分类加法计数原理与分步乘法计数原理（涂色问题）高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章计数原理分类加法计数原理与分步乘法计数原理（涂色问题）例题剖析例1将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？例题剖析解析：①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有4×3＝12(种)不同的涂法，第4个小方格有3种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有5×12×3＝180(种)不同的涂法．②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，有5×4×4＝80(种)不同的涂法．综上，共有180＋80＝260(种)不同的涂法．例题剖析例1将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？变式：本例中的区域改为如图所示，其他条件均不变，则不同的涂法共有多少？解析：第一类：①④不同色第一步涂①，从5种颜色中任选一种，有5种涂法；第二步涂②，从余下的4种颜色中任选一种，有4种涂法；第三步涂③与第四步涂④时，分别有3种涂法和2种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3×2＝120(种)．第二类：①④同色第一步涂①④，有5种涂法；第二步涂②，有4种涂法；第三步涂③，有3种涂法．于是由分步乘法计数原理得，不同的涂法有5×4×3＝60(种)．综上可知，所求的涂色方法共有120＋60＝180(种)．例题剖析练习巩固1.用6种不同的颜色为如图所示的广告牌涂色，要求在A，B，C，D四个区域中相邻(有公共边的)区域不用同一种颜色，求共有多少种不同的涂色方法？解析：方法一第一类，A，D涂同色，有6×5×4＝120(种)涂法，第二类，A，D涂异色，有6×5×4×3＝360(种)涂法，共有120＋360＝480(种)涂法．方法二先涂B区，有6种涂法，再涂C区，有5种涂法，最后涂A，D区域，各有4种涂法，所以共有6×5×4×4＝480(种)涂法．练习巩固2.如图，用4种不同的颜色给矩形A，B,C,D涂色，要求相邻的矩形涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有（

）解析：先涂C区域有4种涂法，再涂D区域3种涂法，涂A区域3种涂法，涂B区域2种涂法，由分步乘法计数原理，共有72种涂法,练习巩固3.如图一个正方形花圃被分成5份．若给这5个部分种植花，要求相邻两部分种植不同颜色的花，已知现有红、黄、蓝、绿4种颜色不同的花，则不同的种植方法有

种答案：共有72种涂法练习巩固4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（

）答案：不同的涂色方案有420种练习巩固5.用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（

）答案：不同的涂色方案有480种练习巩固6.某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（

）答案：不同的涂色方