2023-2024学年上海市长宁区高二年级下册期中数学模拟试题（含答案）

2023-2024学年上海市长宁区高二下册期中数学模拟试题

一、填空题

1.己知直线/在X轴上的截距是3,在y轴上的截距是-2,则/的方程是

【正确答案】2x-3y-6=0

【分析】由题意利用截距式求直线的方程，再化为一般式.

【详解】因为直线/在X轴上的截距是3,在P轴上的截距是-2,

则直线I的方程是5+2=1,即2x-3y-6=O,

3-2

故2x-3y-6=0.

2.若动点A（X”凹）,8（々,必）分别在直线4"+y-7=O和3x+y-5=0上移动，则AB中点

到原点距离的最小值为

【正确答案】3√2

【分析】分别求得，原点O到直线乙和4的距离4，4，结合〃&，即可求得AB的中点到原

点的距离的最小值.

【详解】由题意，直线/∣∕+y-7=0和4：x+y-5=0,可得"/A，

又由原点O到直线h的距离4=甲=述

夜2

也=侦

原点O到直线/2的距离4=

√22

7√2_572

所以AB的中点到原点的距离的最小值为5√2

-------Γ技

2

⅛3√2

3.点M与两个定点0(0,0),P(2,0)的距离的比为3:1,则点M的轨迹方程为.

QQ

【正确答案】(χ-J>+y2=2

416

【分析】设出动点M(x,y),利用条件得到Id,=3,再化简即可得到结果.

√(x-2)2+/

【详解】设点M(x,y),由题知∕J/U=3,两边平方化简得2f+2y2-9x+9=0,即

√(x-2)2+r

,9、，29

(∖)-+y-=7∑,

416

所以点〃的轨迹方程为(X-g)2+y2=⅛.

416

OQ

故答案为.(工一:尸+y2=—

4.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同

一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是.

【正确答案】96

【详解】试题分析：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：

1和2,2和3,3和4,4和5,四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4xA：=96

种

排列、组合及简单计数问题

5.将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排(相同颜色的球是一样的)，有种排法.

【正确答案】1260

【分析】利用排列知识即可求出结果.

【详解】因为相同颜色的球是一样的，所以将3个红球，4个篮球，2个黄球排成一排，共

右A；

=1260种.

A：A：A；

故1260.

6.点A(l,2),点3(-2,-4),点P在坐标轴上，且NAPB为直角，这样的点尸有个.

【正确答案】4

【分析】分情况讨论，设出轴上尸点坐标，利用向量的数量积为0建立方程，由判别式确定

解得个数即可.

【详解】若P在X轴上，可设P(χ,O),

则AlD=(X-I,-2),即=(x+2,4)，

由NAPB为直角可得配>.而=(X-I)(X+2)-8=0，

2

即A+x-10=0,Δ=1-4×(-10)>0I故有两解;

当P在)，轴上，可设P(0,y),

则筋=(-l,y-2),<⅛=(2,y+4),

由NAPB为直角可得*>.而=-2+(y-2)(y+4)=0，

BP/+2y-10=0,Δ=22-4×(-10)>0,故两解.

综上，四个解且无重合点，可知符合条件的点有4个，

故4

7.二项式卜+gJ的展开式中含有非零常数项，则正整数”的最小值为.

【正确答案】5

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令X的指数为0方程有解，即可求

出正整数〃的最小值.

【详解】由题意，

在(/+9)中，展开式中含有非零常数项，

in5r

展开式的通项为乙=a卜3r=C"rX-,

∙.∙展开式中含有非零常数项，

，当3"-5r=0时，解得：n=-

3

.∙.当r=3时，〃最小，为5

故5.

8.已知点A(-2,0),动点B的纵坐标小于等于零，且点5的坐标满足方程/+V=1,则直

线48的斜率的取值范围是.

【正确答案】TO

【分析】利用条件，将问题转化成求直线AB与圆相切时的斜率，再根据图形即可得出结果.

【详解】由题知，动点8的纵坐标小于等于零，且点5的坐标满足方程V+y2=l,所以点8

的轨迹方程为V+y2=i（y≤0）,

当直线A8与圆相切时，设直线AB方程为y=Wx+2）,即辰-y+2A=0,

所以/驾==1,解得出=±立，因为B的纵坐标小于等于零，所以％=-且,

√F+133

由图易知，直线AB的斜率的取值范围ke-y,0,

9.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同

场馆服务，不同的分配方案有种（用数字作答）.

【正确答案】1080

【分析】该问题属于平均分组（堆）再分配的问题，先将6位志愿者分成4组，其中两个组

各2人，另两个组各1人，再将其分配到四个不同场馆即得.

牌C

【详解】将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人有=45种方

A尔

法，进而将其分配到四个不同场馆，有A：=24种情况，

由分步计数原理可得，不同的分配方案有45×24=1080种.

故1080.

易错题，在分组过程中，要注意分组重复的情况，理解中分母的意义.

A›2

10.在某种没有平局的比赛中，选手每赢一局可以得到1点积分，每输一局会失去1点积分,

若选手连赢了3局或更多的比赛，则从连赢的第三局开始，每赢一局会得到2点积分，现在

设某选手的胜率为60%,则他第6局的获得的分数的数学期望是.

【正确答案】0.38144

【分析】根据题意结合独立事件概率公式、数学期望的公式进行求解即可..

【详解】前6局中，连赢六局的概率为(60%y,

前6局中，连赢五局且第6局也赢的概率为(60%)'x(l-60%),

前6局中，连赢四局且第6局也匾的概率为(60%)Sχ(l-60%),

前6局中，连赢三局且第6局也赢的概率为(60%)4x(l-60%)+(60%)"×(l-60%)∖

所以第6局的获得2分的概率为：

(60%)6+2×(60%)5×(1-60%)+(60%)4×(1-60%)+(60%)4×(1-60%)2

=0.18144,

第6局的获得T分的概率为1-60%=0.4,

第6局的获得1分的概率为1-0.18144-0.4=0.41856,

所以第6局的获得的分数的数学期望是2x0.18144+1x0.41856+(-I)Xo.4=0.38144,

故0.38144

11.如图，在5x5的方格表中按照下面的条件填入6个圆圈，满足各行.各列至少有一个圆

圈；同一格不能填2个圆圈.则不同的符合条件的填入方法有种.

【分析】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1

个；某列2个，其他列1个，据此分两类讨论，分别求出安排种数，再由分类加法计数原理

得解.

【详解】6个圆圈填入5行、5列的表格中，按照题目要求，易知必有某行2个，其他行1

个；某列2个，其他列1个.

①如果该行和该列的交界处有圆圈，则去掉这个圆圈恰好每行每列1个，有5!=120种，新

增的这个交界处圆圈有20种填法，共计:120x20=2400种；

②如果该行和该列的交界处没有圆圈，选定该行该列的方式有C；C；=25种，在该行该列分别

填入2个圆圈的方法有C；C：=36种，最后再把剩下2个圆圈填入方格，有2种填法，共计：

25x36x2=1800种；

综上，不同的符合条件的填入方法有4200种.

故4200种

12.已知A8,C,2E,尸六个字母以随机顺序排成一行，若小明每次操作可以互换2个字母

的位置，则小明必须进行5次操作才能将六个字母排成ABCDEF的顺序的排列情况有

______种.

【正确答案】120

【分析】利用条件，先假设有一个字母已排在正确位置上，经过分析判断得出不符合题意，

从而得出每个字母均不在正确的位置上，再利用分步计数原理即可求出结果.

【详解】因为小明必须经过5次操作才能将六个字母排成ABCDEE的顺序，

这里研究排序混乱到什么程度才需要“必须经过5次操作“排成ABCDEF的顺序，

这里不妨记A,B,C,D,E,F六个字母对应的位次分别为1,2,3,4,5,6,

首先，考虑一种情况：假设字母"4’已经排在自己的位置，即排在1号位，

其他字母均不在自己位置，易知把其他五个字母调换到自己的位置至少需要经过4次操作，

即第一次让“8”归位，第二次让归位，第三次让“。’归位，第四次将与''尸'同时归位，

这样仅需进行4次操作，不满足题意；

所以，要满足“必须进行5次操作”的情况，

则每个字母均不在自己位置的情况，这样1号位有5种选择，

放在I号位的那个字母对应的位次就有4种选择，

以此类推，总的排序方法有5!=120种.

故120.

解决本题的关键在于，先通过假设字母“4”已经排在自己的位置，即排在1号位，再分析出

不符合条件，从而得到怎样的排序才符合条件，将问题转成利用分步计数原理来解决.

二、单选题

13.已知一个圆的方程满足：圆心在点(-3,4),且过点原点，则它的方程为()

A.(x-3)2+(y-4)2=5B.(x+3)?+(y+4)?=25

C.(Λ+3)2+(J-4)2=5D.(%+3)2+(y-4)2=25

【正确答案】D

【分析】利用条件求出半径，再根据圆的标准方程求解.

【详解】设圆的半径为「，因为圆心是。(-3,4),且过点(0,0),所以r=屈正=5,所以

半圆的方程为(x+3y+(y-4)2=25,

故选：D.

14.掷两颗均匀的大小不同的骰子，记“两颗骰子的点数和为10”为事件4,“小骰子出现的

点数大于大骰子出现的点数”为事件8,则P(8∣A)为()

A.ɪB.-C.—D.一

26153

【正确答案】D

【分析】根据题意，利用古典概型公式分别计算事件A发生的概率与事件AB发生的概率，

再利用条件概率计算公式即可算出P(8∣A)的值.

【详解】根据题意，记小骰子的点数为X,大骰子的点数为了，

事件A包含的基本事件有“x=4,y=6"，"x=y=5"，"χ=6,y=4”共3个,

31

・•.事件A发生的概率P(A)=--=-

6×612t

而事件AB包含的基本事件有“x=6,y=4”一个，

可得事件AB发生的概率P(AB)=ɪ,

故选：D

15.过点P(3,0)作一条直线∕,它夹在两条直线R2x-y-2=0和4：x+y+3=0之间的

线段恰被点P平分，则直线/的方程为()

A.8x÷y-24=0B.8x-γ-24=0

C.8x+y+24=0D.x+8y+24=0

【正确答案】B

【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为y=Mx-3),

进而得出交点，根据点P为两交点的中点建立等式，求出出的值，从而即可解决问题.

【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：x=3,不符合题意；

所以直线斜率存在设为左,

则直线/方程为y=%(χ-3),

联立直线4得:

联立直线4得：，

X+y+3=0

所以直线/与直线4，直线4的交点为：

(3k-24k)(3k-3-6%]

Ik-2,⅛-2j∖k+∖'~k+∖)'

又直线/夹在两条直线∕1和4之间的线段恰被点P平分,

解得：/=8,

所以直线/的方程为：8x-y-24=0,

故选：B.

16.两个黑帮帮主甲和乙决定以如下方式决斗：甲带了一名手下A,而乙带了两名手下B和

C,规定任意一名手下向敌方成员开枪时，会随机命中敌方的一个尚未倒下的人，且命中每

个人的概率相等，并且，三名手下被命中一次之后就会倒下，而甲被命中三次后倒下，乙被

命中两次后倒下，只要甲或者乙任意一人倒下，决斗立刻结束，未倒下的一人胜出.决斗开

始时，A先向敌方成员开枪，之后若B未倒下，则8向敌方成员开枪，之后按C,A,B,C,

A,B.....的顺序依次进行，则甲最终获胜的概率是()

【正确答案】A

【分析】分析按被击中顺序来表示的甲获胜的事件，分别求出概率，利用互斥事件概率加法

公式求和得解.

【详解】对于甲来说，一旦唯一一名手下4被击毙，则甲方必败，同理，若乙方8、

C两名手下被击毙，则乙方必败(题目定义开枪顺序是三名手下轮流开枪，甲与乙不参与开

枪)，按照被击中的顺序表示事件，易知甲获胜的方式有如下几种：

乙甲甲乙，B甲C,C甲B,B甲乙甲，C甲乙甲，事件概率分别记为=1,2,3,4,5),

…IlIllnIiiiCllllr,Iiiii

322336232212332212322224

CIlll1

5322224

所以甲最终获胜的概率是P总+*x2+(x2q,

故选：A

三、解答题

17.已知随机变量X若E(X)=2,3(x)=g,求。的值.

【正确答案】ɪ

【分析】根据二项分布的期望、方差公式计算可得.

【详解】因为随机变量XB(n,p),

所以E(X)=*=2,Q(x)=∕jp(l-p)=g,

2

两式相除可得=

解得P=；.

18.求抛物线C：y=f上的点到直线/：y=gx-l的最小距离.

【正确答案】迈

8

【分析】设出抛物线上的点坐标，利用点到直线的距离公式求解作答.

【详解】设抛物线y=V上的点P(X。,北)，则点尸到直线y=gx-l,

即x-2y-2=0的E巨离d=IX厂2片-2|=2(3/N史,

√(-2)2+l2√5-8

当且仅当Xo=Z时取等号，

所以所求最短距离为主叵.

8

19.某校举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的

分数(得分取正整数，满分为100分)作为样本(样本容量为〃)进行统计，按照[50,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出如图所示的频率分布直方图，已知得分在

[50,60),[90,100]的频数分别为16,4.

频率

(1)求样本容量〃和频率分布直方图中的b的值;

(2)分以下称为“不优秀”，其中男.女姓中成绩优秀的分别有24人和30人，请完成列联表,

并判断是否有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”?

男生女生总计

优秀

不优秀

总计

2

P(κ≥k0)0.100.050.0100.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

n(ad-bc)

附：K2----7；-------------r,n=a+b+c+a

(a+b)(c+d)[a+c)(b+d)

【正确答案】⑴"=100力=0.004,q=0.030

（2）联表见解析，没有

【分析】（1）根据频率分布直方图，计算样本容量”及“，6的大小即可；

（2）由题意列出联表，计算V与临界值比较得出结论.

164

【详解】（1）由题意可知，样本容量〃=s=100,b=77b3=0∙θ04,

0.016×10IOOxlO

6Z=0.1∞-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.

（2）100位学生中男女生各有50名，成绩优秀共有54名，所以学生的成绩优秀与性别列

联表如下表;

男生女生总计

优秀243054

不优秀262046

总计5050100

2100×(24×20-30×26)2100

K2=-------i---------------------L=-YY≈I.449<2.70，

50×50×46×5469

•••没有90%的把握认为“学生的成绩优秀与性别有关”.

20.为评估设备M生产某种零件的性能，从设备”生产零件的流水线上随机抽取I（X）件零

件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：

直径机机5859616263646566676869707173合计

件数11356193318442121100

经计算，样本的平均值〃=65,标准差。=2.2,以频率值作为概率的估计值，用样本估计

总体.

（1）将直径小于等于〃-2b或直径大于〃+2b的零件认为是次品，从设备M的生产流水线

上随意抽取3个零件，计算其中次品个数Y的数学期望E（Y）.

（2）为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一件，记其直径为X,并根

据以下不等式进行评判（P表示相应事件的概率）：①尸（〃-b<X≤4+b）≥0.6827;

@P（μ-2σ<X<μ+2σ）≥0.9545；③P（M-3b<X≤〃+3b）≥0.9973.评判规则为：若同时

满足上述三个不等式，则设备等级为甲；仅满足其中两个，则等级为乙；若仅满足其中一个,

则等级为丙；若全部不满足，则等级为丁，试判断设备M的性能等级并说明理由.

【正确答案】(1)=(2)设备M的性能为丙级别.理由见解析

【分析】(I)对于次品个数y的数学期望E(y)的求法可采取古典概率的算法，先求出次品

率，用符合条件的次品数/样本总数，次品可通过寻找直径小于等于〃-2b或直径大于〃+2b

的零件个数求得，再根据该分布符合丫~8(3,4)，进行期望的求值

(2)根据(2)提供的评判标准，再结合样本数据算出在每个对应事件下的概率，通过比较

Q∩

发现P(μ-σ<X≤μ+σ)=——=0.80>0.6826,

100

94

P(μ-2σ<X≤μ^-2σ)=-=0.94<0.9544,

98

P(∕z-3cr<X≤∕∕÷3σ)=-=0.98<0.9974,

三个条件中只有一个符合，等级为丙

【详解】解：(1)由图表知道：直径小于或等于〃-2b的零件有2件，大于〃+2b的零件

有4件，共计6件，

从设备〃的生产流水线上任取一件，取到次品的概率为屏=”，依题意y~8卜，磊)，

1∖)∖JJU∖JUJ

39

故W)=3x犷/

(2)由题意知，μ-σ=62.8,μ+σ=61.2,

μ-2σ=60.6,〃+2b=69.4,3b=58.4,χ∕÷3cr=71.6,

所以由图表知道：

QQ

P(χ∕-σ<X≤χ∕+σ)=-=0.80>0.6826,

94

P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=-=0.94<0.9544,

98

P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=-=0.98<0.9974,

所以该设备例的性能为丙级别.

对于正态分布题型的数据分析，需要