二项式定理 高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修三

二项式定理牛顿在1664-1665年间发现了二项式定理？创设情境(a＋b)4不要盲目运算寻找展开式规律问题1：(a＋b)4请同学们从项数、次数、每一项的结构特点及其系数等角度，观察上述三个展开式有什么特点呢？探究新知

请同学们从项数、次数、每一项的结构特点及其系数等角度，观察上述三个展开式有什么特点呢？那你能猜想出n次方的展开式了吗？

探究新知

我们可以看到，(a＋b)2是2个(a＋b)相乘，根据多项式乘法法则，在合并同类项之前，(a＋b)2的展开式共有4项，并且每一项次数都是2，可以用一个统一的式子表示a2－k×bk(k＝0,1,2)的形式.(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝a×a＋a×b＋b×a＋b×b＝a2＋2ab＋b2

如果把每个括号看成一个盒子，括号里面的每一个单项式看成一个小球，从两个盒子里摸出一个球，请问摸球可能出现的组合以及每种组合的种数是多少？？探究以b的个数为标准分类

？探究

？探究

问题二、你能分析说明各项前的系数吗？

概念形成上述公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数.式中

的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项：在二项式定理中，若设a=1,b=x，则得到公式字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n.例1求的展开式．解：典例分析求的展开式．变式1：解：1.二项式定理2.二项展开式的通项3.二项式系数：课堂小结创设情境

一一一一二一一三三一一四六四一一五十十五一一六十五二十十五六一杨辉是中国南宋末年数学家、

教育家。“杨辉三角”出现

在杨辉编著的《详解九章算

法》一书中，且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角.杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.

请同学们动手检验，计算出(a＋b)2(a＋b)3(a＋b)4的展开式

？探究＝a2＋2ab＋b2

(a＋b)4

(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)项的形式：2个(a+b)都不选b得到的，因此a2出现的次数相当于从2个(a+b)中取0个b（即都取a）的组合数，即a2只有1个；由1个(a+b)中选a，另1个(a+b)中选b得到的.由于b选定后，a的选法也随之确定，因此，ab出现的次数相当于从2个(a+b)中取1个b的组合数，即ab共有2个.由2个(a+b)中都选b得到的.因此，b2出现的次数相当于从2个(a+b)中取2个b的组合数，即b2只有1个.探究新知探究新知

同样地，如何利用分步乘法计数原理解释(a＋b)3的展开式？？探究a3a2ba2ba2bb3ab2ab2ab2展开式共有：项的形式：a4a3bab3b4a2b2探究新知

根据你发现的规律，你能写出(a＋b)4的展开式吗？？探究解：（项的结构）探究新知

进一步地，你能写出(a＋b)n

的展开式吗？？探究（项的系数）典例分析例1(1)求(1＋2x)7的展开式的第4项；(2)求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数；(3)求(1＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数.解：

(1)(2)求(1＋2x)7的展开式的第4项的系数为280.(3)求(1＋2x)7的展开式的第4项的二项式系数为.

解:的展开式的通项为根据题意，得因此，x2的系数是求的展开式中x2

的系数.例3典例分析解:1.求(2a＋3b)6的展开式的第3项.巩固练习2.求的展开式的第r