高中数学一轮复习 函数的单调性

第2.4章函数的概念与性质

2.4.4函数的单调性

鳖课程要求了修♦求心中有敷

1通过已学过的函数特别是二次函数，理解这些函数的单调性、最大（小）值及

高中要求其几何意义；

2会用函数单调性的定义判断函数的单调性；

11基石田知识夯实基础，■立完整知识体系

1函数单调性的概念

（1）增函数和减函数

一般地，设函数y=/（x）的定义域为/,区间De/：

如果V/,久26。，当Xl<%2时，都有/（皿）<。（%2），那么就说/（X）在区间D上单调递增（左图）.特别地，当函

数/（久）在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.

如果V光1，牝6。，当久1〈无2时，都有/'（%1）>/（%2），那么就说/'（X）在区间。上单调递减（右图）.特别地，当函

注①y=：在（0,+8）上单调递减，但它不是减函数.

②尤1，乂2的三个特征一定要予以重视•函数单调性定义中的小，次有三个特征：一是任意性，即任意取光1，乂2,

“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定均<K2；

三是同属一个单调区间，三者缺一不可.

⑵单调性

如果函数y=/（x）在区间。上是增函数或减函数，那么就说函数y=/（久）在这一区间具有（严格的）单调性.区

间。叫做函数y=/（%）的单调区间.

注①这个区间可以是整个定义域也可以是定义域的一部分.

(1Y为有理涉

②有的函数无单调性.如函数y='：，，它的定义域是(-8,+8),但无单调性可言.

10,尤为无理数

2单调性概念的拓展

①若y=f(x)递增，X2>X1，则f(K2)>

②若y=f(x)递增,/(x2)>则N

y=/O)递减，有类似结论！

3判断函数单调性的方法

①定义法

解题步骤

(1)任取X1,久2e且久1<尤2；

(2)作差f(/)一/(冷)；

(3)变形(通常是因式分解和配方)；

(4)定号(即判断差八支力一汽相)的正负)；

(5)下结论(指出函数人比)在给定的区间。上的单调性).

②数形结合

③性质法

增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数；

但增函数X增函数不一定是增函数，比如y=x,y=x—2均是增函数，而y=x(x—2)不是.

量经典例题从典例中见

【题型1】函数单调性的定义

【典题1】判断/(吗=刀+：在(0,2),(2,+8)的单调性.

解析设元设0VV%2，

作差则为72=(%1+~)~3+-)=(%1-%2)+4-怖)

变形=(%1-%2)+“犯F)=(%1_%2)(1——)(因式分解判断yi-正负)

%1%2%1%2

定号

(1)假如0</<%2<2,则0<石％2<40—>1^1--<0,

X1%2Xi%2

又第i一冷v。，所以yi>o=yi>丫2，故函数单调递减；

(2)假如2V%]<%2，则％1%2>4=--<1=1---->0,

又久1一支2<0，所以->2<0n71<72)故函数单调递增；

下结论所以函数在(0,2)内单调递减，在(2,+8)内单调递增.

变式练习

1.函数“X)在R上是减函数，则有()

A./(-1)<f⑶B./(-1)<f(3)C./(-1)>f(3)D.f(3)

答案C

解析因为函数”吗在R上是减函数，且一1<3,所以-1)>/(3).故选C.

2.下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()

A.y=—%+1B.y=y/xC.y=—4x+5D.y=-

答案B

3.已知f(x)是定义在[0,+8)上单调递增的函数，则满足“2久一的x取值范围是()

A.(1)|)B.(—8,»C.[1,|)D.(―8,|]

答案C

解析:"乃是定义在[0,+8)上单调递增的函数，

.・.不等式/(2x-1)<f《)等价为0<2x-l<i,即拉光<I，

即不等式的解集为弓,|),

故选：C.

4.已知函数/(%)=%|%]—2%的单调增区间为.

答案(-8,-1)和(1,+8).

解析％20时，/(%)=/_2久，对称轴％=1,开口向上，在(1,+8)递增，

%<0时，f(x)=-%2-2%,对称轴％=-1,开口向下，在(一8,-1)递增，

・•・函数的递增区间是(-00,-1)和(L+8).

5.试用函数单调性的定义判断函数”久)==在区间(0,1)上的单调性.

2%2_2（犯一%1）

解析任取％i，%2€(。，1)，且久1<%2・则—/3）=悬

%2T（X1-1）（%2-1）

由于0<%1<%2<1，%1—1<0,第2一1<0，%2一%1>0,

故/（巧）一六支2）>0,即代勺）>/（X2）.

2y

所以，函数/(%)=占在(0,1)上是减函数.

6.已知函数/(x)=x+1

(1)用函数单调性的定义证明/(久)在区间［2,+8)上为增函数

(2)解不等式：/(x2-2%+4)</(7)

答案⑴略(2)［—1,3］

解析⑴证明:任取%1，%2e［2,+00),且工1<x2,

则/%)-佟)=3+9一上+3=⑶一加+课/=3尸，

因为2工％1<%2，所以％1-％2<。，％1第2>4,

所以/(%1)-/(%2)V。，即/(%1)<-

所以/"(%)=x+：在［2,+8)上为增函数.

(2)W：•••x2-2x+4>2,

结合⑴得")在［2,+8)递增，

所以d-2x+4<7,解得一1WxW3,

故不等式的解集是［-1,3］.

【题型2】参数问题

【典题1】若函数“久)=/-a久在区间［1,2］上是增函数，9(%)=篝：在区间［1,2］上是减函数，则实数a的

取值范围是()

A,(—1,+8)B.(—8,——1)C.［2,+8)D.(—8,2］

解析根据题意，函数f(x)=/-ax为二次函数，其对称轴为¥=会

a_

若/'(x)在区间［1,2］上是增函数，则解可得aW2,①；

g(x)=入IA.=-T人TIT-L+。，若g(x)在区间［L2］上是减函数，

必有a+lvo,解可得。<一1,②;

联立①②可得：a<—1,

即a的取值范围为(一8,—1)；

故选：B.

变式练习

1.已知函数/(£)=仔1%•"NR是R上的增函数，则()

(.ax+b［x<0)

A.a<0,b>3B.a<0,h<3C.a>O,b>3D.a>0,b<3

答案0

解析••・函数/(%)=产是R上的增函数，

(ax+b(x<0)

a>0,且0+320+b,故选：D.

2.函数/(%)=%2+(2a+l)x+l在区间［1,2］上是单调函数，则实数a的取值范围是一

答案［—|,+°°)U(—oo,—1］

解析根据题意，函数/0)=/+(2。+1)%+1为二次函数，其对称轴为x=—等，

若f(x)在区间［1,2］上是单调函数，则有—罗W1或-誓22,

解可得：aN-1•或aW-'，

即a的取值范围为［一1+8)u(-8,-1］；

3.若函数/■(%)=|x-2K4)在区间(5a,4a+1)上单调递减，则实数a的取值范围是

答案号］

解析函数,=|x-2|(x-4)=信：煞］雄；2)

函数的增区间为(一8,2)和(3,+8),减区间是(2,3).

,•,在区间(5a,4a+1)上单调递减，

・••(5a,4a+l)U(2,3),得解之得|式aWg

故答案为：|<a<1

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1.函数f(%)在(见力)和(c,d)都是增函数,若第1e(a,b),x26(c,d),且%i<冷那么()

A./(%1)</(%2)B.f(%i)>/(%2)C./(%1)=/(%2)D.无法确定

答案D

2.在区间(0,+8)上不是增函数的函数是()

A.y=2%+lB.y=3x2+1C.y=|D.y=2x2+%+1

答案C

3.函数f(%)=x\x-2|的递减区间为()

A.(一8,1)B.(0,1)C.(1,2)D.(0,2)

答案C

解析当久之2时，/(%)=x(x—2)=x2—2x,对称轴为久=1,此时/(%)为增函数,

当XV2时，/(%)=-x(x-2)=-x2+2x,对称轴为％=1,

抛物线开口向下，当1V%<2时，/(切为减函数，

即函数/(久)的单调递减区间为(1,2),故选：C.

4.设/(%)是(-8,+8)上的减函数，贝lj()

A./(a)>/(2a)B./(a2)<f(a)

C./(a2+a)</(a)D./(a2+1)</(a)

答案D

解析/(%)是(-8,+8)上的减函数，当a>0时，a<2a,/(a)>f(2a),

当aWO时,a>2a,/(a)</(2a),故4错误；

当a=0,则/=Q,贝!]/(次)=/(a),故8错误；

当a=0,a2+a=a,则/(/+a)=/(a),故c错误；

由4+1>。，则/(4+1)</(a).

故选：D.

5.函数y=1%-3|的单调递减区间为.

答案(—00,3]

解析函数y=|x—3|的如右图，从图象可判断单调减区间为(-8,3].

是R上的单调减函数，则实数a的取值范围为

解析若/"(%)=\x'x-1是R上的单调减函数，

I—%+3a,x<1

fa>01

贝监<-1+3优解得a-2,

故答案为：弓,+8).

7.已知函数人支)=/+4：,%>0,若«2,42)>/⑷则实数a的取值范围是

14%—xL,x<0

答案(-2,1)

解析由题知/(%)在R上是增函数,由题得2—a2>a,解得一2<a<1.

8.已知函数/(%)=：-X叫且/(4)=g

(1)求TH的值；

⑵判断/(%)在(0,+8)上的单调性，并给予证明；

答案(l)m=1(2)减函数