自动控制原理课件

第1章自動控制的一般概念課程的性質和特點自動控制是一門技術學科，從方法論的角度來研究系統的建立、分析與設計。《自動控制原理》是本學科的技術基礎課，（1）自動控制理論的基礎課程，該課程與其它課程的關係。自動控制理論電機與拖動模擬電子技術線性代數微積分（含微分方程）複變函數、拉普拉斯變換電路理論大學物理（力學、熱力學）信號與系統（2）自動控制理論已經發展為理論嚴密、系統完整、邏輯性很強的一門學科。從基本回饋控制原理發展到：自適應控制、優化控制、魯棒控制、大系統控制、智能控制

討論的對象：因果系統、工程系統系統的廣義性：經濟、社會、工程、生物、環境、醫學課程特點：研究系統的共性問題

實際系統物理模型數學模型方法（系統組成分析、設計1-1自動控制的基本原理人工控制與自動控制：水箱水位控制問題水位測量與變送執行器控制器給定眼手腦水位控制工作原理人工控制：眼、腦、手、水箱+閥門自動控制：感測器、控制器、執行器、水箱+閥門人腦手水箱系統眼h控制器執行器水箱系統感測器h回饋：將輸出量通過一定的方式送回到輸入端，並與輸入信號比較產生偏差信號過程稱為回饋負回饋：輸入信號—回饋信號（輸出信號）輸出偏差減小正回饋：輸入信號+回饋信號回饋控制、閉環控制按偏差進行控制一、回饋控制原理龍門刨床速度控制系統n要求：工件加工過程中不允許刨床速度波動過大措施：利用速度回饋對刨床速度進行自動控制龍門刨床速度控制系統原理圖SMTG-kFDKZCF龍門刨床速度控制系統原理：（詳見P3圖1-2）系統基本部件及功能：主（拖動）電動機SM輸入：電樞端電壓ua

輸出：電動機速度n測速發電機TG+電位器輸入：n輸出：ut觸發器CF+晶閘管整流器KZ輸入：uk

輸出：ua給定電位器輸出：uo放大器FD輸入：工作原理：設直流電動機SM的勵磁恒定、外部負載Mt系統方框圖比較電路整流器放大器測速發電機觸發器電動機二、回饋控制系統的基本組成回饋控制系統：被控對象、控制裝置控制裝置：由具有一定職能的各種基本元件（部件）組成。測量元件、給定元件、比較元件放大元件、執行元件、校正元件測量元件串聯校正回饋校正執行元件放大元件被控對象局部回饋主回饋一些基本概念前向通路：從輸入端沿箭頭方向到輸出端的傳輸通路主回饋通路：輸出經過測量元件到達輸入端的通路主回路：前向通路+主回饋通路內回路：局部前向通路+局部回饋通路單回路系統、多回路系統回饋控制系統受到的外部作用參考（有用）輸入：決定系統被控量的變化規律擾動：系統外部擾動、系統內部擾動自動控制系統的基本控制方式回饋控制方式：按偏差進行控制，較高的動靜態控制性能；結構、線路複雜，系統分析與設計較複雜。開環控制（順序控制）：系統輸出量對系統的輸入量不產生影響，結構簡單、調整方便、成本低有兩種方式：按給定量控制如龍門刨床速度控制系統將測速發電機的輸出斷開，調節CF的輸入電壓來調節電機速度按擾動量控制利用可測量的擾動量，產生補償作用複合控制方式：（1）按偏差控制+按擾動補償控制（2）按偏差控制+按給定補償控制電壓放大電壓放大功率放大SMTG負載其他新控制方式：最優控制、預測控制、自適應控制、模糊控制、神經網路控制等。電壓放大器功率放大器電阻R電動機測速發電機電壓放大器MC1-2自動控制系統示例函數記錄儀飛機-自動駕駛儀系統電阻爐微機溫度控制系統飛行模擬器的視景系統1-3自動控制系統分類分類方法按控制方式：開環控制、閉環控制、複合控制按元件類型：機械系統、電氣系統、機電系統、液壓系統、氣動系統、生物系統等。按系統功能：溫度、壓力、位置按系統性能：線性與非線性、連續與離散、定常與時變按參考量變化規律：恒值、隨動、程式控制一、線性連續控制系統由係數判定線性時變系統、線性定常系統線性定常系統根據參考輸入量又可分為：恒值控制系統、隨動系統、程式控制系統系統主要特點：（1）恒值控制系統

參考輸入是個常值，要求被控量也等於常值。外部擾動的存在，被控量偏離參考量而出現偏差，控制系統根據偏差產生控制作用，以克服擾動的影響，使被控量恢復到給定的常值。（2）隨動系統參考輸入是預先未知的隨時間任意變化的函數，要求被控量以盡可能小的誤差跟隨參考輸入量變化。（3）程式控制系統參考輸入是按預定規律隨時間變化的函數，要求被控量迅速、準確地複現。線性定常離散系統二、非線性控制系統非線性系統的線性化1-4對自動控制系統的基本要求1.對自動控制系統基本要求穩定性（穩）、快速性（快）、準確性（准）“穩”與“快”是說明系統動態（過渡過程）品質。系統的過渡過程產生的原因：系統中儲能元件的能量不可能突變。“准”是說明系統的穩態（靜態）品質穩定性是保證控制系統正常工作的先決條件線性控制系統的穩定性由系統本身的結構與參數所決定的，與外部條件無關。快速性是系統在穩定的條件下，衡量系統過渡過程的形式和快慢，通常稱為“系統動態性能”。

過渡過程時間、超調量准确性是在系統過渡過程結束後，衡量系統輸出（被控量）達到的穩態值與系統輸出期望值之間的接近程度。穩態誤差2.典型外部輸入信號（1）階躍函數（信號）（2）斜坡函數（信號）（3）脈衝函數（信號）（4）正弦函數（信號）第2章控制系統的數學模型本章主要內容與重點控制系統的時域數學模型控制系統的複域數學模型控制系統的結構圖本章主要內容本章重點

本章介紹了建立控制系統數學模型和簡化的相關知識。包括線性定常系統微分方程的建立、非線性系統的線性化方法、傳遞函數概念與應用、方框圖及其等效變換、梅遜公式的應用等。

通過本章學習，應著重瞭解控制系統數學模型的基本知識，熟練掌握建立線性定常系統微分方程的建立、傳遞函數的概念和應用知識、控制系統方框圖的構成和等效變換方法、典型閉環控制系統的傳遞函數的基本概念和梅遜公式的應用。2-1控制系統的時域數學模型線性、定常、集總參數控制系統的微分方程線性元件的微分方程電氣元件組成的系統（電路系統）列寫系統運動方程前，要先確定輸入變數、輸出變數LCR機電系統微分方程：電樞電壓控制直流電動機電樞回路電壓平衡方程SM負載若以角速度為輸出量、電樞電壓為輸入量，消去中間變數，直流電動機的微分方程為電磁轉矩方程電動機軸上轉矩平衡方程當電樞回路的電感可以忽略不計若電樞回路電阻和電動機的轉動慣量都很小，可忽略不計，則上式可進一步簡化求品質m在外力F的作用下，品質m的位移x的運動。設系統已處於平衡狀態，相對於初始狀態的位移、速度、加速度彈簧-品質-阻尼器（S-M-D）

机械位移系统m齒輪系的運動方程J1J2基本關係式齒輪1和齒輪2的運動方程（1）以齒輪1的角速度為輸出，外部為輸入（1）（2）列寫元件微分方程的步驟：（1）確定元件的輸入量、輸出量（2）由物理或化學規律，列寫微分方程；（3）消去中間變數，得到輸入、輸出之間關係的微分方程（1）以齒輪2的角速度

為輸出，外部為輸入控制系統微分方程的建立基本步驟：（1）由系統原理圖畫出系統方框圖或直接確定系統中各個基本部件（元件）（2）列寫各方框圖的輸入輸出之間的微分方程，要注意前後連接的兩個元件中，後級元件對前級元件的負載效應（3）消去中間變數速度控制系統的微分方程-k2SM負載-k1TG系統輸出

系統輸入參考量控制系統的主要部件（元件）：給定電位器、運放1、運放2、功率放大器、直流電動機、減速器、測速發電機運放1運放2功放直流電動機減速器（齒輪系）測速發電機消去中間變數控制系統數學模型（微分方程），令以下的參數為*比較R-L-C電路運動方程與M-S-D機械系統運動方程相似系統：揭示了不同物理現象之間的相似關係線性系統的性質：具有可疊加性、均勻性（齊次性）線性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解自由解+強迫解（零輸入回應+零狀態回應）變換域求解法：Laplace變換方法

非線性元件微分方程的線性化實際的物理元件都存在一定的非線性，例如彈簧係數是位移的函數電阻、電容、電感與工作環境、工作電流有關電動本身的摩擦、死區小偏差線性化法

設連續變化的非線性函數平衡狀態A為工作點在平衡狀態點運用臺勞級數展開為具有兩個引數的非線性函數的線性化增量線性方程2-2控制系統的複域數學模型複域數學模型傳遞函數傳遞函數是經典控制理論中最基本和最重要的概念頻率法、根軌跡法一、傳遞函數的定義與性質定義設線性定常系統由n階線性定常微分方程描述：在零初始條件下，由傳遞函數的定義得例1：試求：RLC串聯無源網路的傳遞函數例2

試求：電樞控制直流電動機的傳遞函數根據線性疊加原理，分別研究到和到的傳遞函數傳遞函數的性質（1）因果系統的傳遞函數是s的有理真分式函數，具有複變函數的性質。（2）傳遞函數取決於系統或元件的結構和參數，與輸入信號的形式無關。G(s)二、傳遞函數的零點與極點（3）傳遞函數與微分方程可相互轉換。（4）傳遞函數的Laplace反變換是系統的脈衝回應。z1z2稱為傳遞係數或根軌跡係數傳遞函數寫成因子連乘積的形式稱為傳遞係數或增益或放大係數傳遞函數的極點就是微分方程的特徵根，極點決定了系統自由運動的模態，而且在強迫運動中也會包含這些自由運動的模態。三、傳遞函數極點和零點對輸出的影響自由運動的模態輸入函數零狀態回應前兩項具有與輸入函數相同的模態後兩項由極點決定的自由運動模態，其係數與輸入函數有關傳遞函數的零點影響各模態在回應中所占的比重，例如輸入信號，零狀態回應分別為各個模態在兩個系統輸出回應中所占的比重不同，取決於零點相對於極點的距離。例如：z1z2四、典型元部件的傳遞函數電位器

一種線位移或角位移變換為電壓量的裝置單個線繞式圓環電位器（角位移型）空載時的傳遞函數由一對電位器組構成的誤差檢測器，空載時的傳遞函數當負載不能忽略時，必須考慮負載效應。考慮具有負載效應時的電位器輸入輸出關係E測速發電機

測量角速度並轉換為電壓量的裝置，一般有交流和直流兩種。*永磁式直流測速發電機：TG或不再具有線形關係,若很大,例如則有TG交流測速發電機

在定子上有兩個互相垂直放置的線圈激磁線圈：輸入頻率一定、電壓一定輸出線圈：產生與角速度成比例的交流電壓電樞控制直流伺服電動機：無源網路

用途：在控制系統中引入無源網路作為校正元件，用複阻抗方法可直接求出無源網路的傳遞函數

2-3控制系統的結構圖控制系統的結構圖：描述系統各元部件之間的信號傳遞關係的一種圖形化表示，特別對於複雜控制系統的信號傳遞過程給出了一種直觀的描述。系統結構圖的組成與繪製系統結構圖一般有四個基本單元組成：（1）信號線；（2）引出點（或測量點）；（3）比較點（或信號綜合點）表示對信號進行疊加；（4）方框（或環節）表示對信號進行變換，方框中寫入元部件或系統的傳遞函數。電壓測量裝置方框結構圖被測電壓：指示的測量電壓：電壓測量誤差：系統組成：比較電路、機械調製器、放大器兩相交流伺服電動機、指針機構比較電路：調製器：放大器：兩相伺服電動機：繩輪傳動機構：測量電位器：系統結構圖無源網路的方框結構圖結構圖的等效變換和簡化任何複雜的系統結構圖，各方框之間的基本連接方式只有串聯、並聯和回饋連接三種。方框結構圖的簡化是通過移動引出點、比較點，交換比較點，進行方框運算後，將串聯、並聯和回饋連接的方框合併。等效變換的原則：變換前後的變數之間關係保持不變（1）串聯等效（2）並聯（3）回饋閉環傳遞函數：前向通道傳遞函數：輸入端對應比較器輸出E(s)到輸出端輸出C(s)所有傳遞函數的乘積，記為G(s)

回饋通道傳遞函數：輸出C(s)到輸入端比較器的回饋信號B(s)之間的所有傳遞函數之乘積，記為H(s)開環傳遞函數：回饋引入點斷開時，輸入端對應比較器輸出E(s)到輸入端對應的比較器的回饋信號B(s)之間所有傳遞函數的乘積，記為GK(s),GK(s)=G(s)H(s)（4）比較點和引出點的移動移動前後保持信號的等效性

*結構圖等效變換的規則簡化系統結構圖，並求系統傳遞函數

簡化過程：（1）G3(s)和G4(s)之間的引出點後移，由G3(s)、G4(s)和H3(s)組成的內回饋回路計算等效傳遞函數：（2）將G2(s)、G34(s)和H2(s)*1/G4(s)組成的內回饋回路簡化，計算等效傳遞函數（3）將G1(s)、G23(s)和H1(s)組成的主回饋回路簡化，計算系統的傳遞函數例2-15試簡化圖示系統結構圖，並求系統傳遞函數。

例2-16試簡化圖示系統結構圖，並求系統傳遞函數。MASON增益公式從源點到阱點的傳遞函數（或總增益）從源點到阱點的前向通路總數從源點到阱點的第k條前向通路總增益流圖特徵式所有單獨回路之和兩、兩不接觸回路增益的乘積之和三、三不接觸回路增益的乘積之和流圖餘因數閉環系統的傳遞函數輸入信號作用下的閉環傳遞函數擾動作用下的閉環傳遞函數輸入和擾動共同作用式，系統輸出回應為閉環系統的誤差傳遞函數

，則有以為輸出量時的傳遞函數誤差傳遞函數若並且第3章線性系統的時域分析法◆本章主要內容與重點◆

典型回應的性能指標◆一階系統的時域分析◆二階系統的時域分析◆

控制系統的穩定性和代數判據◆穩態誤差的分析和計算本章主要內容

本章介紹了控制系統時域性能分析法的相關概念和原理。包括各種典型輸入信號的特徵、控制系統常用性能指標、一階、二階系統的暫態回應、脈衝回應函數及其應用、控制系統穩定性及穩定判據、系統穩態誤差等。本章重點

通過本章學習，應重點掌握典型輸入信號的定義與特徵、控制系統暫態和穩態性能指標的定義及計算方法、一階及二階系統暫態回應的分析方法、控制系統穩定性的基本概念及穩定判據的應用、控制系統的穩態誤差概念和誤差係數的求取等內容。３.1典型回應和性能指標一.典型初狀態二．典型外作用

1單位階躍1（t）圖3.1典型外作用

1t>=0

0t<0

2.單位斜度t*1(t)

t*1(t)=

tt>=00t<00t≠0 3.單位理想脈衝

4正弦asinωt

且∞t=0δ（t）=L[δ(t)]=1]

三典型時間回應1.

單位階躍回應Φ（s）*R(s)=Φ(s)*1/sh(t)=L-1[Φ(s)*1/s]2.

單位斜坡回應Ct(s)=Φ（s）*R(s)=Φ(s)*1/s²Ct(t)=L-1[Φ(s)*1/s2]3.

單位脈衝回應K(s)=Φ（s）*R(s)=Φ（s）*1=Φ（s）K(t)=L-1[Φ(s)]四．階躍回應的性能指標圖3.2單位階躍回應曲線及性能指標１、峰值時間tp

指輸出回應超過穩態值而達到第一個峰值所需時間。２、超調量σ%

指暫態過程中輸出回應的最大值超過穩態值的百分數。３、調節時間ts

指當c（t）和c（∞）之間誤差達到規定允許值（一般取c（∞）的±５％，有時取±２％）並且以後不再超過此值所需的最小時間。４、穩態誤差еss

對單位負回饋系統，當時間t趨於無窮大時，系統的單位階躍回應的實際值（即穩態值）與期望值（即輸入量１（t））之差，定義為穩態誤差，即

еss=1-с(∞)3-2一階系統分析1.

數學模型圖3.3一階系統典型結構Φ（s）=C(s)/R(s)=1/(Ts+1)一階系統微分方程一．

單位階躍回應

圖3.4一階系統單位階躍回應曲線回應曲線的初始斜率

σ%=0ts=3T(對應5%誤差帶)ts=4T(對應2%誤差帶)ess=1-h(∞)=1-1=0性能指標三解：

1.

ts=3T=3*0.1=0.3秒2.

例3.1一階系統如圖所示，試求系統單位階躍回應的調節時間ts.如果要求ta=0.1秒，試問系統的回饋系統應調整為何值？T=0.01/KH

ts=3T=0.03/KH0.1=0.03/KHKH=0.3圖3.5系統結構圖-例3.2試證一階回應曲線的次割距相等，且等於T。

tB-tA=T圖3.6一階系統回應的次割距證：3-3二階系統分析1.

數學模型

1.

單位階段回應h(t)的一般式C1=ωn2/(s1-s2)s1;C1=ωn2/(s2-s1)s2圖３.７二階系統動態結構

則單位階躍回應一般式-二階系統的回應特點和特徵根的性質ξ>1稱過阻尼，由上知，s1

，s2為兩個不等的負實根。ξ=1稱臨界阻尼，s1

，s2為一對相等的負實根-ωn0<ξ<1稱為欠阻尼，特徵根將為一對實數部為負的共軛複數。ξ=0稱0阻尼，s1

，s2由上可看出為一對虛實部的特徵根ξ<0則稱負阻，系統將出現正實部的特徵根。1.

過阻尼二階系統的單位階躍回應圖3.8過阻尼二階系統h(t)曲線ξ>=0.75%誤差帶四臨界阻尼二階系統的單位階躍回應s1,2=-ωn欠阻尼二階系統的動態性能分析在圖中稱為阻尼角無零點欠阻尼二階系統的動態性能指標計算公式（1）延遲時間的計算在繪製出

ntd和之間的關係曲線，利用曲線擬合方法，當阻尼比在欠阻尼時或（2）上升時間的計算（3）峰值時間的計算（4）超調量的計算根據超調量的定義，並考慮到P.83圖3-13給出了欠阻尼二階系統阻尼比與超調量之間的關係。（5）調節時間的計算為了簡化調節時間的計算，一般用包絡線來代替實際回應估算調節時間。在，誤差帶時，可用以下近似估算公式：也可以用以下公式估算：二階系統單位階躍回應的性能指標歸納如下：或實際上，上述各項性能指標之間的存在矛盾，例如上升時間（回應速度）和超調量（阻尼程度或相對穩定性）過阻尼二階系統的動態過程分析

過阻尼系統回應緩慢，對於一般要求時間回應快的系統過阻尼回應是不希望的。但在有些應用場合則需要過阻尼回應特性：例如（1）大慣性的溫度控制系統、壓力控制系統等。（2）指示儀錶、記錄儀錶系統，既要無超調、時間回應盡可能快。另外，有些高階系統可用過阻尼二階系統近似。過阻尼動態性能指標：延遲時間、上升時間、調節時間因為求上述指標，要解一個超越方程，只能用數值方法求解。利用曲線逆合法給出近似公式（1）延遲時間計算（2）上升時間計算p.86圖3-16（3）調節時間計算p.86圖3-17例：角度隨動系統如圖所示，設K為開環增益，T=0.1(s)為伺服電動機的時間常數。若要求：單位階躍回應無超調，而且，求K的取值、系統的延遲時間和上升時間解：因為考慮系統儘量快的無超調回應，則可選阻尼比為臨界阻尼二階系統的單位斜坡回應（1）欠阻尼單位斜坡回應（2）臨界阻尼單位斜坡回應（3）過阻尼單位斜坡回應P.89例3-3（1）改變開環增益就相當於改變了系統阻尼比，單位階躍回應的超調量和單位斜坡回應穩態誤差對阻尼比的要求正好相反，難以折衷；（2）若能選擇某個開環增益，滿足穩態與動態要求，但難以滿足擾動作用下的穩態誤差要求；（3）在有些系統不能降低系統的開環增益來換取較小的超調量。二階系統性能的改善改善二階系統性能的兩種方法：比例-微分控制測速回饋控制（1）比例-微分控制1以角度隨動系統為例(a)比例控制[0，t1)系統阻尼小，修正轉矩過大；輸出超調[t1,t3)轉矩反向，起制動作用，但慣性與制動轉矩不夠大，仍超調[t3,t5)誤差又為正，修正轉矩又為正，力圖使輸出趨勢減小……(b)控制措施：附加誤差的微分量

[0，t2)內減小正向修正轉矩，增大反向制動轉矩；[t2,t4)內減小反向制動轉矩，增大正向修正轉矩理論分析：比例-微分控制對系統性能的影響有零點二階系統比例-微分控制不改變系統的自然頻率，但增大了系統的阻尼比。適當選擇開環增益和微分時間常數，既可減小系統斜坡輸入時的穩態誤差，又可使系統具有滿意的階躍回應性能。P.92給出了：（1）求上升時間的關係曲線；（2）峰值時間；（3）超調量；（4）調節時間

結論：（1）微分控制可增大系統阻尼，減小階躍回應的超調量，縮短調節時間；（2）允許選取較高的開環增益，減小穩態誤差；（3）微分對於雜訊（高頻雜訊）有放大作用，在輸入端雜訊較強時，不用比例-微分控制。（2）測速回饋控制開環增益結論：（1）測速回饋可以增加阻尼比，但不影響系統的自然頻率；（2）測速回饋不增加系統的零點，對系統性能改善的程度與比例-微分控制是不一樣的；（3）測速回饋會降低系統原來的開環增益，通過增益補償，可不影響原系統的穩態誤差。P.94例3-5給出無測速回饋和有測速回饋控制的性能指標P.95給出比例-微分控制與測速回饋控制的各自的優缺點3-4控制系統的穩定性和代數判據一.穩定性的定義

如小球平衡位置b點,受外界擾動作用,從b點到點，外力作用去掉後,小球圍繞b點作幾次反復振盪,最後又回到b點,這時小球的運動是穩定的。

如小球的位置在a或c點,在微小擾動下,一旦偏離平衡位置,則無論怎樣,小球再也回不到原來位置,則是不穩定的。定義:若系統在初始偏差作用下,其過渡過程隨時間的推移,逐漸衰減並趨於零,具有恢復平衡狀態的性能,則稱該系統為漸近穩定,簡稱穩定。反之為不穩定。我們把擾動消失時,系統與平衡位置的偏差看作是系統的初始偏差。線性系統的穩定性只取決於系統本身的結構參數,而與外作用及初始條件無關,是系統的固有特性。二.穩定的充要條件設系統的閉環傳遞函數為:

由於系統的初始條件為零,當輸入一個理想的單位脈衝δ(t)時,則系統的輸出便是單位脈衝過渡函數k(t),如果,則系統穩定。若是線性系統特徵方程的根,且互不相等,則上式可分解為

式中則通過拉式變換,求出系統的單位脈衝過渡函數為欲滿足,則必須各個分量都趨於零。式中為常數,即只有當系統的全部特徵根都具有負實部才滿足。

穩定的充要條件是:系統特徵方程的全部根都具有負實部,或者閉環傳遞函數的全部極點均在s平面的虛軸之左。特徵方程有重根時,上述充要條件完全適用。三.勞思穩定判據不必求解特徵方程的根,而是直接根據特徵方程的係數,判斷系統的穩定性,回避求解高次方程的困難。

1.系統穩定的必要條件:特徵方程中所有項的係數均大於0.只要有一項等於或小於0,則為不穩定系統。充分條件:Routh表第一列元素均大於0。2.Routh表的列寫方法特徵方程為則Routh表為(在下頁中)

則系統穩定的充要條件:勞思表中第一列元素全部大於0。若出現小於0的元素,則系統不穩定。且第一列元素符號改變的次數等於系統正實部根的個數。例:

則系統不穩定,且有兩個正實部根。（即有2個根在S的右半平面。一次方程:a1,a0同號則系統穩定。二次方程:a1,a2,a0同號則系統穩定。三次方程:a0,a1,a2,a3均大於0,且a1a2>a3a0,則系統穩定。3勞思判據應用（1）勞思表不但可判斷系統的穩定性，而且可以選擇使系統穩定的調節器參數的數值(分析參數對穩定性的影響)。（2）利用勞思表能判斷特徵根的位置分佈情況。例1試分析系統結構參數對穩定性的影響,系統的閉環傳遞函數為式中，Kk為系統的開環放大係數。解：系統特徵方程為

列勞斯表，整理得假設T1=T2=T3，則使系統穩定的臨界放大係數Kk為=8。如果取T2=T3，T1=10T2，則使系統穩定的臨界放大係數變為Kk=24.2。由此可見，將各時間常數的數值錯開，可以允許較大的開環放大係數。

例2:結構圖如圖所示,試分析τ取何值能保證系統穩定.解:求系統特徵方程建立勞思表:

根據勞思判據,要保證系統穩定,勞思表第一列的係數應大於0.例3:系統結構如下圖所示,求能保證系統穩定的局部回饋係數kf的數值。系統結構圖方法1:

特徵方程:

即:根據勞思判據……kf>0

另一種方法:

系統特徵方程:根據勞思判據……

kf>0例4確定系統穩定的K、T值。解:系統的特徵方程為列出勞斯表要使系統穩定，第一列元素的符號均應大於零。由此得則穩定條件為：

,0<K<

例5：設系統特徵方程為，試判別系統的穩定性，並分析有幾個根位於垂線與虛軸之間。解：列出勞斯表。勞斯表第一列無符號變化，所以系統穩定。令代入原特徵方程，得到如下特徵方程：勞斯表中第一列元素符號變化一次，所以有一個特徵方程根在垂線右邊。

例6:已知系統的特徵為:

試判斷使系統穩定的k值範圍,如果要求特徵值均位於s=-1垂線之左。問k值應如何調整?解:特徵方程化為:

列勞思表:

所以使系統穩定的k值範圍是若要求全部特徵根在s=-1之左,則虛軸向左平移一個單位，令s=s1-1代入原特徵方程,得:

整理得:列勞思表:第一列元素均大於0,則得:4.兩種特殊情況情況1:勞思表中某一行的第一個元素為0,其他各元素不全為0,這時可以用任意小的正數ε代替某一行第一個為0的元素。然後繼續勞思表計算並判斷。例:

當ε很小時,

則系統不穩定，並有兩個正實部根。情況2:勞思表中第k行元素全為0,這說明系統的特徵根或存在兩個符號相異,絕對值相同的實根,或存在一對共軛純虛根,或存在實部符號相異,虛部數值相同的共軛複根，或上述類型的根兼而有之。

此時系統必然是不穩定的。在這種情況下,可作如下處理。

(1).用k-1行元素構成輔助方程.(2).將輔助方程為s求導,其係數作為全零行的元素,繼續完成勞思表。例:系統的特徵方程為：列勞思表:列輔助方程第一列符號改變一次,有一個正實部根,系統不穩定。解輔助方程得：解得符號相異，絕對值相同的兩個實根和一對純虛根可見其中有一個正實根。3-5穩態誤差的分析和計算

穩態性能是控制系統的又一重要特性,它表徵了系統跟蹤輸入信號的準確度或抑制擾動信號的能力。而穩態誤差的大小,是衡量系統性能的重要指標。一.誤差和穩態誤差

1.定義:e(t)為系統誤差,Cr(t)為希望輸出,c(t)為實際輸出。穩態誤差:

系統的靜態誤差與系統的結構有關,還與輸入信號的大小及形式有關。而系統的穩定性的只取決於系統的結構。2.穩態誤差的計算(1).拉氏變換的終值定理當輸入信號為時,可用終值定理計算靜態誤差,諧波(正弦,余弦)輸入時不能應用此定理。(2).根據誤差定義求穩態誤差的方法

a.求誤差回應傳遞函數b.誤差回應的象函數c.誤差回應的原函數d.求極值即為穩態誤差。如系統同時存在輸入信號和擾動信號,則系統誤差的求法如下：R(s)N(s)E(s)++

為系統對輸入信號的誤差傳遞函數,

為系統對擾動信號的誤差傳遞函數。則:

例:已知系統的結構圖如下,試求系統在輸入信號r(t)=t和擾動信號n(t)=-1(t)同時作用下系統的穩態誤差ess解:理想情況偏差信號E(S)＝0，則系統在輸入信號作用下的希望輸出為：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)

對於擾動信號N(s)而言,理想的情況就是擾動信號引起的輸出為0,即希望系統的輸出一點都不受擾動的影響。系統在輸入信號和擾動信號作用下的實際輸出為:G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)則R(s)和N(s)引起的系統誤差為:

在本題中,首先要判斷系統的穩定性,如果系統不穩定,不可能存在穩態誤差。特徵方程為:即:所以系統穩定。根據推導出的公式:

系統的誤差與系統的結構有關,還與外作用(輸入信號,擾動)的大小及形式有關。二.輸入信號作用下系統穩態誤差的分析只有輸入信號作用時,系統的誤差為:

假設系統為單位回饋,則

開環傳遞函數

當γ=0,1,2分別稱為0型系統,Ⅰ型系統,Ⅱ型系統(一般γ不大於2)

則

將kp,kv,ka定義為穩態誤差係數。階躍輸入下用kp表示為位置誤差係數。速度輸入下用kv表示為速度誤差係數。加速度輸入下用ka表示為加速度誤差係數。系統靜態誤差係數穩態誤差型別0型Ⅰ型Ⅱ型前提:單位回饋H(s)=1

提高系統的型別,增大系統的開環增益,都會提高系統的精度,但這樣又會降低穩定性,必須綜合考慮。例:某控制系統的結構圖為試分別求出H(s)=1和H(s)=0.5時系統的穩態誤差。-解:當H(s)=1時,系統的開環傳遞函數為則系統穩態誤差當H(s)=0.5時,

若上列在H(s)=1時,系統的允許誤差為0.2,問開環增益k應等於多少?

當時,上例的穩態誤差又是多少?

因為0型系統在速度輸入和加速度輸入下的穩態誤差為無窮大,根據疊加原理,ess=∞三.擾動作用下系統穩態誤差的分析理想情況下,系統對於任意形式的擾動作用,其穩態誤差應當為0,但實際上這是不可能的。如果輸入信號R(s)=0,僅有擾動N(s)作用時,系統誤差為:

擾動作用下的穩態誤差,實質上就是擾動引起的穩態輸出的負值,它與開環傳遞函數

G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及擾動信號N(s)有關,還與擾動作用點的位置有關。r(t)=0-C(t)(a)r(t)=0-C(t)(b)

作用點不同,穩態誤差也不同。在擾動作用點之前的前向通路中增加一個積分環節用（比例積分調節器）代替r(t)=0-C(t)(b)

提高擾動作用點前的積分環節個數和增益,可以減小或消除擾動引起的穩態誤差,但同樣會降低系統的穩定性。

綜上所述,為了減小輸入信號引起的穩態誤差，可以提高開環傳遞函數的積分環節個數和增益。

為了減小擾動作用引起的穩態誤差，可以提高擾動作用點之前傳遞函數中積分環節的個數和增益。而這樣都會降低系統的穩定性，而提高開環增益還會使系統動態性能變差，有些控制系統既要求有較高的穩態精度，又要求有良好的動態性能，利用上述方法難以兼顧。為此我們用下列方法減小和消除穩態誤差。四.減小和消除穩態誤差的方法

1.按干擾補償.

如果加於系統的干擾是能測量的,同時干擾對系統的影響是明確的,則可按干擾補償的辦法辦法提高穩態精度。G2(s)Gn(s)G1(s)C(s)R(s)E(s)N(s)-+在擾動作用下的輸出為:完全消除擾動對系統輸出的影響。增加補償裝置，使系統的穩態輸出不受擾動的影響，也就是系統在擾動作用下的穩態誤差為0。例:系統輸出:-R(s)=0N(s)C(s)補償裝置放大器濾波器

若選則系統的輸出不受擾動的影響,但不容易物理實現。因為一般物理系統的傳遞函數都是分母的階次高於或等於分子的階次。如果選則在穩態情況下,這就是穩態全補償,實現很方便。2.按給定輸入補償.如果要求對誤差實行全補償R(s)G1(s)G2(s)Gr(s)-C(s)補償裝置

同樣,全補償也難以實現,通常採用穩態補償的方法來減小或消除系統在輸入信號作用下的穩態誤差。不引入補償裝置，則系統開環傳遞函數為Ⅰ型系統,所以在速度輸入信號作用下,存在常值穩態誤差引入按輸入補償的作用Gr(s),則如果選則但在物理上難以實現。如果取,則這樣即實現穩態補償。第四章線性系統的根軌跡法●本章主要內容與重點●根軌跡方程●根軌跡繪製的基本法則●廣義根軌跡

本章闡述了控制系統的根軌跡分析方法。包括根軌跡的基本概念、繪製系統根軌跡的基本條件和基本規則,參量根軌跡和零度根軌跡的概念和繪製方法，以及利用根軌跡如何分析計算控制系統的性能（穩定性、暫態特性和穩態性能指標等）。本章重點本章主要內容

學習本章內容,應重點掌握根軌跡的基本概念、繪製根軌跡的條件、系統根軌跡的繪製規則和利用根軌跡分析系統的穩定性、暫態特性和穩態性能,參量根軌跡的概念和繪製方法,理解零度根軌跡的基本概念和繪製方法。4-1根軌跡方程特徵方程的根運動模態系統動態回應（穩定性、系統性能）根軌跡開環系統（傳遞函數）的每一個參數從零變化到無窮大時，閉環系統特徵方程根在s平面上的軌跡稱為根軌跡。若閉環系統不存在零點與極點相消，閉環特徵方程的根與閉環傳遞函數的極點是一一對應的。例二階系統的根軌跡開環增益K從零變到無窮，可以用解析方法求出閉環極點的全部數值。根軌跡與系統性能穩定性考察根軌跡是否進入右半s平面。穩態性能開環傳遞函數在座標原點有一個極點，系統為1型系統，根軌跡上的K值就是靜態誤差係數。但是由開環傳遞函數繪製根軌跡，K是根軌跡增益，根軌跡增益與開環增益之間有一個轉換關係。動態性能由K值變化所對應的閉環極點分佈來估計。對於高階系統，不能用特徵方程求根的解析方法得到根軌跡。根軌跡法圖解法求根軌跡。從開環傳遞函數著手，通過圖解法來求閉環系統根軌跡。閉環零、極點與開環零、極點之間的關係設控制系統如圖所示和

：前向通路增益：前向通道根軌跡增益：回饋通道根軌跡增益結論：（1）閉環系統的根軌跡增益=開環前向通道系統根軌跡增益。（2）閉環系統的零點開環前向通道傳遞函數的零點和回饋通道傳遞函數的極點所組成。（3）閉環極點與開環零點、開環極點、根軌跡增益均有關。根軌跡法的任務：由已知的開環零極點和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環極點。根軌跡方程由閉環傳遞函數當求出相應的根，就可以在s平面上繪製出根軌跡。根軌跡方程根軌跡方程可以進一步表示為相角條件（幅角條件）：（充分必要條件）模值條件（幅值條件）：4-2根軌跡繪製的基本法則可變參數為根軌跡增益相角條件：180o相軌跡規則1：根軌跡的起點和終點：根軌跡起始於開環極點，終止於開環零點。簡要證明：又從在實際系統通常是，則還有條根軌跡終止於s平面的無窮遠處，這意味著在無窮遠處有個無限遠（無窮）零點。有兩個無窮遠處的終點有一個無窮遠處的起點規則2：根軌跡的分支數和對稱性根軌跡的分支數與開環極點數n相等（n>m）或與開環有限零點數m相等（n<m)根軌跡連續：根軌跡增益是連續變化導致特徵根也連續變化。實軸對稱：特徵方程的係數為實數，特徵根必為實數或共軛複數。規則3：根軌跡漸近線當n>m時，則有（n-m)條根軌跡分支終止於無限零點。這些根軌跡分支趨向無窮遠的漸近線由與實軸的夾角和交點來確定。與實軸夾角與實軸交點例1設單位回饋系統的前向傳遞函數為（2）有4條根軌跡的分支，對稱於實軸（1）（3）有n-m=4-1=3條根軌跡漸近線與實軸夾角與實軸交點圖示P.1354-6規則4：實軸上的根軌跡若實軸的某一個區域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環實數零點數+開環實數極點數）為奇數。這個結論可以用相角條件證明。由相角條件圖示證明：P.136圖4-7規則5：根軌跡分離點兩條或兩條以上的根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點稱為分離點（會合點）。分離點（會合點）的座標d由下列方程所決定：或注：（1）根軌跡出現分離點說明對應是特徵根出現了重根。（2）若實軸上的根軌跡的左右兩側均為開環零點（包括無限零點）或開環極點（包括無限極點），則在此段根軌跡上必有分離點。（3）分離點若在複平面上，則一定是成對出現的。例2繪製圖示系統大致的根軌跡解（1）開環零點開環極點根軌跡分支數為3條，有兩個無窮遠的零點。（2）實軸上根軌跡（3）趨向無窮遠處的漸近線的夾角與交點（4）分離點（用試探法求解）例3：設單位回饋系統的傳遞函數為試繪製系統的根軌跡。解（1）一個開環零點，兩個開環極點；兩條根軌跡分支；有一個無窮遠處的零點。（2）漸近線與實軸重合的，實軸上根軌跡（-

，-2]。（3）分離點（4）由相角條件可以證明複平面上的根軌跡是圓的一部分，圓心為（-2，j0)，半徑為規則6：根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）起始角（出射角）：根軌跡離開複平面上開環極點處的切線與實軸的夾角。終止角（入射角）：根軌跡進入複平面上開環零點處的切線與實軸的夾角。例4規則7：根軌跡與虛軸的交點交點對應的根軌跡增益和角頻率可以用勞斯判據或閉環特徵方程（）確定。例5設系統開環傳遞函數試繪製系統大致的根軌跡。解（1）無開環零點，開環極點在實軸上根軌跡[-3，0]。（2）有4條分支趨向無窮遠處。漸近線的夾角與交點（3）分離點（4）起始角（出射角）（5）與虛軸的交點運用勞斯判據由第一列、第三行元素為零由輔助方程規則8：閉環極點之和、閉環極點之積與根軌跡分支的走向若開環傳遞函數的積分環節個數結論：（1）若n-m2閉環極點之和=開環極點之和=常數表明：在某些根軌跡分支（閉環極點）向左移動，而另一些根軌跡分支（閉環極點）必須向右移動，才能維持閉環極點之和為常數。（2）對於1型以上（包括1型）的系統，閉環極點之積與開環增益值成正比。閉環極點的確定對於特定的K*值下的閉環極點，可以借助根軌跡圖用模值條件確定。根據K*值，通常用試探法先確定在實軸上的閉環極點，然後確定其他的閉環極點。例6確定K*=4的閉環極點。因為已知分離點於是可知K*=4對應的閉環極點在分離點兩側。經過若干次試探，找出滿足模值條件的兩個閉環極點另外兩個根可以從特徵方程求出P.144圖4-15給出了一些不同開環零極點分佈時，其根軌跡大致走向。4-3廣義根軌跡廣義根軌跡是指根軌跡參數除了開環增益之外的所有根軌跡。參數根軌跡，開環零點個數大於開環極點個數的根軌跡，具有正回饋內環的零度根軌跡等。參數根軌跡

以非開環增益為可變參數繪製的根軌跡引入等效開環傳遞函數的概念等效開環傳遞函數注意：在此的等效意義是在特徵方程相同，或者是閉環極點相同的前提下成立；而此時閉環零點是不同的。例1：設單位回饋系統的開環傳遞函數為其中開環增益可自行選定。試分析時間常數對系統性能的影響。解：閉環特徵方程要繪製參數根軌跡，首先要求出等效開環傳遞函數的極點等效開環極點注：若分母多項式為高次時，無法解析求解等效開環極點，則運用根軌跡法求解。如本例，求解分母特徵根的根軌跡方程為：在本例中，K可自行選定，選定不同K值，然後將G1(s)的零、極點畫在s平面上，在令繪製出變化時的參數根軌跡。附加開環零點的作用1.附加適當的開環零點可以改善系統的穩定性。設開環傳遞函數為

附加的開環實數零點，其值可在s左半平面內任意選擇，當時，表明不存在有限零點。令為不同的數值，對應的根軌跡見P.150圖4-25所示：（a）無開環零點；（b）；（c）（d）2.附加開環零點的目的，除了改善系統穩定性之外，還可以改善系統的動態性能。結論：只有當附加零點相對原有系統開環極點的位置選配適當，才有可能使系統的穩定性和動態性能同時得到明顯的改善。零度根軌跡在非最小相位系統，此時相角條件為在一些複雜系統中，包含了正回饋內回路，有時為了分析內回路的特性，則有必要繪製相應的根軌跡，其相角條件為具有這類相角條件的相軌跡稱為：零度根軌跡零度根軌跡的繪製以具有正回饋內回路的的系統為例。具有正回饋內回路系統如圖所示，外回路是採用負回饋加以穩定，為了分析整個系統的性能，通常首先要確定內回路的零、極點，這就相當於繪製具有正回饋系統的根軌跡。等效為相角方程（幅角條件）和模方程（模值條件）與常規根軌跡的相角條件和模值條件相比：模值條件沒有變化。所以零度根軌跡的繪製的規則只要考慮相角條件所引起的某些規則的修改。規則3：漸近線的夾角與實軸夾角與實軸交點規則4：實軸上的根軌跡若實軸的某一個區域是一部分根軌跡，則必有：其右邊（開環實數零點數+開環實數極點數）為偶數。這個結論可以用相角條件證明。規則6：根軌跡的起始角（出射角）和終止角（入射角）起始角（出射角）：終止角（入射角）：P.152表4-3列出了零度根軌跡繪製法則例3設具有正回饋回路系統的內回路傳遞函數分別為試繪製該回路的根軌跡圖。（1）系統的開環零極點分佈為有三條根軌跡分支，實軸上的根軌跡（-

，-3]，[-2，）。（2）根軌跡的漸近線（n-m)=2條，漸近線夾角（3）確定出射角（4）確定分離點（5）確定臨界開環增益，顯然根軌跡過座標原點，座標原點對應的開環增益為例3設飛機的縱向運動時的開環傳遞函數為試繪製飛機縱向運動的根軌跡圖。（1）開環傳遞函數中具有右半s平面的零點，開環系統為非最小相位系統。（2）開環系統傳遞函數具有負號，相當於是具有正回饋性質。令

第五章線性系統的頻域分析本章主要內容與重點頻率特性的基本概念極座標圖對數座標圖奈奎斯特穩定判據穩定裕度閉環系統頻率特性系統時域指標估算本章主要內容本章介紹了控制系統頻率分析法的相關概念和原理。包括頻率特性的基本概念和定義、開環頻率特性的極座標圖表示法、波特圖表示法、控制系統穩定性的頻率特性分析法及其應用、控制系統閉環頻率特性、閉環頻率特性與時域性能的關係等。本章重點通過本章學習，應重點掌握頻率特性的概念與性質、典型環節及系統開環頻率特性的極座標圖和波特圖的繪製和分析方法、控制系統穩定性的頻域分析法、系統穩定裕度的概念和求法、閉環頻率特性的求法、閉環系統性能指標的頻域分析法等。2、開環幅相曲線繪製開環幅相曲線繪製方法：（1）由開環零點-極點分佈圖，用圖解計算法繪製；（2）由開環幅頻特性和相頻特性運算式，用計算法繪製。（3）由開環頻率特性的實部和虛部運算式，用計算法繪製。概略地繪製幅相曲線的方法例1設RC超前網路，其傳遞函數試繪製其幅相特性。例2某零型回饋控制系統，系統開環傳遞函數試概略繪製系統的開環幅相曲線。與虛軸的交點：由於含有兩個慣性環節，當由此可見，若包含n個慣性環節，則有由此可見，若包含n個慣性環節，m個一階微分環節，則有當開環傳遞函數包含有微分環節時，幅相曲線會出現凹凸，幅值和相位不再是單調變化的。例如開環傳遞函數含有積分環節時的開環幅相曲線例3設某單位回饋系統的開環傳遞函數為假設，試概略繪製開環幅相曲線，並進行分析。起點與終點：幅相曲線的漸近線是橫坐標為，平行與虛軸的直線令2型系統包含兩個積分環節，例如起點與終點：當包含一階微分環節，這時的幅相曲線也可能出現凹凸，例如起點與終點：若T1大於其他時間常數，幅相曲線如圖所示，與實軸、虛軸的交點可以用對應的實部、虛部運算式求出。基本規律：設（1）（2）（3）幅相曲線與實軸、虛軸的交點求取。（4）不包含一階微分環節，包含一階微分環節的幅相曲線。0型3型2型1型3、開環對數頻率特性曲線的繪製設傳遞函數由n個典型環節串聯組成，n個典型積分環節分別以表示，則有對數幅頻曲線和對數相頻曲線是由n個典型環節對應曲線的疊加後得到的。例1設單位回饋系統，其開環傳遞函數試繪製近似對數幅頻曲線和對數相頻曲線，並修正近似對數幅頻曲線。解：典型環節分別為繪製典型環節Bode圖的數據：轉折頻率對數幅頻特性曲線分析：（1）低頻段斜率為-20db/dec，斜率由積分個數所決定。（2），曲線的分貝值為20logK,左端直線與零分貝線的交點頻率為K值。（3）在慣性環節交接頻率11.5(rad/sec)處，斜率從-20db/dec變為-40db/dec。16.9dB一般近似對數幅頻特性的特點：（1）最左端直線斜率為（2）的分貝值，最左端直線及其延長線的分貝值為20logK。（4）最左端直線（或其延長線）與零分貝線的交點頻率（3）在交接頻率處，曲線斜率發生改變，改變的多少取決於典型環節的類型。例2試繪製以下傳遞函數的對數幅頻曲線解：（1）（2）繪製最左端的直線：斜率-20dB/dec直線，在過17.5(dB)這一點的直線。或繪製過零分貝線的這一點的斜率為-20dB/dec的直線。（3）根據各環節的交接頻率繪製近似對數幅頻特性。（4）修正近似的對數幅頻特性。4、最小相位系統和非最小相位系統最小相位系統：系統穩定，而且在右半s平面沒有零點。否則就是非最小相位系統。舉例：對於最小相位系統：幅頻特性與相頻特性具有一一對應關係；而非最小相位系統就沒有這樣的關係。如已知最小相位系統的幅頻特性就可以直接寫出系統的傳遞函數。例3：已知最小相位系統的開環對數幅頻特性如圖所示，試確定系統開環傳遞函數。系統開環傳遞函數：不穩定環節（1）不穩定慣性環節（2）不穩定振盪環節不穩定慣性環節的頻率特性num1=1;den1=[0.51];bode(num1,den1)num2=1;den2=[0.5-1];bode(num2,den2)不穩定振盪環節和振盪環節的幅相曲線和對數頻率特性不穩定一階微分環節和一階微分環節的幅相曲線和對數頻率特性num=1;den=[1/4-1/21];bode(num,den)不穩定的二階微分環節和二階微分環節的幅相曲線、對數頻率特性曲線num=[1/4-1/21];den=1;bode(num,den)延遲環節幅相曲線：複平面上單位圓，圓心在原點，半徑為1。對數頻率特性：延遲環節是非最小相位系統。例1繪製以下具有延遲環節的開環傳遞函數的頻率特性幅相特性和對數頻率特性5-4奈奎斯特穩定判據頻域穩定判據：奈奎斯特穩定判據和對數穩定判據頻域穩定判據的特點：開環頻率特性曲線判斷閉環系統穩定性研究系統參數和結構改變對穩定性的影響研究包含延遲環節系統的穩定性奈氏判據可推廣到某些非線性系統的穩定性1、奈奎斯特穩定判據設系統的前向通道傳遞函數G(s)、回饋通道的傳遞函數H(s)分別為若G(s)和H(s)沒有零點與極點相消，則有設輔助函數注意：*（1）輔助函數的零點是閉環傳遞函數的極點輔助函數的極點是開環傳遞函數的極點（2）輔助函數的零、極點個數相同（3）F(s)與G(s)H(s)在複平面上的幾何關係幅角原理

從s平面上任一點s，通過F(s)的影射關係，在F(s)平面上的找到相應的象。設：在s平面上選擇一個A點開始，作一條順時針包圍某個零點的圍線，其不包圍也不通過其他極點和零點。在F(s)平面上，F(s)是對應於從B點出發又回到B的圍線。設分別是向量沿著圍線順時針繞行一周的相角變化量。考察s沿著圍線F(s)的相位變化量為結論：這表明：F(s)曲線從B開始，繞原點順時針方向轉了一圈。若在s平面的順時針圍線內，包圍的是某個極點，在F(s)平面上，F(s)曲線繞原點逆時針方向轉了一圈。即幅角原理：如果在圍線內有Z個零點、P個極點，則s沿著順時針轉一圈時，在F(s)平面上，F(s)曲線繞原點逆時針轉過的圈數為

R=P-Z當R為負，表明是順時針包圍的圈數。奈奎斯特穩定判據在s平面上的圍線擴展到整個右半s平面（包括虛軸），這時R=P-ZP：輔助函數F(s)在右半s平面的極點數Z：輔助函數F(s)在右半s平面的零點數，即閉環的極點數注意到輔助函數與開環傳遞函數之間的關係：

F(s)=1+G(s)H(s)G(s)H(s)=F(s)-1F(s)圍繞（0，j0)的圈數G(s)H(s)圍繞（-1，j0）的圈數。又由輔助函數的定義：F(s)的分子多項式就是閉環系統的特徵方程。結論：閉環系統穩定的充要條件是Z=0，則有R=P即：G(s)H(s)逆時針包圍（-1，j0）點的次數=右半s平面開環極點數。當特徵方程有純虛根，閉環系統臨界穩定，G(s)H(s)曲線（奈奎斯特曲線）過（-1，j0）點，此時圈數R是不定的。奈奎斯特判據：回饋控制系統穩定的充分必要條件是：奈奎斯特曲線反時針包圍（-1，j0）點的圈數R等於開環傳遞函數在右半s平面的極點數P，即R=P。（1）若P=0，系統開環穩定，閉環系統穩定的充要條件：奈氏曲線不包圍（-1，j0)點。（2）若

，則系統閉環不穩定，在右半s平面上閉環特徵根的個數Z=P-R。例1設單位回饋系統的試用奈氏判據判定閉環系統的穩定性。解：（1）繪製的曲線。系統是閉環穩定的。（2）用奈氏判據判定閉環系統的穩定性例2具有單位回饋的非最小相位系統試分析閉環系統的穩定性。解：（1）繪製奈氏曲線（2）若R=P=1，則系統閉環穩定。這就要求K>1；當K=1系統是臨界穩定。2、開環系統（傳遞函數）臨界穩定時，奈氏圍線的修改開環傳遞函數G(s)H(s)在虛軸上有極點（開環極點），則就是輔助函數F(s)=1+G(s)H(s)的奇點，而奈氏圍線不允許通過奇點，為此需對奈氏圍線進行修改，如圖所示。例1已知系統開環傳遞函數修改後奈氏圍線的映射有一個開環極點s=0，作無窮小半徑的圍線。

在圍線上S在無窮小半圓上逆時針轉過半圈，映射到G(s）平面上則為一條順時針繞行半圈的圓弧曲線，半徑為無窮大對於型系統，在G(s)平面上，半徑為無窮大，順時針方向繞行個半圈的圓弧曲線。3、判斷穩定性的實用方法繪製的奈氏曲線，按奈氏曲線包圍臨界點圈數N和開環傳遞函數在右半s平面的極點數P，確定閉環特徵方程正實部根的個數。若Z=0，則系統閉環穩定，否則閉環不穩定。對於型系統的奈氏曲線：補畫一條半徑為無窮大，逆時針方向繞行的圓弧，這樣可得完整的部分奈氏曲線。例2設單位回饋系統，其開環傳遞函數試用奈氏判據判斷系統穩定性。解：開環幅相大致曲線如圖所示曲線順時針包圍（-1，j0）點一圈，N=-1。P=0，Z=P-2N=2。閉環系統不穩定。用在區間，奈氏曲線的正、負穿越的次數來確定N4、對數頻率穩定判據對數頻率穩定判據的依據是和奈氏穩定判據的依據是一樣的，關鍵是在對數頻率特性圖（對數幅頻圖和對數相頻圖）上如何確定N。考察以下開環幅相曲線與Bode圖的對應情況：當開環傳遞函數包括積分環節時，在對數相頻特性上要補畫這一段頻率變化範圍的相角變化曲線。

例如系統閉環不穩定。

對數頻率穩定判據：已知開環系統在右半s平面的極點數P，開環對數幅頻特性為正值的所有頻率範圍內，對數相頻曲線對-180o線的正、負穿越之差，然後確定條件穩定系統考察圖示系統的奈氏曲線P=0（1）開環增益K增加到足夠大，系統閉環不穩定。（2）開環增益足夠小，系統閉環不穩定。5-5穩定裕度表徵系統穩定程度的兩個指標：相角裕度，幅值裕度h開環幅相曲線與階躍回應的關係相角裕度和幅值裕度的定義結論：對於最小相位系統，若相角裕度大於零，幅值裕度大於1，則系統閉環穩定；這些值越大穩定程度越好。否則系統閉環不穩定。例1設單位回饋系統的開環傳遞函數為試分別計算K=2,K=20時，系統的相角裕度和幅值裕度。解：一般要求系統具有45~70的相角裕度。對於最小相位系統，當相角裕度在30~70之間時，則要求幅頻曲線在截止頻率處的斜率大於-40dB/dec,通常採用-20dB/dec。5-6閉環頻率特性對於單位回饋系統，閉環和開環系統頻率特性的關係

對於一般系統的閉環和開環系統頻率特性的關係對於要求確定系統頻帶寬度，諧振峰值和諧振頻率等性能指標就要求繪製閉環系統的頻率特性。對於非單位回饋系統閉環頻率特性的繪製，只要經過上述處理即可。考察開環幅相曲線求得不同頻率對應的閉環幅值和相角後，就可得閉環頻率特性，畫出閉環頻率特性曲線。在工程上常用等M和等N圓圖或尼柯爾斯圖線，直接由單位回饋系統的開環頻率特性曲線繪製閉環頻率曲線。等M圓圖

可以作閉環幅頻特性曲線假設開環頻率特性和閉環頻率特性分別為則有令M為常數，則上式表示為一個圓。P.214圖5-82等M圓圖等N圓圖應用等N圓作閉環相頻特性曲線令等N圓圖見P.215圖2-83圓心：半徑：用等M圓圖和等N圓圖求閉環幅頻特性和相頻特性通過開環幅相特性曲線與等M圓圖的交點，可以得到相應頻率的M值，即閉環幅頻值。通過開環幅相特性曲線與等N圓圖的交點，可以得到相應頻率的N值（或），即閉環相頻值。P.216圖5-84是由開環幅相特性曲線、等M圓圖和等N圓圖確定閉環頻率特性曲線。尼柯爾斯圖線設開環頻率特性比較等式兩邊可得：設為常數，在平面上得到等曲線。利用指數函數和三角函數的關係，即有尼柯爾斯圖線的應用例1設系統開環傳遞函數為帶寬頻率和帶寬設閉環頻率特性如圖所示（1）帶寬頻率