《高等数学(上册)》教案 第2课 数列的极限、函数的极限

数列的极限、函数的极限第，课

课题数列的极限、函数的极限

课时2课时(90min)

知识技能目标：

(1)理解数列的极限。

(2)掌握收敛数列的性质。

(3)理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某点的左极限、右极限。

(4)理解函数极限的性质.

教学目标

思政育人目标：

通过数学史和数学文化的记载，提出极限思想，让学生充分感觉到我国深厚的文化底

蕴，激发学生的爱国情怀；引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学

生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；引导学生运用所学知识揭示生活中的

奥秘',在实践中深化认识，达到学以致用的目的

教学重点：数列极限的定义、收敛数列的性质、函数极限的概念和性质

教学重难点

教学难点：计算函数的极限、左极限和右极限

教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法

教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材

第1节课：考勤(2min)一知识讲解(33min)一问题讨论(10min)

教学设计

第2节课：知识讲解(30min)一问题讨论(lOmin)一课堂小结(5min)

教学过程主要教学内容及步骤设计意图

第一节课

■【教师】清点上课人数，记录好考勤培养学生的组

考勤织纪律性，掌握学

(2min)■【学生】班干部报请假人员及原因生的出勤情况

通过数学史和

数学文化的记载，

■【教师】通过庄子的“截杖问题"和刘徽的“割圆术"，引出

提出极限思想，让

并讲解数列以及数列的极限

学生充分感觉到

案例1“一尺之趣，日取其半，万世不竭”.

我国深厚的文化

知识讲解

底蕴，激发学生的

(33min)分析这是战国时期哲学家庄周所著的《庄子•天下篇》中

的一句话，意思是“一根长为一尺的木棒，每天截去一半，爱国情怀。学习数

永远取不尽”.我们把每天取后剩下的部分用算式表示可得列极限的定义和

数列：收敛数列的性质。

边做边讲，及时巩

固练习，实现教学

第2课数列的极限、函数的极限

1111做一体化

一，一，-，，--，•

2482"

随着时间的推移，剩下的木棒长度越来越短，显然，当天数"

无限增大时，剩下的木棒长度将无限缩短，即剩下的木棒长

度越来越接近于数0.

2"

案例2刘徽称“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可

割，则与圆周合体而无所失亦”.

分析“割圆术”求圆面积的作法和思路是：先作圆的内接

正六边形，把它的面积记为a；再作圆的内接正十二边形，

其面积记为A；再作圆的内接正二十四边形，其面积记为4；

照此下去，把圆内接正6x2”'边形的面积记为A”，这样得到

一个数列：A，A2,A.：,，An,如图1-18所示.

图1-18

由图1-18可以看出，随着圆内接正多边形的边数无限增加，

圆内接正多边形的面积与圆的面积越来越接近.当边数n无

限增大时，圆内接正6X2"T边形的面积A“会无限接近圆的面

积A.

对于一些数列，如｛J>｛誓卜’(I)「若当"无限增加

时，一般项无限接近于某一个常数，则这个常数称为数列的

数列的极限、函数的极限第2课

极限.在数学上，需要从定量角度定义数列的极限.

给定一个数列｛«„｝和常数a,为证明｛«„｝的极限为a,需要证

明”越来越大时，|凡-4|越来越趋于0.为了定量描述随”

增大逐渐接近于0,｛4｝与a的接近程度可用

\a,-a\<£（€为任意小的正数）代替.£越小，｛4｝越接

近于。，满足成立的生,的项数〃越大.因此，给

定一个正数£,就存在一个正整数NeZ+,当”>N时，

\an-a\<c,£越小，N就越大，如图1-19所示.

02a\G附I0N+3°N+2的

a-Eaa+ex

图1・19

定义1设｛%｝是数列，。为常数，若对任意给定的正数£,

总可以找到正整数N,使得所有满足〃>N的自然数小都有

|q-4|<£成立，则称数列｛〃〃｝收敛于m。称为数

列｛〃“｝的极限，记为lima”=a.

当取G=0.1,£2=0.01,求满足

-0<邑的〃的范围，并证明

解因为匕£-0=1,所以要使上叱-0<4=0.1,

nnn

只要-<0.1,即»>10即可.同理，要满足

n

—--0<s=0.01,,只要”>100即可.

n2

现证明lim±±~=0.

第2课数列的极限、函数的极限

对任意给定的£>0,要使上1匚-0=-<£,只要〃>2，

nn8

因此，可以取N=[]+l（[口可能为0）.当〃〉N时，

就有上空-0<£,故Iim£^=0.

nnen

如果数列｛“"｝没有极限，则称该数列发散.我们还可以用数

列极限的定义证明如下重要极限：

limC=C（C为常数），lim-=0,lima"=0（|。|<1）,

n-^x,n-^oc几n-^

liman=1（a>0）,lim标=1.

M-^30〃一>ac

■【学生】理解数列及数列的极限

■【教师】讲解收敛数列的性质

定理1（极限的唯一性）如果数列｛%｝收敛，那么它的极

限唯一.

证明用反证法.假设同时有limq=a和lim%=6,且

“f8n-^

a<h,取g=---.

2

因为lima〃=a,故三正整数乂，当〃〉乂时、不等式

/J—>00

..b-a..

1%。1<2（1）

成立.同理，因为lim%二人，故三正整数M,当〃》小时，

M->00

不等式

Ub\<2⑵

也成立.WN=max｛N1,N?｝（表示N是乂和他中较大的

4

数列的极限、函数的极限第，课

那个数），则当〃>N时，（1）式及（2）式同时成立.但

由（1）式有为<3女，由（2）式有可>审，这是矛盾

的，故假设不成立.

定义2对于数列｛%｝,如果存在正数M,使得对于一切

都满足不等式|4|„M,则称数列仅“｝是有界的；否则称数

列｛《,｝是无界的.

定理2（收敛数列的有界性）如果数列｛q｝收敛，那么数

列｛。“｝一定有界.

证明设数列｛”,｝收敛于a，根据数列极限的定义，对于

£=1,存在正整数N,当〃〉N时，不等式|-4|<1成立.于

是，当">N时，有

\an\=\an-a+a\„\an-a\+\a\<\+\a\.

取M=max｛|4|,|生1，，1许1，1+14“1｝，则数列｛““｝中的

一切/都满足不等式1%1,,M.这就证明了数列｛七｝是有界

的.

定理3（收敛数列的保号性）如果数列｛4｝收敛于。，且

a>0（或a<0）,那么存在正整数N,当〃>N时，有>0

（或见<0）.

当”>0时，根据极限定义，只要取£=幺>0,即可证明结

2

论.

推论如果数列｛a,,｝从某项起有4…0（或4”0）,且数

列｛《,｝收敛于。，则。…0（或0）.

证明就a“…0情形证明.设数列｛对｝从M项起，即当

时有a“…0.

+

现在用反证法证明，若。<0,则由定理3知，3N2eZ,

当〃〉N2时，有〃〃<0,取N=max（M,N2）,则当九>N时，

第2课数列的极限、函数的极限

有。“…0与<0同时成立，矛盾，所以a…。.

对于耳,,0的情形，可以类似地证明.

定义3在数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原

数列｛4｝中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列

｛a,J的子数列（或子列）.

设在数列｛4｝中,第一次抽取册,第二次在册后抽取外,

第三次在品后抽取品，,这样无休止的抽取下去，得到

一个数列

a“「a”」,%,<

这个数列他,“｝就是数列｛a„｝的一个子数列.

■【学生】掌握收敛数列的性质

■【教师】组织学生讨论以下问题

1.若lima〃=a,能否得到结论：对任意给定的正数£,总

"T8

可以找到正整数N,使得所有满足”>"的自然数n,都有

\an-a\<—（或储）成立？

2.在数列极限定义的£-N语言中对任意给定的正数£,可

通过课堂讨论，

否规定0<£<1?

问题讨论活跃课堂气氛，力口

（10min）3.有界数列是否一定收敛？发散的数列是否一定无界？深学生对知识点

的理解

4.如果数列｛《,｝收敛于a,且wN,有a”>0（或<0）,

则是否一定有a>0（或a<0）?

5.若数列的任何子数列都收敛，那么此数列是否一定收敛？

发散数列的子数列都发散吗？

■【学生】发言

第二节课

数列的极限、函数的极限第，课

■【教师】讲解函数极限的概念，并通过例题讲解介绍其应用

1.自变量趋于无穷时函数的极限

当Xf+8时，函数/(X)的极限定义与数列极限定义相似，

因此可以给出当Xf+8时，/(X)极限的£—M定义.

定义1设f(x)在(a,+00)上有定义，A为实常数，若对

Ve>0,3M>0(M>|a|)>当时，有|/(x)-A|<£,

则称函数当x趋于+oo时，以A为极限，记为

limf(x)=A或/(x)-»A(x—>-KO).

XT+8

定义1'设/(x)在(-8,编上有定义，A为实常数，若对

V£>0,3M>0(-M<«),当时，"(X)-A|<£,

则称函数/(x)当xf-8时，以A为极限，记为

学习函数极限

lim/(x)=A或/(x)fA(xf-<»).的概念和函数极

知识讲解限的喉。边做边

(30min)定义1"设/(x)在(7,a)(a,+8)上有定义，A为实常讲，及时巩固练

数，若对V£>0,3M>0(M>|a|),当|x|>M时，习，实现教学做一

体化

|f(x)-A|<£,,则称函数y=/(x)在x->8时，以A为极

限，记为

lim/(x)=A.

定理1lim/(x)=A=lim/(x)=lim/(x)=A.

A—>oox—>+X.r—>-00

证明必要性显然.下证充分性.

limf(x)=lim/(x)=A时，Ve>0,>0,使当x>A/1

X—>400X—>-00

时"(X)—A|<£；BM2>0,使当x<-“2时

|f(x)-A\<c.取M=max{M,%},则当％〉A/或

x<-M,即|n|>〃时，同时有|/(x)—A|V£,所以

lim/(x)=A.

X->CO

第2课数列的极限、函数的极限

例1求1而|1+二_b

XT8

解考察函数/(X)=1+二，如图1-21所示.

当X—>+8时,函数1+无限趋于常数1；当X-—8时,

函数1+1同样无限趋于1,所以

limf1+-^-I=1.

XT/(X')

例2考察函数/(x)=arctanx当X—>+oo和X—>-8时的极

限，并说明它在％f②时的极限是否存在.

解如图1-22所示，当xf+oo时，，函数/(x)=arctanx无

限趋于常数乙，所以

2

limarctanx=—.

XT+oo2

当xT-oo时，函数/(x)=arctanx无限趋于常数-二，所以

..兀

hmarctanx=——.

XT-002

由于limarctanxwlimarctanx,所以limarctanx不存在.

X-^-KOX->-»X-YX>

8

数列的极限、函数的极限第2课

2.自变量趋于有限值时函数的极限

对于函数，(x)=^»/(X)在X=1无意义.当1?寸，

X-I

f\x)=x+\,如图1-23和表1-2所示，当X—>1时，

f(x)f2.这样对X/£>0,要使|/(x)-2|=|x—I|<e,定

有|x-l|在确定的范围内，即5=£>0,£越

小，5越小，5由£确定.这样我们可以得到，当xf不时,

函数/(X)极限的£-5定义.

表1-2

X0.90.990.9991…1.0011.011.1

y1.91.991.99922.0012.012.1

定义2设/(x)在/的某个去心邻域。(不花)上有定义，A

为实常数，若对V£>o,ms>o(3<a),当0<|x-$|<6

时，"(X)-A|<£，则称函数/(x)当x趋于与时，以A为

极限，记作

limf(x)=A或f(x)-A(x—>.

定义2,设f(x)在％的某个去心右邻域“(与电)上有定

第2课数列的极限、函数的极限

义.A为一实常数，若对Ve>0,33>0(3<的)，当

0<|x-%]<5时，|/(x)—A|<5,则称4为函数f(x)在x

趋于与+时的右极限，记作

limf(x)=A或f{x)—>4(x—>xj).

Xf>b*

定义2"设/(x)在与的某个去心左邻域力(飞,百)上有定

义，A为一实常数，若对\/£>O,3J>0(^<,当

0<|x->|<b时,\f(x)-A\<3,则称A为函数f(x)在x

趋于XJ时的左极限，记作

lim/(x)=A或f(x)f4(x->/-).

XT%-

定理2limf(x)=Aolim/(x)=limf(x)=A.

XfSXT&+XT

证明与定理1类似.

Cx+2JC1

例3设/(元)=仁'二'试判断lim/(x)是否存在.

[3x,x<1,zi

解先分别求/(x)当x-1时的左、右极限，

lim/(x)=lim3x=3,limf(x)=lim(x+2)=3,

XTrX->Fx-»l+XT|+

因为左、右极限各自存在且相等，所以lim/(x)存在，且

x-»l

lim/(x)=3.

X―>1

■【学生】理解函数的极限，会计算函数的极限，包括函数在某

点的左极限、右极限

■【教师】讲解函数极限的性质

定理3(极限的唯一性)如果lim/(幻存在，则极限

lim/(x)是唯一的.

XT8

定理4(局部有界性)如果limf(x)=A，则存在常数">0

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数列的极限、函数的极限第，课

和6>0,使得当0<|x-x0|<6时,有|f(x)|v".

局部有界性是指函数在X。的去心邻域t/(X0，多内有界.

定理5(局部保号性)设lim/(x)=A,如果A>0(或

XT飞

A<0),则m3>0,使当0<|x-x0|<3时，/(x)>0(或

/(x)<0).

推论如果在X。的某去心邻域内/(X)…0(或/(X),,0),

且lim/(x)=A,则A…0(或A”0).

XT%

■【学生】理解函数极限的性质

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