2023年高考数学适应试题及答案 (二)

数学

-、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.已知复数z满足2=占，则z的虚部是

中

都A.-1B.1C.-iD.i

2.等差数列｛%｝中,+念020=4,则<时｝的前2023项和为

鼠A.1011B.2022C.4046D.8092

蒯3.设+若力是q的充分不必要条件，则a的取

值范围是

瞅

A[O[]B.（0,|）

敏

C.（―8,0]Uf+8）D.（-8,0）U信，+8）

■E

4.下列说法正确的是

㈱

A.过（为，2），包2，北）两点的直线方程为厂£=三三

?2一？1Xz—Xy

B.过点A（l,4）的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为

2-y+3=0

C.点（1,0）关于直线y=z的对称点为（一1,0）

D.直线1一、-4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是8

5.溶液酸碱度是通过pH计量的,pH的计算公式为pH=-lg[H+],其中

[H+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.已知某品牌苏打水中

氢离子的浓度为[H+[=5Xl（）-9摩尔/升，计算这种苏打水的pH值为

（精确到0.001）（参考数据:1g2^0.301）

A.6.602B.7.699C.8.301D,8.699

都

6.已知实数N,6>0且满足工+工=1,若不等式4Z+9）一£）0恒成立，

力y

则实数£的最大值为

A.9B.12C.16D.25

7.已知函数"/']GnGR）,则

A.存在实数mGR,使函数没有零点

数学试题第1页（共8页）

B.当一时，对V的W&，都有（©一支2—f（22））>0

成立

C.当机=0时，方程九/（力1=0有4个不同的实数根

D.当加=0时，方程/（#）+/（一了）=0有2个不同的实数根

8.已知双曲线嗒一惹=1（a>0,6>0）的上下焦点分别为B,Fz,点M

在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D,若|MD|

>|RFz|-IMR|恒成立，则C的离心率的值可能为

A.|B.|C.2D.1

二、选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求，全部选对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得

0分.

9.某学校对高一学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有物化生、政

史地、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合

的人数相等,并绘制得到如下的扇形图和条形图，则

A.该校高一学生总数为800

B.该校高一学生中选考物化政组合的人数为96

C.该校高一学生中选考物理的人数比选考历史的人数多80

D.用比例分配的分层随机抽样方法从该校高一学生抽取20人,则生史

地组合抽取6人

10.圆Qi：/+4—2工=0和圆Qz：〃+城+2工-4y=0的交点为A,B,则

A.公共弦AB所在直线的方程为力一y=0

B.线段AB中垂线方程为力+、-1=0

C.公共弦AB的长为乌

D.P为圆Qi上一动点，则P到直线AB距离的最大值为考

11.已知C】修通为同一平面内的单位向量,0_1_03，02•03=^•，且C1与。2

的夹角为锐角，则

Aei与02的夹角为专B.02=邛011%3

C.I约-021=2-73D.\e2+e3\=应

数学试题第2页（共8页）

12.如图，已知点P是棱长为2的正方体ABCD-

AiBiGDi的底面ABCD内(包含边界)一个动

点，下列说法正确的是

A.过P、Bi、2三点的平面截正方体所得的截面

图形为三角形或四边形

B.当点P到B、C、A三点的距离相等时,三棱锥

P-BCD.的外接球的面积为与

C.若点P到直线AD的距离与点P到BB1的距离相等，则点P的轨

迹为抛物线的一部分

D.若点P到点A的距离是点P到BBi的距离的两倍，则点P的轨迹

的长度为费

0

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.已知350+羞),则cos仅z+*)=.

14.已知函数/XG的定义域为R,且函数g(z)=/(#)+，2+l为奇函数,

若/(3)=1,则/(-3)+/(0)=.

15.已知动直线(cosa)z+(sina)、一北与圆a:2+j/2=4相交于

点A、B,点P为直线I：力+、+2痣=0上的动点，则回4•选的最小值

为•

16.已知O为坐标原点,直线与抛物线〃=8y交于A,B两点，且OA±

OB,点H为点。在直线AB上的射影，则点H到直线遥i+y+4=0

的距离的最大值为.

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

17.(本小题满分10分)

等差数列满足备=11皿7=2,前九项和为S”.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求S”的最大值.

18.(本小题满分12分)、

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,从'D为方。中点!设隐朋inA

=a2+sin修—B)].

\(1)求8；

(2)若△ADC的面积等于卑，求△ABC的周长的最小值.

乙

19.(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABC。为矩

形,4。=尸。=2(：。=2,尸8=3,点后为棱?。上

的点，且BCJ_DE.

(1)证明:AD^PD；

(2)若PE=2CE,求直线DE与平面PBC所成角

的正弦值.

20.(本小题满分12分)

某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100

名候选者的面试成绩，并分成五组:第一组［45,55),第二组［55,65),第

三组［65,75),第四组［75,85),第五组［85,951,绘制成如图所示的频率

分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7,第一组和第五组的

频率相同.

(1)求的值；

(2)估计这100名候选者面试成绩的65%分位数(分位数精确到0.1);

(3)在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然

后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自同

一组的概率.

21.(本小题满分12分)

函数，(。)和g(i)的图象关于原点对称，且，(£)=­/+2工

(1)求函数g(Q的解析式；

(2)解不等式gGr)—元一;

(3)若MG=/(1)fgCz)+1在［-1,口上是增函数，求实数义的取

值范围.

22式本小题满分12分）

22

在平面直角坐标系zQy中，已知直线y=z与椭圆3十方=1（。＞瓦＞

0）交于点A,B（A在z轴上方），且=设点A在z轴上的射

O

影为N,三角形OBN的面积为1（如图1）.

（1）求椭圆的方程；

（2）设平行于AB的直线与椭圆相交,其弦的中点为Q.

①求证:直线OQ的斜率为定值；

②设直线OQ与椭圆相交于两点C,D（D在工轴上方），点P为椭

圆上异于A,B,C,D一点，直线PA交CD于点E,PC交AB于

点F,如图2,求证:AF-CE为定值.

题号123456789101112

答案BCADCDCAACABADABC

-、选择题：本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

LB【解析A占二（二沿:D=所以之的虚部为L

2023义(a1+々2023)—2023义(々4+02020)

2.C【解析】数列｛“〃｝是等差数歹4，故“1+<22023=。4+。2020=4,故$2（）23

22

=4046.

I，1

3.A【解析】若力是q的充分不必要条件，则有J2且等号不同时成立，解得0<a4与.

4.D【解析】对于A,当处=&或时，不存在选项中的两点式直线方程，故A错误；对于B,当直线过原点

时，满足题意，此时直线方程为》=4丁，故B不正确；对于C,设点（1,0）关于直线的对称点为则

<解得4即点（1,0）关于直线y=z的对称点为（0,1）,故C错误；对于D,直线在空轴上的截距

y-r+l〔尸1,

[2=2'

为4,在y轴上的截距为一4,所以直线x—y—4=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2X4X|—4|=8,故D

正确.

5.C【解析】由题意得苏打水的pH=—lg（5X10-9）=—（1g5+lg10-9）=—1g¥+9=—（lg10—1g2）+9=

1g2+8^0.301+8=8.301.

6.D【解析】即求4z+9y的最小值.

41+9）=（4久+9"（!+!）=13+?+苫>13+2/^^^=25,

当且仅当也=短，即X=■|■,y=~|■时，等号成立.因不等式4x+9y—恒成立，只需（4彳+汨儿山3％因此方

3Cjyuo

425,故实数1的最大值为25.

7.C【解析】对于A：作出函数，=1—1和、=—*—4z—4的图象（如图所示），当7〃>0时，函数/（7）只有1个

零点，

当一2〈相00时，函数/（z）有2个零点，当初W—2时，函数户了）只有1个零点，故A错误；

对于B：当V，都有（乃一改）（/（m）一/（改））〉。成立时，则函数/（无）单调递增，而一20"<0时，函数

/（了）先增后减再增，当m=~2时，函数/（久）不是增函数,B错误；

对于C：m=0时，令/（?）=0得人=-2,友=。，

当/(1)=11=-2时，方程有两个解，当/(力)=22=0时，方程有两个解,

所以方程f"Cr)］=O有4个不同的实数根，故C正确；

对于D：当m=Q时，方程/(JC)+/(—JC)=0的根为/(%)=—/(1%)的根，令无(了)=一/(一比)，

作出了(£)，/i(x)的图象，可得函数/(其)与无(久)有三个交点，其中包括1=0,即方程/(X)+/(—x)=0有三

个根.

8.A【解析】如图，过点B作渐近线的垂线，垂足为E,

bc

设IBBI=2c,则点F2到渐近线y=±^x的距离|EFz|=,,=b.

bVa2+b2

由双曲线的定义可得|MR|一\MF21=2a,故=|MF?|+2a,

所以|MD+|MFj=|MD|+|MF2|+2a)|EBI+2a=6+2a,即|MD|+|MF1|的

最小值为2a~\-b,

因为|乂0|>尸］2|一］乂£|恒成立，所以|乂。十|乂居|>|6£|恒成立，即2a+b>

2c恒成立，

所以，6〉2c—2a,即加〉4c2+4储一8ac,即c?~az>ic2+4«2Sac,

所以，3c?+5/l8ac<0,即3e?—8e+5V0,解得l<e<g

二、选择题：本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5

分,部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.AC【解析】对于A,根据条形图可知：政史地人数为200,由扇形图知：这个组合所占比例为25%,所以该校高

一学生总数为200+25%=800,A正确；

对于B,根据条形图可知：生史地人数为160.所以它所占比例为黑X100%=20%,所以物化地和物化政组合

占比均为(1—35%—25%—20%)+2=10%,所以该校高一学生中选考物化政组合的人数为800X10%=80,

B错误；

对于C,该校高一学生中，选考历史的人数为200+160=360,选考物理的人数为800-360=440,440-360=

80,所以C正确；

对于D,因为生史地组合的人数占比为黑X100%=20%,所以用分层随机抽样方法从该校高一学生中抽取

20人，则生史地组合抽取20义20%=4人,D错误.

10.AB【解析】对于选项A,因为圆2冗=o,Q2：定2+/+2］一分=0,

两式作差可得公共弦AB所在直线的方程为4力一46=0,即1一了=0,故A正确；

对于选项B,圆Qi2+)2—21=0的圆心为(1,0),后皿=1,

则线段AB中垂线的斜率为一1,即线段AB中垂线方程为丁一0=—lX(x—1),整理可得i+了一1=0,故B

正确；

对于选项C,圆心QNL0)到x~y=Q的距离为“二」1一=喙,

712+(-1)22

又圆Qi的半径一=1,所以|AB|=2/1一偿=停，故C不正确；

对于选项D,P为圆Qi上一动点，圆心Qi(l,O)到x~y=Q的距离为d=~~,

又圆Q］的半径一=1,所以P到直线AB距离的最大值为#+1,故D错误.

11.AD【解析】由题意可设。1=(0,1),。3=(1,0),02=(力,“，因为e2•。3=：,。2为单位向量，

［1•x+0•729/］反、

所以J/解得J即。2=(2,土华).又因为与。2的夹角为锐角，

1=±§，

所以。1・。2〉0,所以。2=,因为cos<ei，°2〉=］；；.：；［=*，所以。1与。2的夹角为会所以A选项正

确；

因为。2=彳0］+-^-e3，所以B选项错误；

因为|一°21=J(。一"+(1—彳)=12—，所以C选项错误;

因为|。2+。3I+(。+彳)=禽\所以D选项正确.

12.ABC【解析】对于A选项，若点P为点A(或点C),则截面为三角形，若P

为其它点则为四边形，故A对；对于B选项，满足条件的点为AD中点，

设8D］中点为Oi,外接球球心为O,半径为K,可知P,O,Oi三点共线/；\

；.R2—(R—点)2=3,得R=平，S=4K?2=?，故B对；对于c选项，/一」----;\/

D,7^IL\r~^\/

等价于点P到点B的距离等于点P到直线AD的距离，所以点P的轨

迹为抛物线的一部分，故C对;对于D选项，由PA=2PB,满足阿氏圆，oC

故轨迹为一段圆弧，其半径为告，圆心角为伴，圆弧长=¥，故口错.

三、填空题：本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.—［解析］cos(2x+靠)=cos^2卜+韦)J=2cos2卜+自)一1=一力.

14.-22【解析】已知函数g(z)=/(i)+/+i为奇函数，则g(3)+g(—3)=0,即g(3)+g(-3)=/(3)+10

+/(—3)+10=0,又/(3)=1,则/(—3)=—21.又g(0)=/(0)+l=0"(0)=—1,故/(—3)+#0)=

-22.

15,2【解析】容易知道圆心。到动直线距离为定值倍，所以设线段AB的中点为M,则OM=V3,|AB|=2,A

M在以O为圆心，悟为半径的圆上，户五•蔗=的一标2=可谈一1,当OP,直线/时，|MP|皿„=1OP—

•FB)=(73)2-l=2.

/T+Tmin

(j：2=8y

16,8【解析】由题可知直线斜率存在，设直线AB”=fcr+6,A(Ni.)，夙力2,“)，联立方程：《9

{y—kx-\-b^

整理得：x2—8%］一86=0,△=64后2+326〉0,©+g=8后，乃生=一8b.

OA•OB=J：1J：2+?1?2=2122+-\-b){kx2+6)=(1+丘2)1112+4人(11+究2)+。2=(1+笈2)X(-86)+

kb\8k-\-b2=b2—86=0,得6=8或6=0(舍).故直线AB”=后久+8,

当k=0时，点H(0,8),点H到直线片i+v+4=0的距离为10+：+4|=6；

当k^O时，直线OH：j/=一看久，又直线ABty=kx-\-3<f消去k整理得:—+,2—8丁=0,

即此时点H的轨迹方程为]2+。—4)2=16(巧4)),(或者利用直线过定点M(0,8)结合得出点

H的轨迹为以OM为直径的圆)，

点H到直线痣久+丁+4=0距离的最大值为也土^^^+4=8,综合可知点H到直线焉"力+)+4=0的距离

的最大值为8.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.【解析】(1)等差数列｛%｝满足04=11皿7=2,设首项为Q1，公差为d,

3d=11?f—209

则《解得1.................................................................................................................................3分

[Qi+6d=2,\d=-3,

所以Q〃=23-3Tz.......................................................................................................................................................5分

(2)当n&7时,a„=23—3%〉0,当时V0,...............................................................................................8分

90+9

故S〃的最大值为S?,又劭=23—3X7=2,所以S7="/X7=77..........................................................10分

18.【解析】⑴因为四sinA=a[2+sin质一B)].

由正弦定理与诱导公式可得V^sinBsinA=sinA(2+cosB)...........................................................................2分

显然sinA>0,所以痣sinB—cosB=2,所以2sin(B—*)=2,......................................................................4分

・・・850,兀),所以3—太=手,・・・8=空.........................................................6分

(2)依题意S“BC=2S△仞c,即,；・ac=4.

所以a+c》2v/tzc=4,当且仅当a=c=2时取等号.................................................9分

又由余弦定理得62=a2+c2—2accosB=a2~\-c2~\-ac^3ac=12,.\b^2\/3.

当且仅当a=c=2时取等号.所以△ABC的周长最小值为4+273...............................................................12分

19.【解析】(1)由ABCD为矩形可知:BC,CD,....................................................................................................1分

又因为BC_LDE,DEp|CD=D,CD,DEU平面PCD,所以BC_L面PCD,.................................................3分

又AD〃BC,所以AD_L面PCD.又PDU面PCD,故AELLPD...................................................................5分

(2)由(1)可知BC_LPC,BC=AD=2,PB=3,所以PC=畲，........................................6分

在中，PC?=PD2+CD2,所以PD_LCD；

又PD，AD,CDnAD=D,CD,ADU面ABCD,所以PD上面ABCD；.........................................................8分

故以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图).

则C(0,0,0),B(0,2,0),A(l,2,0),D(l,0,0),P(l,0,2),..............................................................................9分

又在△PCD中=2,则E(~1~,0,£),DE=(一，

CF=(l,0,2),CB=(0,2,0)..................................................................................................................................10分

•n=0,（2»=0,

设面PBC法向量为〃=(i，w之)，即《故〃=（一2,0,1）,11分

•〃=0,[I+2N=0,

设直线DE与面PBC所成角为八则sin9=\cos＜DE,n＞|12分

20.【解析】(1)因为第三、四、五组的频率之和为0.7,所以(0.045+0.020+6)X10=0.7,解得6=0.005,­••2分

所以前两组的频率之和为1-0.7=0.3,即(a+6)X10=0.3,所以a=0.025；......................................4分

(2)前两个分组频率之和为0.3,前三个分组频率之和为0.75,所以第65百分位数在第三组，........6分

065—03

且为65+X10—72.8；.............................................................................................................................8分

0.45

(3)第四、第五两组志愿者分别有20人,5人，故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4,分别设为a,b,c,

d,第五组志愿者人数为1,设为e,这5人中选出2人，所有情况有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),

(6,e),(c,H),(c,e),(d,e)共有10种情况，......................................................10分

其中选出的两人来自同一组的有(a,6),(a,c),(a,d),(6,c),(仇。)，(c,d),共6种情况，

故选出的两人来自同一组的概率为，=得.......................................................12分

21.【解析】(1)设函数V=/(N)的图象上任意一点QCzo,)o)关于原点的对称点为

—=0,(—

/%一一1，

贝记即，......................................................................2分

一+/—0,6o=_y.

I2，

2

•.•点Q(J：Q,)o)在函数;y=/(i)的图象上，•二一y——力?一21，即y—x+2%，故g(x)=/+2丁.......4分

(2)由g(i)—/(久)＜|力一11,可得2224|其一11,...............................................................................................5分

当力21时，212一1+lW。，此时不等式无解.......................................................6分

当尤＜1时，212+1—1.0,解得一1忘力忘!.......................................................7分

因此，原不等式的解集为...............................................................8分

(3)无(1)=—(1+A)x2+2(1一义)况+1,

①当；1=—1时,4(1)=41+1在上是增函数，.•・