反证法典型例题

韩城·象中·毋宁选修1-2：第三章推理与证明反证法典例第一页，共十四页。例1.已知：一个整数的平方能被2整除，求证：这个数是偶数。证明：设整数a的平方能被2整除.

假设a不是偶数，则a是奇数，不妨设a=2m+1(m是整数)∴a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1∴a2是奇数，与已知矛盾。∴假设不成立，所以a是偶数。2精品PPT·值得借鉴第二页，共十四页。例2.证明：如果a>b>0，那么3精品PPT·值得借鉴第三页，共十四页。例3.已知a≠0，求证关于x的方程ax=b有且只有一个根。4精品PPT·值得借鉴第四页，共十四页。P已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD

不全是直径求证：AB、CD不能互相平分。ABCDO例4.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.5精品PPT·值得借鉴第五页，共十四页。例5.求证：是无理数.6精品PPT·值得借鉴第六页，共十四页。

(4)结论为“唯一”类的命题。正难则反!应用反证法的情形：

(1)直接证明困难;(2)需分成很多类进行讨论；(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”这一类的命题；7精品PPT·值得借鉴第七页，共十四页。例6.已知a+b+c>0,ab+bc+ca>0,abc>0.求证:a,b,c>0证明:

假设c<0,则a+b>0,ab<0.所以,a,b,c>0.

ab+bc+ca=ab+(a+b)c<0.矛盾!假设不成立.8精品PPT·值得借鉴第八页，共十四页。例7.已知0<a,b,c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于1/4.证明:

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于1/4.则(1)+(2)+(3)得:0>0,矛盾!假设不成立.所以,(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于1/4.

9精品PPT·值得借鉴第九页，共十四页。例7.已知0<a,b,c<1,求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不可能同时大于1/4.证明:

假设(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a同时大于1/4.则(1)+(2)+(3)得:矛盾!假设不成立.原结论成立.10精品PPT·值得借鉴第十页，共十四页。PPT内容概述韩城·象中·毋宁。韩城·象中·毋宁。则a是奇数，不妨设a=2m+1(m是整数)。∴a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1。精品PPT·值得借鉴。例2.证明：如果a>b>0，那么。已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且AB、CD。例4.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.。例5.求证：是无理数.。(3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”。求证:a,b,c>0。证明:假设c<0,则a+b>0,ab<0.。所以,a,b,c>0.。ab+bc+ca=ab+(a+b)c<0.。(1)+(2)+(3)得:0>0,矛盾。(1)+(2)+(3)得:。假设不成立.原结论成立.。已知:f(x)=x2+px+q.。例9.已知A,B,C为三个正角.且sin2A+sin2B+sin2C=1.。求证:A+B+C<900.。<1-cos2(A-B)≤1.。从而,A+B+C<900.第十一页，共十四页。例8.已知:f(x)=x2+px+q.求证:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于

½.12精品PPT·值得借鉴第十二页，共十四页。例9.已知A,B,C为三个正角.且sin2A+sin2B+sin2C=1.求证:A+B+C<900.解:假设A+B+C≥900,由于A,B,C为三个正角,所以它们都为锐角,且有cos(A+B)<cos(A-B).1=sin2A+sin2B+sin2C=1-cos(A+B)cos(A-B)<1-cos2(A-B)≤1.矛盾!假设不成立.从而,A+B+C<900.13精品PPT·值得借鉴第十三页，共十四页。推理

合情推理