典例引领1．若二元一次方程组的的解也是二元一次方程的解，则k的值为【答案】2【分析】本题的实质是解二元一次方程组，用加减法或代入法来解答．先用含k的代数式表示x，y，即解关于x，y的方程组，再代入中可得解出k的数值．【详解】解：解方程组，得，∵二元一次方程组的的解也是二元一次方程的解，∴，解得．故答案为：2．2．关于，的方程组（其中，是常数）的解为，则关于，的方程组的解为．【答案】【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据已知得出关于，的方程组，进而得出答案，熟练掌握运算法则是解题的关键．【详解】解：∵关于，的方程组（其中，是常数）的解为，∴方程组方程组的解为，∴，故答案为：．3．已知关于x、y的方程组的解x、y的值的和等于6，则k的值为．【答案】3.5【分析】本题考查了二元一次方程组的解，利用加减消元法得出的值，再根据x、y的值的和等于6，进而求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】，②①，得，由题意得，，∴，解得，故答案为：3.5．4．甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，甲看错了方程②中的b，得到方程组的解为，则．【答案】4【分析】本题考查二元一次方程组的解，将错解代入错方程求解即可得到答案；【详解】解：依题意，将代入②中，代入①得，∴，解得，∴，故答案为：4．5．己知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为【答案】【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据题意得出，再求解是解题的关键．【详解】解：由题意得：，解得：，∴，解得：，故答案为：．6．已知关于的二元一次方程组的解为，那么关于的二元一次方程组中的的值为．【答案】【分析】根据二元一次方程组解的定义求出的值，再代入方程组得到一个关于的二元一次方程组，求出的值，再代入计算即可．【详解】解：关于的二元一次方程组的解为，，解得：，将代入得，解得，，故答案为：．【点睛】本题考查二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，理解二元一次方程组解的定义，掌握解二元一次方程组的方法是正确解答的前提．7．若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于a，b的二元一次方程组的解是．【答案】【分析】先把代入，求出m和n的值，再将m和n的值代入即可求解．【详解】解：把代入得，，解得：，把代入得：，整理得：，解得：，故答案为：．【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握方程组解的定义，以及解二元一次方程组的方法和步骤．8．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值．【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键．【详解】解：，，，③，把③代入中，得，解得：．9．解方程组(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）本题考查解二元一次方程组，先用表示，然后代入消元法解方程组即可；（2）本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法解方程组即可．【详解】（1）解：由①得，③，把③代入②，得，解得，把代入③，得，所以原方程组的解为：；（2）解：原方程组可化为，得，③，②③得，，解得，把代入③，得，所以原方程组的解为：．10．已知是关于，的二元一次方程的一组解．(1)求的值(2)请用含有的代数式表示．【答案】(1)(2)【分析】（1）将二元一次方程的解代入得到关于a的方程，解关于a的方程即可；（2）将代入得到，将x看作已知数，y看作未知数，解关于y的方程即可．【详解】（1）解：将代入，得：，解得；（2）解：∵，∴原方程可变为，∴．11．解方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解一元一次方程，灵活选择代入消元法、加减消元法解方程是解题的关键．（1）利用加减消元法求解即可；（2）利用代入消元法求解即可．【详解】（1）解：，，得，∴解得，把代入①，得，∴，∴方程组的解为；（2）解∶，由②得，，把③代入①，得，解得，把代入③，得，解得，∴方程组的解为．12．已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．(1)求a、b的值；(2)乙看错了②中的b，他把b看成了哪个数？【答案】(1)(2)【分析】（1）将甲得到的方程组的解代入第二个方程，将乙得到方程组的解代入第一个方程，联立两个方程求出a，b；（2）设把b看成了m，代入②，求出方程的解即可得到b．【详解】（1）解：将代入方程组中的第二个方程得：①，将代入方程组中的第一个方程得：②，联立①②解得：；（2）设把b看成了m，把，代入方程，得【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．13．已知关于x、y的方程组，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙由于看错了方程②中的b，得到方程组的解为．求原方程组的正确解．【答案】【分析】首先根据甲看错方程①中的说明甲所解出的结果满足方程②，所以把代入方程②可得：即可求出；而乙看错方程②中的说明乙所解出的结果满足方程①，所以把代入方程①可得：即可求出；【详解】由题意可得：把代入②得：解得：，把代入①得：解得：∴原方程组为，解这个方程组得：．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的错解问题，充分理解题意，将甲和乙得到的解代入正确的方程中是求解本题的关键．14．已知关于x，y的方程组．(1)方程中，用含y的式子表示x；(2)若方程组的解满足③，求m的值．【答案】(1)，(2)的值为．【分析】（1）根据等式的性质将变形，即可得出用含的式子表示；（2）根据条件可求出，，代入方程即可得出的值．【详解】（1），，（2）根据题意得，，，代入得，，解得：，答：的值为．【点睛】考查二元一次方程（组的解法和应用，代入法是常用的方法．15．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，求m的值．【答案】【分析】将②①，得到，再代入即可得到m的值．【详解】解：②①，③把③代入中，得．【点睛】本题考查了解二元一次方程组以及二元一次方程的解，根据方程组的特征得到是解题的关键．16．对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数．已知．(1)求a，b的值；(2)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值；(3)若关于x，y的方程组的解为，求关于x，y的方程组的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可；（2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可；（3）根据定义新运算得出相关方程组，根据方程组的解的定义，利用整体代入的方法解答即可．【详解】（1）解：（1）由题意得，解得：；（2）解：依题意得，解得：，∵，∴，解得：；（3）解：由题意得：的解为，由方程组得：，∴，解得：．【点睛】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键．17．解下列方程组．(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查解二元一次方程组，（1）利用代入消元法解方程组即可；（2）利用加减消元法解方程组即可．【详解】（1）解：将①代入②得：，整理得：，解得：，将代入①得：，∴；（2）解：①②得：，解得：，将代入①得：，解得：∴18．解方程组：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了解二元一次方程组．（1）利用代入消元法即可求解；（2）先去分母，去括号，整理出方程组，再利用加法消元法即可求解．【详解】（1）解：由①得：，将③代入②得：，即，解得：，将代入③得：，原方程组的解为：；（2）解：原方程组整理得：，得：，将代入①得：，解得：，原方程组的解为：．19．甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试计算的值．【答案】0【分析】将代入方程组的第二个方程，将代入方程组的第一个方程，联立求出a与b的值，即可求出所求式子的值．【详解】解：把代入，得，∴，把代入，得，，∴，∵．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．求出a、b值是解题的关键．变式拓展1．一个自然数，把它各数位上的数字从最高位到个位依次排列得到一串数字，再把它各数位上的数字从个位到最高位依次排列，得到另一串数字，如果两串数字完全相同，我们就把这样的自然数称为“回文数”．例如22，323，4664，567765等都是“回文数”．已知一个三位数是能被11整除的“回文数”，则符合条件的三位数的个数有（）A．8个 B．9个 C．24个 D．33个【答案】A【分析】本题考查一次方程的应用，整式的加减．设这个三位数为，根据这个三位数是能被11整除的，得到的关系，即可．【详解】解：设这个三位数为，∵能被11整除，∴能被11整除，∵，且均为整数，∴当时，，当时，，∴符合条件的回文数有121，242，363，484，616，737，858，979，共8个；故选A．2．已知关于，的方程组的解满足，则．【答案】1【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据得出，根据，得出，求出n的值即可．【详解】解：，得：，即，∵，∴，解得：，故答案为：1．3．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为．【答案】【分析】本题考查解二元一次方程组，将方程组中的两个方程相加即可得到关于的方程，解方程即可．【详解】解：①②得：则，解得：，故答案为：．4．若满足则．【答案】1【详解】由①+②得，解得，．易错点分析:此题容易忽略简单的方法，而采用一般的加减消元法或代入消元法算出x、y具体的值之后，再代入公式进行计算，比较麻烦．要养成先观察分析再做题的习惯，整体相加便可得出答案．5．若关于，的方程的解满足，则．【答案】2【分析】利用二元一次方程组，得到，的值，代入，即可得到答案．【详解】解：∵∴∵∴∴∴故答案为：2．【点睛】本题考查二元一次方程求参数的问题，熟练掌握解二元一次方程的方法是解题的关键．6．已知是方程组的解，则．【答案】【分析】将代入方程组中的两个方程，得到两个一元一次方程，即可求解．【详解】解：∵是方程组的解，∴将代入①，得，∴，将代入②，得，∴，∴，故答案为：．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题关键是把和的值代入方程，得到一元一次方程．7．若多项式的值与的取值无关，则的值是．【答案】11【分析】本题考查多项式不含某项的问题，涉及合并同类项，解二元一次方程组和代数式求值等知识，先合并同类项再令项的系数为零，解方程即可得到答案，根据题意列出关于的方程组求解是解决问题的关键．【详解】解：，多项式的值与的取值无关，，解得，，故答案为：．8．已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．【答案】【分析】本题考查了立方根和平方根、算术平方根的综合应用，涉及了二元一次方程组的求解，熟记相关定义即可求解．【详解】解：∵的平方根是3.∴，∵的立方根是2，∴，，解得：，∴，∴的平方根是．9．已知关于、的方程组和有相同的解，求的值．【答案】0【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，代入求值，解题的关键是掌握加减消元法求解二元一次方程，正确求得a、b的值．【详解】解：解方程组得：，把代入得：，解得：，当，时，．10．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法：解：将方程②变形，得，即．③把①代入③，得，解得y=1．把代入①，得，解得．所以方程组的解为：请你模仿小军的“整体代换”法解方程组【答案】【分析】本题考查了解二元一次方程组，将方程②变形为，再将整体代入即可求方程组．熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组，体会整体思想解方程组的便捷是解题的关键．【详解】解：中，将②变形，得：即，将①代入③得，，∴，将代入①得，，∴方程组的解为．11．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法，把，分别看成一个整体，设，，则原方程组可化为，解得，即，解得．请你模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解下列方程组：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)．【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法．（1）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解；（2）设，，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解．【详解】（1）解：，设，，则原方程组可化为，得，解得，将代入②，得，解得，解得，即，解得；（2）解：，设，，则原方程组可化为，得，解得，将代入②，得，解得，解得，即，解得．12．甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了a，解得，乙因抄错了b，解得，求的值．【答案】1【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将甲、乙求得的解分别代入正确的方程，求出，的值即可求解，用代入法解方程是解本题关键．【详解】解：由题意，是的解，，解得，又是的解，，解得，．13．方程组和同解，求a、b的值．【答案】【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握解一元二次方程是解题的关键．先求出方程组的解，将值代入得到关于a、b的二元一次方程组，计算即可．【详解】解：解方程组，得，代入方程组，得，解得．14．方程组与有相同的解，求a、b的值．【答案】，【分析】本题考查的是同解方程组的含义，二元一次方程组的解法；本题根据同解方程组先组合可得，先求解，的值，由可得，再代入可得答案．【详解】解：依题意，得，解得，，则由，得到，即，解得：，∴．15．综合与实践问题情境：小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：解方程组：．观察发现：（1）如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错．如果把方程组中的看成一个整体，把看成一个整体，通过换元，可以解决问题．设，，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得．探索猜想：（2）运用上述方法解下列方程组：．【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据换元法和加减消元法可得答案；（2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案；【详解】解：（1）设，，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得，故答案为：，；（2）设，，则原方程组可化为，解关于m，n的方程组，得，所以，解方程组，得；【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法以及换元法的应用是解题的关键．考向二二元一次方程组的应用典例引领1．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解，辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元．(1)求两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？(2)若该公司计划正好用万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，求该公司共有几种购买方案？假如这些新能源汽车全部售出，最大利润是多少元？【答案】(1)种型号的汽车每辆进价为25万元，种型号的汽车每辆进价为元(2)该公司共有二种购买方案，最大利润为元【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际运用，理解题目中的数量关系，掌握解二元一次方程组的方法，方案选择的方法是解题的关键．（1）设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，根据题意列方程组求解即可；（2）设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，根据题意列方程求解，根据实际情况选择方法即可．【详解】（1）解：设种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元，由题意可得：，解得，，∴种型号的汽车每辆进价为万元，种型号的汽车每辆进价为万元．（2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆，由题意可得，，且，∴，∵为正整数，∴或，∴该公司共有二种购买方案，当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元），当购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆时，获得的利润为：（元），∴该公司共有二种购买方案，最大利润为元．2．土耳其地震后，某华资集团为灾区购进A，B两种救灾物资100吨，共用去300万元，A种物资每吨万元，B种物资每吨万元．(1)求A，B两种物资各购进了多少吨？(2)该集团租用了大、小两种货车若干辆正好将这些物资一次性运往灾区，每辆大货车可运8吨A种物资和吨B种物资，每辆小货车可运6吨A种物资和吨B种物资，问租用的大、小货车各多少辆？【答案】(1)A，B两种物资各购进了吨，吨；(2)租用的大、小货车各辆，辆【分析】（1）设A，B两种物资各购进了吨，吨，根据物资总量为100吨，共花费300万元列出方程组求解即可；（2）设租用的大、小货车各辆，辆，根据恰好把两种物资一次性运完列出方程组求解即可．【详解】（1）解：设A，B两种物资各购进了吨，吨，由题意得：，解得，答：A，B两种物资各购进了吨，吨；（2）解：设租用的大、小货车各辆，辆，由题意得：，解得，答：租用的大、小货车各辆，辆．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程组是解题的关键．3．某高速公路准备新增一个出口，现有甲、乙两个工程队都可完成此项工程．若让两队合作，12个月可以完工，需费用1200万元；若让两队合作10个月后，剩下工程由乙队单独做还需10个月才能完成，这样只需费用1100万元．问：(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月多少万元？(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需几个月？【答案】(1)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月90万元，10万元(2)甲、乙两队单独完成此项工程各需15月，60月【分析】（1）设甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月x万元，y万元，根据两队合作，12个月可以完工，需费用1200万元；让两队合作10个月后，剩下工程由乙队单独做还需10个月才能完成，这样只需费用1100万元列出方程组求解即可；（2）根据工作效率工作总量工作时间进行列式求解即可．【详解】（1）解：设甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月x万元，y万元，由题意得：，解得，答：甲、乙两队单独完成此项工程各需费用每月90万元，10万元；（2）解：，，∴乙单独完成此项工程需要60个月；，∴乙单独完成此项工程需要15个月；答：甲、乙两队单独完成此项工程各需15个月，60个月．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用，正确理解题意列出方程组求解是解题的关键．4．现欲将一批荔枝运往外地销售，若用辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨；辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨．现有荔枝吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：：(1)辆型车和辆型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案．【答案】(1)辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨；(2)该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车．【分析】（1）设辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨，由“用辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨；辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）由“现有荔枝吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合、均为非负整数，即可得出各租车方案．【详解】（1）解：设辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨，由题意得：，解得：，答：辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨；（2）由题意得：，∴，又∵、均为非负整数，∴或或，∴该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程．5．去年疫情期间某物流公司计划用两种车型运输救灾物资，用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物资，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满．(1)1辆A型车和1辆B型车都装满物资一次可分别运多少吨？(2)请你帮该物流公司设计租车方案，并把符合要求的租车方案都列出来；(3)若A型车每辆需租金每次100元，B型车每辆租金每次120元，请从（2）中的方案里选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆A型车装满物资一次可运3吨，1辆B型车装满物资一次可运4吨；(2)物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车；(3)最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．【分析】(1)设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运10吨；用1辆A型车和2辆B型车一次可运11吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)据要一次运送31吨货物，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数即可得出各租车方程；(3)根据总租金=每辆车的租车费用×租车辆数，分别求出三种租车方案所需费用，比较后即可得出结论．【详解】（1）解：设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，依题意，得：，解得：；（2）依题意，得：，∴，又∵a，b均为正整数，∴，，，∴该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．（3）方案1所需租金为(元)；方案2所需租金为(元)；方案3所需租金为(元)．∵，∴最省钱的租车方案为租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出二元一次方程；(3)根据各数量之间的关系，分别求出三种租车方案所需费用．6．某厂接到任务需完成500台空调的安装．由于时间要求高，该厂没有足够的熟练工人，故决定招聘一批新工人，生产开始后发现：1名熟练工人和3名新工人每天共安装11台空调；2名熟练工人每天装的空调数与5名新工人每天安装空调数一样多．(1)求1名熟练工人和1名新工人1天一共可以安装多少台空调；(2)若公司原有熟练工m人，现招聘n名新工人(m，n均不为0)，为了刚好20天完成安装任务，你有哪几种方案？【答案】(1)1名熟练工人和1名新工人1天一共可以安装7台空调(2)共有两种方案：方案一：原有熟练工1人，现招聘10名新工人；方案二：原有熟练工3人，现招聘5名新工人【分析】（1）设1名熟练工人1天可以安装x台空调，1名新工人1天可以安装y台空调，由题意列出方程组即可解答；（2）由题意列出二元一次方程，再根据二元一次方程的解的情况求解即可．【详解】（1）解：设1名熟练工人1天可以安装x台空调，1名新工人1天可以安装y台空调，由题意可得：，解得：，∴1名熟练工人1天可以安装5台空调，1名新工人1天可以安装2台空调∴(台)．答：1名熟练工人和1名新工人1天一共可以安装7台空调．（2）解：由题意可得：，∴，∵m，n为正整数，∴或，答：共有两种方案：方案一：原有熟练工1人，现招聘10名新工人；方案二：原有熟练工3人，现招聘5名新工人．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用等知识点，找到正确的数量关系、列出二元一次方程组和二元一次方程是解题的关键．7．一辆公交车从站出发匀速开往站，在行驶时间相同的前提下，如果车速是千米/小时，就会超过站千米；如果车速是千米/小时，就还需行驶千米才能到达站，求站和站相距多少千米？行驶时间是多少？【答案】；小时【分析】设行驶的时间是小时，站和站相距千米，根据题意列方程组解答即可．【详解】解：设行驶的时间是小时，站和站相距千米，根据题意得：解之得：，答：站和站相距，行驶小时．【点睛】本题考查了方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键．8．问题：某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，，学校距自然保护区有多远？条件：①去野营时以60的速度走平路，以30的速度爬坡，共用了6.5h；②回学校时以40的速度下坡，以50的速度走平路，共用了6h；③行程中共分平路和坡路两种路型，其中平路长与坡路长之比为．在上述三个条件中选择两个（仅填写序号）补充在问题的横线上，并完成解答．【答案】①②；270【分析】先选择条件①②，然后设平路长x，坡路长y，列出方程组求解即可．【详解】解：选择①②；设平路长x，坡路长y，由题意得：，∴，∴，答：学校距离自然保护区270．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，正确理解题意，列出方程组是解题的关键．9．已知A，B两地相距120千米，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，其终点分别为B，A两地．两车均先以千米每小时的速度行驶，再以b千米每小时的速度行驶，且甲车以两种速度行驶的路程相等，乙车以两种速度行驶的时间相等．(1)若，且甲车行驶的总时间为小时，求和b的值；(2)若，且乙车行驶的总时间为小时．①求和b的值；②求两车相遇时，离A地多少千米．【答案】(1)a的值为，b的值为120(2)①；②两车相遇时，离A地千米【分析】（1）由甲车以两种速度行驶的路程相等，可得，再结合即可求出a、b的值；（2）①由乙车以两种速度行驶的时间相等，可得，即可求出a、b的值；②求出两车相遇时所用的时间，再根据甲车所走的路程，即为相遇时离A的距离．【详解】（1）由题意，得，解得：，答：a的值为，b的值为120；（2）①由题意，得，解得：；②由题意，得甲前一半路程的时间为：小时，乙一小时行驶的路程为：千米，∴相遇时甲还没行驶到60千米处，∴相遇时甲行驶的时间为：小时；∴乙离A地距离，即为甲行驶的距离为：千米，答：两车相遇时，离A地千米．【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，列二元一次方程解实际问题的运用，解答时分别运用路程相等和时间相等建立方程组是解答本题的关键．10．A、B两地相距4千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发骑自行车到A地，两人同时出发，30分钟后两人相遇，又经过10分钟，甲剩余路程为乙剩余路程的3倍．(1)求甲、乙每小时各行多少千米？(2)在他们出发后多长时间两人相距1千米？【答案】(1)甲每小时行3千米，乙每小时行5千米(2)出发后小时或小时两人相距1千米【分析】（1）这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程=速度×时间．题中的两个等量关系是：30分钟×甲的速度+30分钟×乙的速度=4千米，4千米40分钟×甲的速度=（4千米40分钟×乙的速度）×3，依此列出方程求解即可，注意单位换算；（2）先求出两人一共行驶的路程，再除以速度和即可求解．【详解】（1）解：设甲每小时行千米，乙每小时行千米．依题意：解方程组得答：甲每小时行3千米，乙每小时行5千米．（2）相遇前：（小时），相遇后：（小时）．故在他们出发后小时或小时两人相距1千米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，本题是行程问题中的相遇问题，解题关键是如何建立二元一次方程组的模型．11．安居小区业主安先生准备装修新居，装修公司派来甲工程队完成此项完程．由于工期过长，安先生要求装修公司再派乙工程队与甲队共同工作．已知甲工程队单独完成此项工程需要天数恰好比乙工程队单独完成此项工程需要的天数的3倍少5天，并且甲工程队单独完成此项工程需要的天数与乙工程队单独完成此项工程需要的天数之和为55天．(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲工程队工作10天后，与公司派来的乙工程队再合作多少天可完成此项工程的；(3)甲、乙工程队每天的施工费分别为800元和1000元，安先生装修工程施工完成时费用正好为21800元，求甲工程队参加工作多少天？【答案】(1)40，15(2)6(3)16【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，则；（2）由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，计算求解即可；（3）设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，计算求出的值，然后根据，计算求解甲工程队参加工作的天数．【详解】（1）解：设乙队单独完成此项工程需要天，甲队单独完成此项工程需要天，依题意得，，解得，，∴，∴甲、乙两队单独完成此项工程各需要40、15天；（2）解：由（1）可知，甲的工作效率为，乙的工作效率为，设还需要再合作天可完成此项工程的，依题意得，，解得，，∴还要再合作6天可完成此项工程；（3）解：设甲单独工作天，甲乙合作工作天，依题意得，，解得，，∵，∴甲工程队参加工作16天．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列方程（组）．12．甲、乙两个工程队共同为某贫困村修建了米的村路，甲队单独修建一段时间后，乙队再继续单独修建，共用天完成任务．已知甲队每天修建米，乙队每天修建米．求甲、乙两个工程队分别修建了多少天？(1)张红同学根据题意，列出了二元一次方程组，那么这个方程组中未知数表示的是，未知数表示的是；(2)李芳同学设甲队修建了天，乙队修建了天，请你按照她的思路解答老师的问题．【答案】(1)甲工程队共修建的米数，乙工程队共修建的米数(2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天【分析】（1）根据方程组中的等量关系结合题意，即可求解；（2）设甲队修建了天，乙队修建了天，根据题意，建立方程组，解方程组即可求解．【详解】（1）甲工程队共修建的米数，乙工程队共修建的米数（2）根据题意得：，解得，．答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系是解题的关键．13．下面是学习二元一次方程组时，老师提出的问题和两名同学所列的方程（组）．问题：某个工人一天工作8个小时，可以生产零件一整箱和不足一箱的30个；由于特殊情况，今天他只工作5个小时，生产零件一整箱和不足一箱的6个，问这一整箱零件和该工人每小时能生产的零件数分别是多少？小丽所列方程：，

小亮所列方程：．根据以上信息，解答下列问题．(1)以上两个方程（组）中x的意义是否相同？______（填“是”或“否”）；(2)小亮列的方程所用的等量关系是______（填序号，“①每个小时生产的零件数”或“②5个小时生产的零件数相等”）；(3)请从以上两个方程（组）中任选一个求解，完整解答老师提出的问题．【答案】(1)是(2)②(3)这一整箱零件数为34个，该工人每小时能生产的零件数是8个【分析】（1）由小丽所列的方程组和小亮所列的方程中x表示的意义，即可得出结论；（2）由小亮所列的方程可知，小亮的方程所用等量关系是4个小时生产的零件数相等，即可得出结论；（3）由加减消元法解方程组，再由去分母法解方程即可．【详解】（1）解：由小丽所列的方程组可知，小丽所列的方程组中x表示的是一箱零件的个数，由小亮所列的方程可知，小亮所列的方程中x表示的是一箱零件的个数，∴以上两个方程（组）中x意义相同，（2）解：由小亮所列的方程可知，小亮的方程所用等量关系是②5个小时生产的零件数相等．（3）解：选小丽的：设一箱零件的个数为x个，工人1小时生产零件y个，根据题意，得，解得：，答：这一整箱零件数为34个，该工人每小时能生产的零件数是8个．选小亮的：设一箱零件的个数为x个，则工人1小时生产零件为个，根据题意，得，解得：，∴答：这一整箱零件数为34个，该工人每小时能生产的零件数是8个．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，理解方程组和方程中x的意义是解题的关键．14．某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多．(1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车；(2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人．【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车(2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可；（2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可．【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意，得：，解得，答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车．（2）解：设熟练工人和新工人各m，n人，由题意得：，整理得：，当时，；当时，；当时，；答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人；【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．15．已知：用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有34吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．根据以上信息，解答下列问题：(1)1辆型车和1辆车型车都载满货物一次可分别运货多少吨？(2)若型车每辆需租金100元/次，型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案】(1)1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．(2)租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．【分析】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，根据“用2辆型车和1辆型车载满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车载满货物一次可运货11吨”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据租用的两种车载满货物一次可运货34吨，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为非负整数，即可得出各租车方案，再根据总租金每辆车的租金租车辆数，可分别求出三种租车方案所需租金，比较后即可得出结论．【详解】（1）设1辆型车载满货物一次可运货吨，1辆型车载满货物一次可运货吨，依题意，得：，解得：．答：1辆型车载满货物一次可运货3吨，1辆型车载满货物一次可运货4吨．（2）依题意，得：，．，均为非负整数，，，，该物流公司共有三种租车方案，方案1：租用型车10辆，型车1辆；方案2：租用型车6辆，型车4辆；方案3：租用型车2辆，型车7辆．方案1所需租金：（元，方案2所需租金：（元，方案3所需租金：（元．，方案3租用型车2辆、型车7辆最省钱，最少租车费为1040元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程，并利用总租金每辆车的租金租车辆数，分别求出三种租车方案所需租金．16．接种新冠病毒疫苗，建立全民免疫屏障，是战胜病毒的重要手段．北京科兴中维需运输一批疫苗到我市疾控中心，据调查得知，2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒．求每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输多少盒疫苗？【答案】每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗【分析】根据2辆A型冷链运输与3辆B型冷链运输车一次可以运输600盒；5辆A型冷链运输车与6辆B型冷链运输车一次可以运输1350盒，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；【详解】解：设每辆A型车的每辆B型车一次可以分别运输x盒疫苗、y盒疫苗，由题意可得，，解得，答：每辆A型车和每辆B型车一次可以分别运输150盒疫苗、100盒疫苗．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程组．17．学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量人，乙种客车每辆载客量人，已知辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元．(1)求辆甲种客车和辆乙种客车的租金分别是多少元？(2)学校计划租用甲、乙两种客车共辆，送名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租车费用是多少？【答案】(1)辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元(2)租车费用是元【分析】（1）可设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，根据等量关系：辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，列出方程组求解即可；（2）根据题意，刚好全部坐满，确定等量关系：甲客车人数+乙客车人数，建立一元一次方程求解，进而求出费用即可．【详解】（1）解：设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，依题意有，解得，答：辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元．（2）解：设租用甲种客车辆，乙种客车辆，则，解得，元．答：刚好坐满时，租车费用是元．【点睛】本题考查一元一次方程及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系．18．宿鸭湖是亚洲面积最大平原人工水库，位于河南省驻马店市汝南县罗店镇东2公里处，为打造驻马店宿鸭湖沿岸的风景带，有一段长为720米的水库清淤扩容工程由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治48米，B工程队每天整治32米，共用20天．(1)根据题意，小华和小军分别列出了尚不完整的方程组如下：根据小华、小军所列的方程组，请你分别指出未知数x，y表示的意义，并在表格中补全两人所列的方程组．小华：x表示_______________，y表示_____________；小军：x表示_______________，y表示____________．(2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？【答案】(1)见解析(2)甲方程的解为，乙方程的解为，A队整治河道120米，B队整治河道240米【分析】（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可；（2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲．【详解】（1）解：由题意得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量；甲：，乙：；（2）解：得：，解得：，把代入①得：，解得：，∴方程组的解为，则，，∴A队整治河道120米，B队整治河道240米；，整理得，得：，把代入③得：，解得，∴方程组的解为，∴A队整治河道120米，B队整治河道240米．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解．19．年我国多地道受连绵不断的阴雨天袭击，夏粮作为全年粮食生产的第一季，收割受到极大的影响．陕西省某县政府为了帮助村民抢收小麦，租来了每天能收割小麦亩的型收割机和每天能收割小麦亩的型收割机共台，全部型号的收割机一天能收割亩．(1)政府租来的型收割机和型收割机各有多少台?(2)该县某乡镇共有亩小麦，镇长向政府申请了援助．因调配问题，政府只能每天向该镇派遣同一型号的所有收割机进行援助．经过天的努力，该乡镇恰好收割了全部小麦．已知每台型收割机收费是元/天，每台型收割机收费是元/天．请计算援助该乡镇共花费了多少元?【答案】(1)型有台，型有台(2)元【分析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是理解题意，正确寻找等量关系解决问题．（1）设型收割机有台，型收割机有台，再根据题意列方程即可求解；（2）由题意知，天收割了全部小麦，设型收割机收了天，型收割机收了天，根据天数和小麦总数列二元一次方程组解出、的值即可计算总费用．【详解】（1）解：设政府租来的型收割机有台，型收割机有台，由题意可知：，解得：，，政府租来的型收割机有台，型收割机有台；（2）由题意知，天收割了全部小麦亩，设型收割机收了天，型收割机收了天，，解得：，总费用：(元)，援助该乡镇共花费了元．变式拓展1．某商场用2500元购进、两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示．类型价格型型进价（元/价）4065标价（元/盏）60100(1)这两种台灯各购进多少盏？（用二元一次方程组解决问题）(2)若型台灯按标价的9折出售，型台灯按标价的8折出售，那么这批台灯全部售出后，商场共获利多少元？【答案】(1)购进A型台灯30盏，B型台灯20盏；(2)720元．【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意，设出未知数，找出等量关系，根据等量关系列出合适的方程，进而解答即可．（1）设购进A型台灯x盏，购进B型台灯y盏，根据题意列出方程组即可；（2）根据利润=售价进价，可得商场获利=A型台灯利润+B型台灯利润．【详解】（1）解：设购进A型台灯x盏，购进B型台灯y盏，根据题意得：，解得：，答：购进A型台灯30盏，B型台灯20盏．（2）解：（元），答：这批台灯全部售出后，商场共获利720元．2．北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人飞船发射取得了圆满成功！神舟十七号发射成功并对接中国空间站，标志着中国载人航天走过空间站关键技术验证阶段和建造阶段．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元．(1)求，两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？(2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案．【答案】(1)A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元(2)购买方案：①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型．【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键．（1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据“2种A型飞船模型和3种B型飞船模型的进价共计95元；3种A飞船模型和2种B型飞船模型的进价共计105元”，即可得关于x、y的一元二次方程组，解之即可；（2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价=单价×数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案．【详解】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据题意，得，解得，答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元；（2）解：设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据题意，得，∴，∵a，b均为正整数，∴当时，；当时，；当时，，∴所有购买方案如下：①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型．3．列方程解应用题：7月，某水果店用370元购进葡萄、西瓜，其中西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，每千克葡萄、每千克西瓜的进价分别为5元、2元，售价分别为8元、5元．(1)求购进两种水果各多少千克？(2)8月，水果店以7月的进价又购进葡萄、西瓜两种水果，其中葡萄、西瓜的重量都不变，葡萄降价y元销售，西瓜按原价销售，8月份两种水果售完后的总利润是315元，求y的值．【答案】(1)购进40千克葡萄，85千克西瓜(2)【分析】（1）设购进m千克葡萄，n千克西瓜，根据“购进西瓜的重量比葡萄的2倍还多5千克，且购进两种水果共花费370元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）利用总利润＝每千克的销售利润×销售数量，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：设购进m千克葡萄，n千克西瓜，根据题意得：，解得：．答：购进40千克葡萄，85千克西瓜；（2）根据题意得：，解得：．答：y的值为．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．4．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表：类型进价元/个售价元/个A款m120B款n90若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元．(1)求m和n的值；(2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？(3)为了提高销量，商场实施：“买足球送跳绳”的促销活动：“买1个A款足球送1根跳绳，买3个B款足球送2根跳绳”，每根跳绳的成本为10元，某日售卖出两款足球总计盈利600元，那么该日商场销售A、B两款足球各多少个？每款都有销售【答案】(1)m的值为80，n的值为60(2)1100(3)该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值；（2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论；（3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论．【详解】（1）解：根据题意得：，解得：，∴m的值为80，n的值为60；（2）解：根据题意得：，∴，∴，答：该商场可获利1100元；（3）解：设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，根据题意得：，∴，又∵a，b均为正整数，∴或，∴或，答：该日商场销售13个A款足球、9个B款足球或6个A款足球、18个B款足球．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程．5．西安的大唐不夜城，已成为游客们必去的打卡之地，在其商业街上，摆放着琳琅满目的具有古风特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜爱，某店铺老板用元购进了折扇和团扇共把，这两种扇子的进价、标价如表所示：种类价格折扇团扇进价（元/把）标价（元/把）(1)折扇和团扇各购进了多少把？(2)店铺老板将这两种扇子打折出售，全部售出后，该店铺共获利元，已知折扇按标价的九折出售，则团扇的折扣是多少？【答案】(1)折扇购进了把，团扇购进了把(2)团扇的折扣是七五折【分析】（1）设折扇购进了把，团扇购进了把，根据“店铺老板用元购进了折扇和团扇共把”，和表格中折扇和团扇的进价，列出二元一次方程组，解二元一次方程组即可；（2）设团扇的折扣是折，根据“全部售出后，该店铺共获利元”，折扇购进了把，团扇购进了把，和表格中折扇和团扇的进价与标价，列出一元一次方程，解一元一次方程即可．【详解】（1）解：设折扇购进了把，团扇购进了把，根据题意得：，解得：．答：折扇购进了把，团扇购进了把；（2）解：设团扇的折扣是折，根据题意得：，解得：．答：团扇的折扣是七五折．【点睛】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的应用，读懂题意、列方程是解题的关键．6．当下公园露营正成为人们一种新的周末休闲娱乐方式，经营户外用品店的小明决定采购一批帐篷进行销售，已知A型天幕帐篷的进价比B型普通帐篷多80元，购买40顶A型帐篷和60顶B型帐篷的金额相同．(1)每顶A型帐篷和B型帐篷的进价分别是多少元？(2)7月份该小明以300元每顶售出A型帐篷120顶，以200元每顶售出B型帐篷150顶．8月份小明决定调整价格，每顶A型帐篷的售价不变，每顶B型帐篷的售价在7月的基础上下降了m元，由于气温持续攀升，8月份A型帐篷的销量比7月份增加了2m顶，B型帐篷的销量比7月份增加了20%，小明在8月份获利13200元，求m的值．【答案】(1)每顶A型帐篷是240元，B型帐篷的进你分别是160元(2)【分析】（1）设每顶A型帐篷是x元，B型帐篷的进价分别是y元，根据题意即可建立方程组求解；（2）根据题意，8月A型帐篷得单价为800元，销量为顶，8月B型帐篷得单价为元，销量为顶，即可建立方程求解．【详解】（1）解：设每顶A型帐篷是x元，B型帐篷的进价分别是y元，根据题意得：，解得：，答：每顶A型帐篷是240元，B型帐篷的进你分别是160元．（2）解：根据题意，8月A型帐篷的单价为800元，销量为顶，8月B型帐篷的单价为元，销量为顶，根据题意得：，解得：．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．7．某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、B两种型号的电风扇．如表所示是近2周的销售情况：（进价、售价均保持不变，利润＝销售收入－进货成本）销售时段销售数量销售收入A种型号B种型号第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B两种型号电风扇的销售单价；(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由．(3)一家公司打算花费4000元同时购买A、B两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案．【答案】(1)种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元(2)不能，理由见解析(3)见解析【分析】（1）设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，根据近2周的销售情况表格中的数据，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）不能实现利润为1200元的目标，设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总利润每台的销售利润销售数量，结合销售完、两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出，的值，结合，需为正整数，即可得出不能实现利润为1200元的目标；（3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，利用总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出各购买方案．【详解】（1）解：设种型号电风扇的销售单价为元，种型号电风扇的销售单价为元，依题意得：，解得：．答：种型号电风扇的销售单价为250元，种型号电风扇的销售单价为200元．（2）不能实现利润为1200元的目标，理由如下：设销售台种型号电风扇，台种型号电风扇，依题意得：，解得：，又，均为正整数，不符合题意，舍去，即不能实现利润为1200元的目标．（3）设购买台种型号电风扇，台种型号电风扇，依题意得：，，又，均为正整数，或或，该公司共有3种购买方案，方案1：购买4台种型号电风扇，15台种型号电风扇；方案2：购买8台种型号电风扇，10台种型号电风扇；方案3：购买12台种型号电风扇，5台种型号电风扇．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键．8．小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的，写出题中被墨水污染的条件和被墨水污染的第一个方程，并求解这道应用题．应用题：小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，由于该商场开展“五一”促销活动，同样的电视打八折销售，，于是小东在促销期间购买了同样的电视一台，同样的空调两台，共花费7200元，求“五一”前同样的电视和同样的空调每台各多少元？解：设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，得解决问题：(1)被墨水污染的第一个方程是：________；被墨水污染的条件是：________；(2)求“五一”前同样的电视和空调每台各多少元？【答案】(1)；同样的空调每台降价400元．(2)“五一”前同样的电视每台2500元，同样的空调每台3000元【分析】（1）根据方程②可找出表示每台空调在“五一”促销活动中的售价，进而可得出被墨水污染的条件为同样的空调每台降价400元，根据小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，可得出；（2）根据题意解方程组即可．【详解】（1）解：设“五一”前同样的电视每台元，空调每台元，方程②为，表示每台空调在“五一”促销活动中的售价，被墨水污染的条件是：同样的空调每台降价400元．小东在某商场看中的一台电视和一台空调在“五一”前共需要5500元，被墨水污染的第一个方程是：．故答案为：；同样的空调每台降价400元．（2）设“五一”前同样的电视每台x元，同样的空调每台y元，根据题意，列方程组得，解得，答：“五一”前同样的电视每台2500元，同样的空调每台3000元．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．9．如图，王英家客厅的电视背景墙是由块形状大小相同的长方形墙砖砌成，已知电视背景墙的长度为，求每一块长方形墙砖的面积．（列二元一次方程组解答）【答案】每一块长方形墙砖的面积为．【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用，长方形的性质，设一块长方形墙砖的长为，宽为，然后用的代数式分别表示出长方形的长为，两条宽分别为，，进而根据长方形的性质列出方程组，解方程组得到的值，再根据长方形面积计算公式即可求出面积，根据长方形的两组对边分别相等列出方程组是解题的关键．【详解】解：设一块长方形墙砖的长为，宽为，依题意得，，解得，∴每一块长方形墙砖的面积为：答：每一块长方形墙砖的面积为．10．某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多，求这种药品包装盒的体积．【答案】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，要求长方体的体积，需知长方体的长，宽，高，故采用间接设元法．再结合图形寻找以下相等关系：①2个宽+2个高=14；②1个长+2个高=13．【详解】解：设这种药品包装盒的宽为，高为，则长为，根据题意，得：，解得，故长为，宽为，高为，所以体积．答：这种药品包装盒的体积为．11．分别用8个大小一样的小长方形纸片拼图．如图①，小明拼成了一个大的长方形；如图②，小红拼成了一个大的正方形，但中间恰好空出一个边长为1cm的小正方形，请你求出小长方形纸片的长和宽．【答案】小长方形的长为5cm，宽为3cm．【分析】设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，观察图形，根据各边之间的关系，列出二元一次方程组，解方程组得出小长方形的长和宽．【详解】解：设每个小长方形的长为xcm，宽为ycm，依题意得：，解得：，答：小长方形的长为5cm，宽为3cm．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．12．现有一辆卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由A部件和部件组成．已知3个A部件和2个部件的总质量