2021年山东省日照市三校高三高考数学联考试卷5

2021年山东省日照市三校高考数学联考试卷(5月份)

一、选择题(共8小题).

1.设集合A={x|(x+1)(x-4)<0},B={x|0<x<9},则4nB=()

A.(0,4)B.(4,9)C.(-1,4)D.(-1,9)

2.若复数z满足iz=2+3i,则z的实部与虚部之和为()

A.-1B.1C.-2D.3

3.若a为第二象限角，则()

A.sina-cosa<0B.tana<0

JI

C.sin(-----i-2a)>0D.cos(IT-2a)>0

2

4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地

震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系/gEM.据此推断2008

年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是2020年9月30日

台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的()倍

A.lgC.450D.10

5.(x-1)(x-2)6的展开式中的R的系数为()

A.80B.-80C.400D.-400

6.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，/(x)=/nr+x,则a=/(-2擀)，

b—f(log29),c—f的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>hC.h>c>aD.h>a>c

7.已知产是抛物线CV=2px的焦点，x=-2是抛物线。的准线，点N(0,力。#0),

连接FN交抛物线C于M点，市诬=3，则△OFN的面积为()

A.6B.3C.2MD.4&

8.在棱长为、巧+1的正方体A8CD-43C1。中，球。同时与以B为公共顶点的三个面相

切，球。2同时与以。为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E,若球O”02的半

径分别为n，2则()

A.。出=五八

B."+底=6

C.这两个球的体积之和的最小值是我兀

D.这两个球的表面积之和的最小值是4TT

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得。分，部分选对的得3分）

9.已知根，〃是两条不重合的直线，a,B是两个不重合的平面，则（）

A.若"?_La,nJ,a,则相〃”B.若成〃a,n//a）则

C.若“〃a,则a_L0D.若a_L。，，〃〃a,”〃0,则/

10.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的唇长损

益相同（辱是按照日影测定时刻的仪器，悬长即为所测量影子的长度），二十四节气及

唇长变化如图所示，相邻两个节气唇长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至

的号长为一丈三尺五寸，夏至的号长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则

下列说法正确的是（）

A.小寒比大寒的唇长长一尺

B.春分和秋分两个节气的劈长相同

C.小雪的号长为一丈五寸

D.立春的署长比立秋的唇长长

1T

11.若函数f（x）=Asin（2x+（p）（A>0,0<<p<—）的部分图像如图所示，则下列叙述

正确的是（）

JT

A.（0）是函数f（x）图象的一个对称中心

B.函数/（无）的图象关于直线对称

□

ITJT

C.函数/（X）在区间Lg,g］上单调递增

OO

TT

D.函数/（x）的图像可由y=4sin2r的图象向左平移令个单位得到

22

12.已知双曲线C：^--^—=1（a>0,b>0）,4,4是其左、右顶点，F”尸2是其左、

右焦点，P是双曲线上异于A”4的任意一点，下列结论正确的是（）

A.IIPQI-|P尸2||=2。

B.直线P4,P4的斜率之积等于定值、

C.使得△PBB为等腰三角形的点尸有且仅有8个

b2

D.Z\PQ尸2的面积为ZA,PA9

tan---------

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

si，x<0i

13.已知函数/(x)=<n?6",则/(/3))=____________________.

log3x,x>0

Aq

14.已知点(a,b)在直线x+4y=4上，当a>0,匕>0时，，一4-的最小值为_____.

ab

15.已知定义在R上函数/(无)=4sin(3x+(p)(3>0)振幅为2,满足及-制=2,且了

(X2)=f(XI)=«，则在(0,102)±f(x)零点个数最少为.

16.牛顿选代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求

解方程根的一种方法.具体步骤如下：设r是函数y=f(x)的一个零点，任意选取沏作

为r的初始近似值，过点(xo,/(xo))作曲线y=/(x)的切线设人与x轴交点的

横坐标为xi,并称加为r的1次近似值；过点(Xi,/(xi))作曲线y=/(x)的切线匕，

设/2与x轴交点的横坐标为及，称加为r的2次近似值.一般的，过点(后,f(x„))

(MEN)作曲线y=f(x)的切线/n+1,记/„+!与x轴交点的横坐标为X„+1,并称X„+|为r

的n+1次近似值.设f(x)=3+x-l(x20)的零点为r,取xo=O,则r的2次近似值

3x3+x

为__________________；设a“=—『旦，HGN*,数列｛”“｝的前〃项积为北.若任意

2x；+l

neN*.7；〈入恒成立，则整数入的最小值为.

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.向量、=(2siar,t)，：=(cosx,cosZr),已知函数f(x)

(1)求函数/CO的最小正周期和单调递减区间；

AJT

(2)ZVLBC的内角A,B,C的对边分别为a,Ac,其中。=7,若锐角A满足/(々-)

26

=/，且sinB+sinC=■^幽，求匕+c的值.

v14

18.青少年身体健康事关国家民族的未来，某校为了增强学生体质，在课后延时服务中增设

800米跑活动，据统计，该校800米跑优秀率为3%,为试验某种训练方式，校方决定，

从800米跑未达优秀的学生中选取10人进行训练，试验方案为：若这10人中至少有2

人达到优秀，则认为该训练方式有效；否则，则认为该训练方式无效.

(1)如果训练结束后有5人800米跑达到优秀，校方欲从参加该次试验的10人中随机

选2人了解训练的情况，记抽到800米跑达到优秀的人数为X,求X的分布列及数学期

望；

(2)如果该训练方式将该校800米跑优秀率提高到了50%,求通过试验该训练方式被认

定无效的概率p,并根据p的值解释该试验方案的合理性.

(参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件)

19.已知数列｛小｝中，”1=-9,且现工是2与即(〃CN*)的等差中项.

2

(1)求数列｛同｝的前n项和G”；

(2)设4=042/…如，判断数列｛G｝是否存在最大项和最小项？若存在求出，不存在

说明理由.

20.如图，在多面体ABCDE中，四边形BCDE是矩形，△ADE为等腰直角三角形，且N

ADE=90°,卷KB=AD=®,BE=2.

(1)求证：平面AZ)E_L平面ABE；

7T

(2)线段CD上存在点P,使得二面角P-AE-D的大小为丁，试确定点P的位置并

4

证明.

21.已知椭圆C：工:义'=1经过点尸(&，1)，且离心率为返，O。：r+)，2

a"b"2

=户的任意一条切线/与椭圆交于A,B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在。0,使得金.而=0,若存在，求△AOB的面积S的范围；不存在，请

说明理由.

22.已知函数/(x)=-^-x3+ax/nx-(a+-^-)x.

(1)若a20,讨论了(x)的单调性；

(2)当时，讨论函数/(x)的极值点个数.

参考答案

一、选择题(共8小题).

1.设集合A=｛x|(x+1)(x-4)<0｝,8=｛x|0VxV9｝,贝ljADB=()

A.(0,4)B.(4,9)C.(-1,4)D.(-1,9)

解：集合4={R(x+1)(x-4)<0}={x|-l<x<4},B={X\0<X<9}9

所以AAB=(0,4).

故选：A.

2.若复数z满足反=2+3i,则z的实部与虚部之和为（）

A.-1B.1C.-2D.3

解：•.•复数Z满足iz=2+3i,则z=Z%\=3-2i,故z的实部与虚部之和3+（-2）=1,

1

故选：B.

3.若a为第二象限角，则（）

A.sina-cosa<0B.tana<0

C.sin(―^■-i-2cx)>0D.cos(n-2a)>0

解：因为a为第二象限角，

所以sina>0,cosa<0,tana<0,

故sina-cosa>0,故选项A错误;

tana<0,故选项B正确;

sin(；~+2a)=cos2a=sin2a-cos2a,故其符号不能确定，故选项。错误;

cos（n-2a）=-cos2a,同选项C,符号不能确定，故选项。错误.

故选：B.

4.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，例如，地

震释放出的能量£（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系/gEM.据此推断2008

年5月12日我国四川省汶川地区发生里氏8.0级地震所释放的能量是2020年9月30日

台湾省宜兰县海域发生里氏5.0级地震所释放的能量的（）倍

A.1gC.450D.10

解：设里氏8.0级和里氏5.0级地震，所释放的能量分别为B和艮,

由/gEM,可得/gEiX8.0=16.8,/g&X5.0=12.3,

El

1。=探e-盘艮=4.5,

E2

E2

故选：D.

5.(x-1)a-2)6的展开式中的的系数为()

A.80B.-80C.400D.-400

解:(X-2)6的展开式的通项为Tr+]=(_2)r・C"6-r,

令6-r=2,得r=4,则.=(-2)4C^c2—240x2,

令6-r=3,得r=3,则丁4="2)吃>上一如。x4

故(x-1)(x-2)6的展开式中的x3的系数为240+160=400.

故选：C.

6.已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，/(x)=lnx+x,则(-2/)，

&=/(log29),c小娓)的大小关系为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

解：根据题意，函数,⑴是定义在R匕的偶函数，则a=於-2-|-)=/号)=/(近)，

当x>0时，/(x)=lnx+x,其导数为，(x)=』+1,则/(x)在(0,+8)上为增函

X

数，

又由0<&<&V3=log28Vlog29,则旄)</(21)</(log29),

故有h>a>c,

故选：D.

7.已知尸是抛物线C：V=2px的焦点，x=-2是抛物线C的准线，点N(0,力CW0),

连接尸N交抛物线C于”点，谣+而=3，则△OFN的面积为()

A.6B.3C.2&D.4&

解：；x=-2是抛物线C的准线，

=_2,即p=4,

则抛物线C：V=8x，焦点F(2,0),

MN+MF=0,M,N,尸三点共线，

仞为NF的中点，

又,：F(2,0),N(0,0,

y).

将点M（l,y）代入抛物线产=8x,

可得IH=4\历，

所以△OFN的面积为却/q・|CW]=/x2X4&=4&.

故选：。.

8.在棱长为J5+1的正方体43。。-4山9|。|中，球。同时与以B为公共顶点的三个面相

切，球。2同时与以。为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点E,若球。I,。2的半

径分别为八，相，则（）

A.。8=&八

B.门+底=6

C.这两个球的体积之和的最小值是时兀

D.这两个球的表面积之和的最小值是4TT

解：由对称性作过正方体对角面的截面图如下，

可得a,oi,B,n四点共线，且。3=百口，故4错误；

02口1=百=2，则（V3+1）n+（北+1）r2=BDi=Mx（扬1），

从而n+门=«,故B错误；

这两个球的体积之和为：（rJ+r?^）=言迎（n+f2）（r]2-r[叮+0？），

Vn+n—yf2'（n+，2）（r[2-r[r2+r22）

=«（3T八废）2y[3TX（Zl^l）2]=平，

33

W-|IT（ri+r2）》标，当且仅当『废=零时等号成立，故C正确；

22

这两个球的表面积之和S=4TT（r.+r9）（一+痴）2=6m

1"2

当且仅当八=?=返时等号成立，故D错误.

2

故选：C.

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符题

目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

9.已知相，”是两条不重合的直线，a,3是两个不重合的平面，则（）

A.若m_La,则〃z〃"B.若，"〃a,〃〃a,5PJm//n

C.若加〃a,贝！］a_L0D.若。_1_0,，”〃a,“〃仇则，"J_"

解：对于A,若m_La,n±a,由直线与平面垂直的性质可得/“〃"，故A正确；

对于B,若相〃a,n//a,则机〃〃或小与”相交或相与"异面，故B错误；

对于C,若相〃a,则a有直线〃与，〃平行，又加-1_0,则〃_L0,故a_L0,故C正确；

对于。，若aJ_0,〃?〃a,"〃仇则，"与"的关系为平行、相交或异面，故。错误.

故选：AC.

10.我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的署长损

益相同（■是按照日影测定时刻的仪器，署长即为所测量影子的长度），二十四节气及

辱长变化如图所示，相邻两个节气号长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至

的署长为一丈三尺五寸，夏至的唇长为一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），则

下列说法正确的是（）

A.小寒比大寒的唇长长一尺

B.春分和秋分两个节气的号长相同

C.小雪的劈长为一丈五寸

D.立春的唇长比立秋的唇长长

解：由题意可知，由夏至到冬至的辱长构成等差数列其中m=15,.3=135,则d

=10,

同理可得,由冬至到夏至的出长构成等差数列｛仇｝,其中bi=135,如=15,则”=-10,

故大寒与小寒相邻，小寒比大寒的唇长长10寸，即一尺，故选项4正确；

因为春分的署长为加，所以岳="+6"=135-60=75,

因为秋分的号1长为aj,所以ai=a\+6d=15+60=75,

故春分和秋分两个节气的悬长相同，故选项B正确；

因为小雪的唇长为a”，所以au=ai+10d=15+100=l15,

又115寸即一丈一尺五寸，故小雪的唇长为一丈一尺五寸，故选项C错误；

因为立春的愚长和立秋的号长分别为仇，。4,

所以s=m+3d=15+30=45,/?4="+3<f=135-30=105,

所以仇>四，故立春的展长比立秋的署长长，故选项。正确.

故选：ABD.

7T

11.若函数/（x）=Asin（2x+<p）（A>0,0<（p<—）的部分图像如图所示，则下列叙述

正确的是()

K

A.(--,0)是函数/(x)图象的一个对称中心

TT

B.函数/(x)的图象关于直线对称

ITJT

C.函数/(X)在区间［-g,g］上单调递增

OO

JT

D.函数/(x)的图像可由y=Asin2r的图象向左平移五个单位得到

JT

解：根据函数/(x)=Asin(2x+(p)(A>0,0<(p<-2")的部分图像，

可得A=2,结合五点法作图可得2X&箸年=m...年=三，

126

K

故函数f(x)=2sin(2x4---).

6

ITTT

令冗=-五，求得/(X)=0,可得(-五，0)是函数/(x)图象的一个对称中心，故

A正确；

TT1T

令工=g,求得/(X)=1,不是最值，可得是函数/(外图象的一条对称轴，

OO

故B错误；

在区间［-?，3］上，2才+乌日-3，器］,函数/(x)没有单调性，故C错误；

33666

irir

由y=2sin2r的图象向左平移々■个单位，可得y=2sin(2x+:>)=/(x)的图象，故。

126

正确，

故选：AD.

22

12.已知双曲线C：(«>0,/>>0),Al,A2是其左、右顶点，Fl,乃是其左、

右焦点，尸是双曲线上异于4,4的任意一点，下列结论正确的是()

A.HPFil-\PF2\\=2a

2

B.直线尸4,尸4的斜率之积等于定值E与

a

C.使得△PQF2为等腰三角形的点尸有且仅有8个

b2

D.的面积为ZA7PA7

tarr

2

解：由双曲线定义可知，IIPQI-|PB||=2a,故4正确;

22c2

设P(x,y),产0,岭•丹=1，得y52(矢-1)，

aba

2

2b2(Vi)

二y罩y二y_

a武，故8正确;

P牝PA2x+ax_a2

Aa

x2~-a~a

由双曲线的对称性可知，要使△PFiB为等腰三角形，则人用必为腰,

在第一象限双曲线上有且仅有一个点P使得|PB|=2c,|PF2|=2c-2m此时△尸人死为等

腰三角形；

有且仅有一个点P'使得IP'B|=2c,|P'F\\=2c+2a,此时BE为等腰三角形.

同理可得，第二、第三、第四象限每个象限也有且仅有两个点，一共8个，故C正确；

记I尸/i|=ri,\PF2\=n,不妨设=在第一象限,1Jn-n=2a,

222?

在△PFiFz中,由余弦定理得：4c=r1+r2-2r1r2-cosZFiP/2,

_=

配方得整理得：4a2+2rjr2(lcoszlFjPF2)4c2>

2b2

ri「21-cosZ^Fi

Srr，sinZFPFb^sinZFjPFs

由任意三角形的面积公式得:APF.F-4-l2l2"

1-cosNF।PF2

S=

可得APF.F2ZFPF,

tan--------

HZA,PAnZFiPFnK,…、n

而ov\1<1£<—,故uD错供.

222

故选：ABC.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

X

sinC»x<0ii

13.已知函数/(x)=i6,则/(/(£))=-A.

log3x,x>0

.冗X

smx40

解：因为/(x)=<6r

log3x,x>0

则/(/(5))=f(logs—)=/(-1)=sin(-.

3362

故答案为：-

2

14.已知点(a,b)在直线x+4y=4上，当〃>0,b>0时，星闫的最小值为16.

ab

解：由题意得。+4b=4,«>0,b>3

则国闫=[(刍3)(〃+4b)=[(40+^^e)>y(40+2AP^--)=16,

ab4ab4ab4Vab

当且仅当16b=9残且4+46=4,即。=1,人=乌时取等号，此时必造的最小值16.

ab4ab

故答案为：16.

15.已知定义在R上函数/(x)=Asin(uu+(p)(a)>0)振幅为2,满足及71=2,且/

(X2)=f(xi)=«,则在(0,102)±f(x)零点个数最少为16.

解：因为振幅为2,所以A=2,

因为X2-X1=2,且f(12)=f(XI)=«，

要使零点个数最少，周期就要越大，

所以X2,处应为两个相邻的在/(K)=«直线上的点,

:近

sin(3X1+Q)-

即42的“八/、2兀兀兀

近，^U(o(X2-X1)-

sin(3、2+()-

即3哈周期T=12,

为了使区间内零点最少，将第1个零点放在原点,

所以102+12=8R2T,

2

最后1个零点恰好在x=102处，不在区间(0,102)中，只计区间内的个数,

所以零点个数为2X8=16个.

故答案为：16.

16.牛顿选代法又称牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数集上近似求

解方程根的一种方法.具体步骤如下：设r是函数y=f(x)的一个零点，任意选取xo作

为一的初始近似值，过点(出，f(Xo))作曲线y=/(x)的切线设/|与工轴交点的

横坐标为笛，并称汨为厂的1次近似值；过点(笛，/(加))作曲线y=/(x)的切线6,

设/2与x轴交点的横坐标为及，称垃为一的2次近似值.一般的，过点(%,/(%))

(〃WN)作曲线(x)的切线/〃+i,记/”+1与X轴交点的横坐标为x〃+i,并称用+i为r

的〃+1次近似值.设/(x)=R+x-1(xNO)的零点为r,取xo=O,则r的2次近似值

33x3+x

为—弓_；设a“=-巴ka，〃eN*,数列｛“”｝的前〃项积为7k若任意〃€N*,T„<X

一4一n23+1

n

恒成立，则整数人的最小值为2.

23

解：f(x)=3x+l,设切点为(xn,Xn+-Vn-1)，

则切线斜率k=3x“2+i,

2

所以切线方程为)=(3%n+1)(X-Xn)+xn^+Xn~1,

x3+x-12x3+l

令)'=0,可得X"+l=------/*"=---------,

3x1+l3x„J+l

nn

因为xo=O,所以》=1,X2=g，

4

即厂的2次近似值为g,

4

3

2xn+l

因为超+1=---T—，

3x『+l

Q3

x3x+Xx

所以以n一=—%n」n=如，

xn+l2x/+l

n

~Xix2xnX11

所以Tn=a\a2--an=---*...=-----=-----,

x2x3xn+lxn+lXn+1

因为函数f(x)=x3+x-1(x20)为增函数，

12

/(—)=-—<0,y(1)=i>o,

28

由零点存在定理可得re(-j-,1),

所以G(1,2),

xn+lr

因为任意〃6N*,7；〈入恒成立，

所以人22,即入的最小整数为2.

故答案为：~2.

4

四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.向量:=(2sinx,«),p=(cosx,cos2x),已知函数/(x)=-n-

(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递减区间;

⑵△ABC的内角A,B,C的对边分别为m4c,其中。=7,若锐角A满足八A金二TT）

26

=如,且sin8+sinC=-l"M,求匕+c的值.

v14

解：(1)/(x)2sinxcosx-h/3cos2x，

=sin2x+V3cos2x=2X(-^-sin2x+^-cos2x)j

：.f（x）的最小正周期为：T弋二噬-二兀，

又〈Zk兀2x2k+k€Z，

•<•k兀x《k兀+［:,k€Z‘

jr7JT

：.f（X）的单调递减区间为［五+k冗，考+k兀］,k€z,

A二）=

(2)/(—2sin[2X

26

即sinA=乂③,

2

a_b_c_7=2R_1W3

•:a=7,由正弦定理可得sinAsinBsinC^3（R为△ABC外接圆

3-

"2"

的半径)，

...0，.门b+c13^3

•sinD+sinC=-™=~~，

2R14

1W31373

b+c=^-X^^=13

18.青少年身体健康事关国家民族的未来，某校为了增强学生体质，在课后延时服务中增设

800米跑活动，据统计，该校800米跑优秀率为3%,为试验某种训练方式，校方决定，

从800米跑未达优秀的学生中选取10人进行训练，试验方案为：若这10人中至少有2

人达到优秀，则认为该训练方式有效；否则，则认为该训练方式无效.

（1）如果训练结束后有5人800米跑达到优秀，校方欲从参加该次试验的10人中随机

选2人了解训练的情况，记抽到800米跑达到优秀的人数为X,求X的分布列及数学期

望；

（2）如果该训练方式将该校800米跑优秀率提高到了50%,求通过试验该训练方式被认

定无效的概率P，并根据"的值解释该试验方案的合理性.

（参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件可视为小概率事件）

解：（1）X的可能取值为0,1,2,

喘2

则P(X=0)=W

9

^10

clcj5

P(X=l)一

c29

^10

第2

P(X=2)=长=多

9

v10

所以X的分布列如下:

X02

P25,2

9©9

则E(X)=0XMix耳2x2=1；

999

（2）该训练方式无效的情况有：10人中有1人800米跑达到优秀；10人中有0人800

米跑达到优秀,

所以通过试验该训练方式被认定无效的概率p=C赭Y）%展）埠9

11-0.01<5%,

1024

故可认为该训练方式无效事件是小概率事件，从而认为该训练方式有效,

故该试验方案合理.

19.已知数列｛斯｝中,ai=-9,且二生上是2与小（〃6N*）的等差中项.

2

（1）求数列｛|明｝的前”项和G”；

（2）设Tn=aiazay-a,,,判断数列｛7“｝是否存在最大项和最小项？若存在求出，不存在

说明理由.

解：（1）数列｛%｝中，m=-9,且是2与如（〃CN*）的等差中项.

2

整理得斯+LZ=2（常数），

故数列｛”“｝是以-9为首项，2为公差的等差数列；

所以an=-9+2（〃-1）=2〃-11.

当相26时，如>0,

当刃W5时,afl<0t

所以当〃W5时，G〃=|〃i|+|a2|+...+|a〃|=-(QI+〃2+...+Q〃)=匚'9+'7一二］0n-n2,

当〃26时，G”=|ai|+|〃2|+|a5|+3|+...+|a/=-2(0+6+…+⑥)+(ai+〃2+...+a”)=25+(n

-5)2.

痂(10n-n2(n<5)

125+61-5)2(n)6)

(2)根据数列的通项公式m=2〃-11,

可知：a\,“5各项都为负值，当麓26时,a,i>Of

所以72>0，?4>0,

故{〃},"5={△，北},"5,{71|}min={Tl,T?,75>Tn}min)

由于乃=63,74=945,

所以最大项为第4项，最大值为945.

由于〃=-945,76=-945,

当〃》7时，an>\,所以T”没有最小值，

20.如图，在多面体ABCQE中，四边形8COE是矩形，△AOE为等腰直角三角形，且N

ADE=90°,^•AB=AD=圾,BE=2.

(1)求证：平面AOE_L平面A8E；

1T

(2)线段C。上存在点P,使得二面角P-AE-。的大小为」白，试确定点P的位置并

证明.

【解答】(1)证明：在等腰直角△AQE中，AD=啦,所以AE=2,

又扬E=AB=2&，贝IAE2+B£2=AB2,

所以AE_LBE,

XDELBE,且AECWE=E,AE,DEu平面AOE,

所以3EJL平面ADE,又BEu平面ABE,

所以平面AOEJ_平面ABE；

TT

(2)解：点尸为线段。C的中点，使得二面角尸-4E-£>的大小为一证明如下：

4

以£为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则E(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),。(I,0,1),设P(x,y,z),

因为而=%反=入菽(A>0),则有(x-1,y,z-1)=人(0,2,0),

解得x=l,y=2入，z=l,故P（1,2入，1）,

EA=（2,0,0）,EP=（1,2%,1），

设平面AEP的法向量为】=Q,b,c），

n*EA=0f2a=0

则有《一一，B叫n、，

n,EP=0la+2入b+c=0

令b=l,则c=-2入，故1=（0,1,-2入）,

平面ADE的一个法向量为孟=(0,1,Q),

因为二面角P-AE-D的大小为一，

4

所以cosr^-=|cos<n>以>I=----J$=^,

41XV1+4X22

解得人"或人=1^(舍),

22

TT

所以点尸为线段。C的中点，使得二面角P-AE-。的大小为一1.

4

21.已知椭圆C：W=1经过点P(&,1),且离心率为返，。0:N+y2

a"2

=内的任意一条切线/与椭圆交于A,B两点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在。0,使得福•而=0,若存在，求△408的面积S的范围；不存在，请

说明理由.

a2=4

解:(1)依题意,解得＜=2»

C2=2

22

椭圆C的方程为江上=i；

43

(2)假设存在，。0：/+y2=\满足题意，

①当切线/的斜率存在时，设切线/方程为丫=履+根，将其代入椭圆方程化简并整理可得,

(2N+1)x2+4ktnx+2m2-4=0,

依题意，△=16攵2加2-4(2R+1)(2m2-4)>0,即4N-，话+2>0,

设A(XI,yi),B(及，72)，则X[+X2=-^―>X,

2kJ+l2k"+l

m2_4k2