集合的基本运算 高中数学北师大版必修第一册

高中数学北师大版必修第一册第1课时交集和并集第一章预备知识/11.3集合的基本运算课标阐释思维脉络1.理解两个集合的并集与交集的含义.(数学抽象)2.能求两个集合的并集与交集.(数学运算)3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.(数学抽象)激趣诱思公务员,是指在各级政府机关中,行使国家行政职权,执行国家公务的人员.每年都有很多人报名参加考试,常出现一个岗位若干人竞争的局面.2020国家公务员考试报考条件中规定,报考人员应符合以下条件(摘录):(1)具有中华人民共和国国籍;(2)18周岁以上、35周岁以下(1983年10月至2001年10月期间出生),2020年应届硕士研究生和博士研究生(非在职)人员年龄可放宽到40周岁以下(1978年10月以后出生);……(7)具有大学专科及以上文化程度.根据以上条件,哪些人可以报名参加公务员考试呢?知识点拨一、交集

概念一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B.读作“A交B”符号表示A∩B={x|x∈A,且x∈B}图形表示性质对于任意集合A,B,有A∩B=B∩A,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A∩A=A,A∩⌀=⌀要点笔记求两个集合的交集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.微练习(1)已知集合A={1,3,5,6,7},B={2,4,5,6,8},则A∩B=

.

(2)(2019全国2)已知集合A={x|x>-1},B={x|x<2},则A∩B=(

)A.(-1,+∞)

B.(-∞,2)C.(-1,2) D.⌀(3)已知集合A={-1,0,1,2,3},B={x|-2≤x≤2},那么A∩B=(

)A.{-1,0,1} B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1,2,3} D.{x|-2≤x≤2}答案(1){5,6}

(2)C

(3)B二、并集

概念一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B.读作“A并B”符号表示A∪B={x|x∈A,或x∈B}图形表示性质对任意集合A,B,有A∪B=B∪A,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A∪A=A,A∪⌀=A名师点析1.并集符号语言中,“x∈A,或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用右图形象地表示.2.求A∪B时要注意集合中元素的互异性,相同的元素(即A与B的公共元素)只能算作并集中的一个元素.例如,A={1,2,3},B={1,3,5,7},A∪B={1,2,3,5,7},而不能写成A∪B={1,2,3,1,3,5,7}.微练习(1)设集合A={1,3},集合B={1,2,4,5},则集合A∪B=(

)A.{1,3,1,2,4,5}B.{1}C.{1,2,3,4,5}D.{2,3,4,5}(2)已知集合A={x|x>-2},B={x|x≥1},则A∪B=(

)A.{x|x>-2}B.{x|-2<x≤1}C.{x|x≤-2}D.{x|x≥1}(3)已知集合A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则实数m=

.

答案(1)C

(2)A

(3)2探究一集合的交集与并集运算例1(1)设集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|x2=1},则A∪B=(

)A.{1} B.{1,3}C.{-1,1,3} D.{-1,1}(2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1},则A∪B=(

)A.{x|x<2} B.{x|1≤x<2}C.{x|x≥1} D.R分析(1)先解一元二次方程得集合A,B,再根据集合并集的定义求结果;(2)用数轴表示集合A,B,根据定义求解.解析(1)A={-1,3},B={-1,1},A∪B={-1,1,3}.(2)在数轴上表示出集合A,B,则则A∪B=R.答案(1)C

(2)D变式训练1(1)已知集合A={x∈N|1≤x≤3},B={2,3,4,5},则A∪B=(

)A.{2,3} B.{2,3,4,5}C.{2} D.{1,2,3,4,5}(2)设集合A={x∈N+|x≤2},B={2,6},则A∪B=(

)A.{2} B.{2,6}C.{1,2,6} D.{0,1,2,6}答案(1)D

(2)C例2(1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=(

)A.{3} B.{5}C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7}(2)设集合M={x|-3<x<2},N={x|1≤x≤3},则M∩N=(

)A.[1,2) B.[1,2]C.(2,3] D.[2,3](3)(2019天津)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=(

)A.{2} B.{2,3}C.{-1,2,3} D.{1,2,3,4}解析(1)直接由交集定义可得A∩B={3,5}.(2)在数轴上表示出集合M,N,如图:∴M∩N={x|1≤x<2}.(3)A∩C={1,2},(A∩C)∪B={1,2,3,4},故选D.答案(1)C

(2)A

(3)D反思感悟求两个集合交集、并集的方法技巧当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心圈表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果.变式训练2(1)若集合M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则M∩N=(

)A.{0} B.{-1,0}C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}(2)(2020重庆北碚西南大学附中高一期末)已知集合A={x||x|<2},B={-2,0,1,2},则A∩B=

.

解析(1)N={-1,0,1,2},M={x∈R|-3<x<1},则M∩N={-1,0}.(2)由题得A={x||x|<2}={x|-2<x<2},B={-2,0,1,2},所以A∩B={0,1}.答案(1)B

(2){0,1}探究二已知集合的交集、并集求参数例3已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈A∩B,则实数a的值为

.

分析9∈A∩B说明9∈A,通过分类讨论建立关于a的方程求解,注意求出a的值后要代入集合A,B中,看是否满足集合中元素的互异性.解析∵9∈A∩B,∴9∈A,且9∈B,∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意;当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意.综上可得实数a的值为5或-3.答案5或-3反思感悟已知两个有限集运算结果求参数值的方法对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,检验求解结果是否满足集合中元素的有关特性,尤其是互异性.延伸探究例3中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B.解∵A∩B={9},∴9∈A.∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3.当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5;当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3;当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意.综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}.例4集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}.(1)若A∩B=⌀,求a的取值范围;(2)若A∪B={x|x<1},求a的取值范围.分析利用数轴把集合A,B表示出来,根据题目条件,利用数形结合的方法列出关于参数a满足的不等式,求解时需注意等号能否取得.解(1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,在数轴上表示出集合A,B,如图①所示.∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1,∴a的取值范围为(-∞,-1].(2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1},在数轴上表示出集合A,B,如图②所示,∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴a的取值范围为(-1,1].反思感悟已知集合运算求参数的思路此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素能一一列举时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意.延伸探究例4(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围.解利用数轴(略)表示出两个集合,数形结合知,要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以a的取值范围为(-1,+∞).探究三集合的交集、并集性质的应用例5设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R}.若M∪N=M,则实数t的取值范围为

.

分析把M∪N=M转化为N⊆M,利用数轴表示出两个集合,建立端点间的不等关系式求解.综上可知,实数t的取值范围是{t|t≤2}.答案{t|t≤2}延伸探究将例5条件中“M∪N=M”改为“M∩N=M”,其余不变,求实数t的取值范围.解由M∩N=M,得M⊆N,故N≠⌀.用数轴(略)表示两个集合,要满足条件,需

故实数t的取值范围为[4,+∞).例6设集合A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0}.(1)若A∩B=B,求a的取值范围;(2)若A∪B=B,求a的值.分析先化简集合A,B,再由已知条件得A∩B=B和A∪B=B,转化为集合A,B的包含关系,分类讨论求a的值或取值范围.解由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}.(1)∵A∩B=B,∴B⊆A,B=⌀,{0},{2},{0,2}.当B=⌀时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0;综上所述,得a的取值范围是{a|a=1,或a≤0}.(2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根,∴A=B,由(1)知a=1.反思感悟利用交集、并集运算求参数的思路(1)涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为相关集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性.(2)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系.变式训练3已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0},(1)当m=2时,求M∩N,M∪N;(2)当M∩N=M时,求实数m的值.解(1)由题意得M={2}.当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2},∴M∩N={2},M∪N={1,2}.(2)∵M∩N=M,∴M⊆N.∵M={2},∴2∈N,∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2.素养形成分类讨论思想在集合运算中的应用分类讨论就是分别归类再进行讨论的意思,数学中的分类过程就是对事件共性的抽象过程.解题时要明确为什么分类,如何分类,如何确定分类的标准.应用时,首先要审清题意,认真分析可能产生的不同因素.进行讨论时要确定分类的标准,每一次分类只能按照一个标准来分,不能重复也不能遗漏.典例设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.解(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={1,2},若A∩B={2},则x=2是方程x2+2(a+1)x+a2-5=0的实数根,可得a2+4a+3=0,解得a=-3或a=-1.当a=-3时,B={2};当a=-1时,B={-2,2},均满足A∩B={2}.综上,实数a的值为a=-3或a=-1.(2)A={x|x2-3x+2=0}={1,2},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0},对应的Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B⊆A.①当Δ<0,即a<-3时,B=⌀,满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2},满足条件;③当Δ>0,即a>-3时,只有B={1,2},才能满足条件,由一元二次方程根与系数的关系,得1+2=-2(a+1),且1×2=a2-5.∴a=-,且a2=7,矛盾.∴a>-3不满足条件.综上所述,实数a的取值范围是{a|a≤-3}.要点笔记将条件转化为两个集合的包含关系,因为集合B是由含参的一元二次方程的解组成的,所以应按其解的个数分类讨论.尤其不要忽略无解的情况,即B为空集的情况.当堂检测1.设集合A={x∈N+|-1≤x≤2},B={2,3},则A∪B=(

)A.{-1,0,1,2,3} B.{1,2,3}C.[-1,2] D.[-1,3]解析集合A={1,2},B={2,3},则A∪B={1,2,3}.答案B2.已知集合A={x|-3<x<3},B={x|x<1},则A∩B=(

)A.{x|x<1} B.{x|x<3}C.{x|-3<x<1} D.{x|-3<x<3}答案C3.已知集合A={0,1},B={a-2,2}.若A∩B={1},则A∪B=(

)A.{0,1,2} B.{1}C.{0,1,2,3} D.{1,2}解析由A∩B={1},得1=a-2,所以a=3.则B={1,2}.所以A∪B={0,1,2}.答案A4.已知集合A={0,1,2,8},B={-1,1,6,8},那么A∩B=

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答案{1,8}5.已知集合A={x|m-2<x<m+1},B={x|1<x<5}.(1)若m=1,求A∪B;(2)若A∩B=A,求实数m的取值范围.解(1)由m=1,得A={x|-1<x<2},∴A∪B={x|-1<x<5}.(2)∵A∩B=A,∴A⊆B.显然A≠⌀.∴实数m的取值范围为[3,4].高中数学北师大版必修第一册第2课时全集与补集第一章预备知识/11.3集合的基本运算课标阐释思维脉络1.在具体情境中,了解全集的含义.(数学抽象)2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.(逻辑推理)3.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题.(数学运算)激趣诱思太阳系有8颗行星,即水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星.原来被认为是行星的冥王星在第26届国际天文联会通过的第5号决议中,被划为矮行星,并命名为小行星134340号,从太阳系九大行星中被除名.如果我们把名字中含有“王”的行星除去,还有几颗行星?上小学的小朋友也会回答还有6颗,但是如果我们用集合的眼光来看,就会发现一个问题:若把太阳系的行星的集合作为U,把名字中含有“王”的行星的集合作为A,把名字中不含有“王”的行星的集合作为B,那么集合A,B,U之间有怎样的关系呢?知识点拨全集与补集1.全集在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合.要点笔记全集不是固定不变的,它是一个相对概念,是依据具体问题来选择的.例如,我们在研究数集时,通常把实数集R作为全集;当我们只讨论大于0且小于5的实数时,可选{x|0<x<5}为全集.微思考集合的补集运算与实数的减法运算有什么联系?提示集合的补集运算与实数的减法运算可进行类比:实数集合被减数a“被减集合(全集)”U减数b“减集合”A差a-b补集∁UA2.补集

概念设U是全集,A是U的一个子集(即A⊆U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作∁UA符号表示∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形表示性质对任何集合A,有A∪∁UA=U,A∩∁UA=⌀,∁U(∁UA)=A名师点析1.补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素一定都能在全集中找到.2.补集既是集合之间的一种关系,也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的.3.符号∁UA有三层意思:①A是U的一个子集,即A⊆U;②∁UA表示一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是由U中不属于A的所有元素组成的集合,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}.4.若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一.微练习(1)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁UA=(

)A.{1,3,5,6}

B.{2,3,7}C.{2,4,7} D.{2,5,7}(2)已知全集U为R,集合A={x|x<1,或x≥5},则∁UA=

.(3)已知全集U={0,1,2},A={x|x-m=0},若∁UA={0,1},则m=

.

解析(1)由A={1,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7},得∁UA={2,4,7}.故选C.(2)集合A={x|x<1,或x≥5}的补集是∁UA={x|1≤x<5}.(3)(方法一)由题意知A={m}={2},所以m=2.(方法二)根据补集的性质∁U(∁UA)=A,得A={2},即m=2.答案(1)C

(2){x|1≤x<5}

(3)2探究一补集的基本运算例1(1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=

.

(2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁UA=

.

分析(1)先结合条件,由补集的性质求出全集U,再由补集的定义求出集合B,也可借助Venn图求解.(2)利用补集的定义,借助于数轴的直观作用求解.解析(1)(方法一)∵A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∴U={1,2,3,4,5,6,7}.又∁UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.(方法二)满足题意的Venn图如图所示.由图可知B={2,3,5,7}.(2)将全集U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.由补集的定义可知∁UA={x|x<-3,或x=5}.答案(1){2,3,5,7}

(2){x|x<-3,或x=5}反思感悟求集合的补集的方法(1)定义法:当集合中的元素较少时,可利用定义直接求解.(2)Venn图法:借助Venn图可直观地求出全集及补集.(3)数轴法:当集合中的元素连续且无限时,可借助数轴求解,此时需注意端点问题.变式训练1已知集合A={x|-3≤x<5},∁UA={x|x≥5},B={x|1<x<3},求∁UB.解由已知U={x|-3≤x<5}∪{x|x≥5}={x|x≥-3},又B={x|1<x<3},所以∁UB={x|-3≤x≤1或x≥3}.探究二交集、并集与补集的混合运算例2设全集U={-2,-1,0,1,2},集合A={x|x2+x-2=0},B={0,-2},则B∩(∁UA)=(

)A.{0,1} B.{-2,0}C.{-1,-2} D.{0}分析先求出集合A,再求出集合A的补集,最后根据集合的交集运算求出结果.解析由于A={x|x2+x-2=0}={-2,1},所以∁UA={-1,0,2},所以B∩(∁UA)={0},故选D.答案D例3已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求∁UA,∁UB,(∁UA)∩(∁UB).分析由于U,A,B均为连续的无限集,所求问题是集合间的交集、并集、补集运算,故考虑借助数轴求解.解将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示,则∁UA={x|-1≤x≤3};∁UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3};(∁UA)∩(∁UB)={x|1≤x≤3}.反思感悟交集、并集、补集的综合运算的两种主要情况(1)对于有限集,先把集合中的元素一一列举出来,再结合交集、并集、补集的定义求解,在解答过程中也常常借助于Venn图.这样处理问题,相对来说比较直观、形象,且不易出错.(2)对于连续的无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交集、并集、补集的定义求解,这样处理比较形象、直观,解答过程中注意端点值的取舍.变式训练2(1)如果全集U=R,M={x|-1<x≤2},N={1,3,5},则M∩(∁UN)=(

)A.(-1,1)∪(1,2) B.(-1,2)C.(-1,1)∪(1,2] D.(-1,2](2)已知全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B.(1)解析∁UN={x|x≠1,且x≠3,且x≠5},∴M∩(∁UN)=(-1,1)∪(1,2].答案C(2)解把集合A,B在数轴上表示如图.由图知,A∪B={x|2<x<10},∴∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}.∵∁RA={x|x<3,或x≥7},∴(∁RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}.探究三补集性质的应用例4已知全集为R,集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是

.

分析先求出∁RB,再借助于数轴求实数a的取值范围.解析∵B={x|1<x<2},∴∁RB={x|x≤1,或x≥2}.又A={x|x<a},且A∪(∁RB)=R,利用如图所示的数轴可得a≥2.答案[2,+∞)要点笔记由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的取舍.延伸探究已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(∁UA)={2},A∩(∁UB)={4},U=R,求实数a,b的值.解∵B∩(∁UA)={2},∴2∈B,但2∉A.∵A∩(∁UB)={4},∴4∈A,但4∉B.素养形成用图示法解决集合的混合运算1.两种图示法(1)用Venn图表示集合的混合运算右图中的A,B将全集U分成了四部分,这四部分分别用集合表示如下:①表示A∩B;②表示(∁UB)∩A;③表示(∁UA)∩B;④表示∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).(2)当集合为连续型实数集时,常常用数轴来表示集合的混合运算.2.集合运算分配律的图形解释设集合U为全集,A,B,C为全集U的子集,则有(1)(A∪B)∩C=(A∩C)∪(