2024年高考数学一轮复习 不等式（解析版）

专题02不等式

一'知识速览

知识点1等式的性质

知识点2不等式的性质

知识点3一元二次不等式的解集

1、重要不等式

知识点4基本不等式2、基本不等式

3、利用基本不等式求最值

二'考点速览

知识点1等式的基本性质

性质文字表述性质内容注意

1对称性a=bob=a可逆

2传递性a=b,b=c0a=c同向

3可加、减性a=boa七c二b±c可逆

4可乘性a=b=ac=bc同向

7cab

5可除性a=〃,cwU=>—=—同向

cc

知识点2不等式的性质

性质别名性质内容注意

1对称性a>b=b<a可逆

2传递性a>b,b>c=>a>c同向

3可加性a>boa+c>b+c可逆

a>b,c>O=>ac>bc

4可乘性C的符号

a>b,c<O=>ac<bc

5同向可加性a>b,c>d=>a+c>b+d同向

6正数同向可乘性a>b>0fc>d>O=>ac>bd同向

7正数乘方性a>b>O=^an>bn(n£N,n>2)同正

知识点3一元二次不等式的解集

判别式/=〃-4acJ>0J=0J<0

y

Ab二

二次函数y=ax^+bx

+c(a>0)的图象xbl/2

MX

0

有两相等实根X[—X2

方程加+Z?x+c=O有两相异实根羽，

__b_没有实数根

3>0)的根X2(%1<%2)

2a

d!x2+Z?x+c>0(a>0)

{X\X<X1或X>X2}{x|x£R}

的解集

ax2+bx+c<0(a>0)

{X\X1<X<X2]00

的解集

知识点4基本不等式

1、重要不等式：a2+廿22ab(a,beR),(当且仅当a=Z?时取"="号).

变形公式：2(a2+Z?2)>(a+/?)2(a,b^R)

2、基本不等式：yfab<a+^

2

(1)基本不等式成立的条件：a>0,b>0

(2)等号成立的条件：当且仅当a=6时取等号.

(3)算术平均数与几何平均数

设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为小,几何平均数为J法，

2

基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

3、利用基本不等式求最值

已知x>0,y>0,则

（1）如果积犯是定值0,那么当且仅当尤=>时，x+y有最小值2g.（简记：积定和最小）

（2）如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时，孙有最大值］.（简记：和定积最大）

I,•=n

［方法技巧J

一、比较两数（式）大小的方法

1、作差法：

（1）原理：设,则a-Z?>Ooa>Z?；a-b=boa=b；a-b<O<^a<b；

（2）步骤：作差并变形n判断差与0的大小n得出结论。

（3）注意：利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形。

2、作商法：

（1）原理：设a>03>0,则q>1=。〉人；-=l^a=b；-<l^a<b

bbb

（2）步骤：作商并变形n判断商与1的大小n得出结论。

（3）注意：作商时各式的符号应相同，如果均小于0,所得结果与“原理”中的结论相

反，变形方法有分母（分子）有理化，指、对数恒等变形。

【典例1】（2023秋・河南许昌•高三校考期末）已知尤=-/一2。+3,〉=4-3。，则（）

A.x<yB.x=yc.x>yD.x与y的大小无法判断

【答案】A

【解析】因为x=-q2-2a+3,y=4-3。，

所以x_y=_a2+q_］=_（q_；）--1<0,故x<y.故选:A.

【典例2】（2022秋・河北石家庄•高三开学考试）若实数加，n,P满足加=4%，”=53，。=/，则（）

m<

A.p<m<nB.p<n<mc.P<^D.p〈m

【答案】A

【解析】因为实数加，”，。满足根=4%，n=5e^

3

m4e54/

所以—=—^-=—e15<1,..m<〃；

〃二5

5e3

3

m4/2—

又5=j"=g.e5>1,;,m>p.p<m<n,故选：A.

二、利用待定系数法求代数式的取值范围

已知MM,M2<f2（a,b）<N2,求g（a,b）的取值范围

第一步：设g（a,b）=pfi（a,b）+qf2（a,b）；

第二步：经过恒等变形，求得待定系数p,q；

第三步：再根据不等式的同向可加性即可求得g（a,b）的取值范围。

【典例1】（2023秋•广东•高三校联考期末）已知lVa—6V3,贝|5a+b的取值范围为（）

A.[15,31]B.[14,35]C.[12,30]D.[11,27]

【答案】D

,、/\[m+n=5fm=2

【解析】设=+=+所以JnJ,

In—in—1IM—3

贝！]5a+b=2（a-Z?）+3（a+b）,又14a-6<3,3<a+b<l

所以2<2（a—Z?）<6,9<3（a+Z,）<21,

由不等式的性质得：HW2（a—6）+3（a+6）W27,

则5a+b的取值范围为[11,27].故选：D.

【典例2】（2022秋.湖南长沙.高三雅礼中学校考阶段练习）已知24。-6<4,4<a+6W8,则5a+b的取值

范围是（）

A.[16,32]B.[15,36]C.[12,30]D.[16,30]

【答案】A

【解析】H5tz+Z?=2（a—Z?）+3（a+b）,^2<a—b<4,4<a+b<8,

则4W2（a—6）<8,12<3（a+b）<24,即16<2（a—8）+3（a+b）432,16<5tz+Z;<32,

所以5a+6的取值范围是[16,32].故选：A

三、解一元二次不等式的步骤

第一步：先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；

第二步：写出相应的方程狈2+云+。=0（。>0）,计算判别式A：

①A>0时，求出两根％、x2,且西<々（注意灵活运用因式分解和配方法）；

②△=（）时，求根匹=%=_2；

2a

③A<0时，方程无解

第三步：根据不等式，写出解集.

【典例1】(2023春•河北石家庄•高三校联考阶段练习)已知全集。=R,集合4={尤|尤2-3%<4卜

B={.x||x|>2},贝()

A.(-2,4)B.(-4,2)C.(-2,2)D.(-4,4)

【答案】A

【解析】由尤2—3X<4,BP(X+1)(X-4)<0,解得

所以A=H尤Z-3x<4^={R-l<无<4},

由国22,解得x22或x4-2,

所以5={x]„2}={x\x>2^x<-2],所以药8=3-2<x<21,

所以(药3)uA={R-2<x<4}.故选：A

【典例2】(2022秋•陕西西安.高三西北工业大学附属中学校考阶段练习)解不等式:

九+]

(1)—X2+4x+5>0;(2)%2—2ax<—a2+1;(3)-----23.

2-x

【答案】(1)|x|-l<x<5}；(2)(x|a-\<x<a+\^；(3)<x<

【解析】(1)—%2+4%+5>0可化为％2_4%_5〈o,即5)<0,解得一1<%<5,

・•・原不等式的解集为{x|-l<x<5}.

(2)x2—2ax+/—1<0[x-(a+1)][%-(a-1)]—0a-+1,

；・原不等式的解集为{Na-

x+1x+14x-54x-5

(3)之3o—3200>0<^><0

2—%2—x2—xx—2

(4x-5)(%-2)<0^

o

x-2wO

原不等式的解集为<x<2

四、利用基本不等式求最值的方法

1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系

2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。

3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况

类型1：分母为单项式,利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；

类型2：分母为多项式时

方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系;

方法2：待定系数法，适用于所有的形式，

如分母为3a+4）与a+3Z?,分子为a+2Z>,

设a+2Z>=X（3a+4Z?）+〃（a+33）=（3X+〃）a+（4X+3〃）匕

A=-

34+u=\,解得：\5

42+3〃=22

4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。

5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的

不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）已知0<x<?,则/，1一2人的最大值为.

【答案】正

4

【解析】0<x<与>0,1-2/>0,

当且仅当2/=1一2/,即x时等号成立.故答案为：立.

24

1-Y2

【典例2】（2022秋・浙江绍兴•高三绍兴一中校考阶段练习）已知x>0,y>0,+则^的

y

最小值是（）

A.2B.2+V3C.逐+2D.2近+2

【答案】D

【角军析】X>o,J>0,.•.丁+,3=%_>〉0,即有_21=1且x>y,

33

x+y2(i

将'i代入匕=得匕X二x=1+y2二①_

%-yy/,2孙_/x_1

y

令讨>1，/（，）=*"I

r2+l_(r2-l)+222

,,/(')==/+l+——=(Z-1)+——+2

t-1t-\t-lt-l

Q1>1,「.（，-1）H-------F222+2

t-l

当且仅当〜「W，即好友+i时等号成立,

2i］—丫2_

所以/⑺=f*«>1）的最小值2应+2,即彳卜的最小值是2血+2.故选：D.

【典例31（2023•海南海口•海南华侨中学校考模拟预测）（多选）已知a>0,>>0,且。+26=2,贝卜)

I4

A.的最大值为3B.〃+—的最小值为4

za

21

C./+4"的最小值为2D.士+；的最大值为4

ab

【答案】AC

【解析】对于A项，因为。>0,b>0,〃+2b=2,

由基本不等式可得，a+2b>2^2ab,当且仅当Q=2b=l时取等号,

所以浦4普］=L故A正确；

12H2

对于B项，根据基本不等式可得。+&22、［4=4,

a\a

当且仅当〃=2时取等号，此时5=0,故B错误；

对于C项，根据基本不等式可得〃+4/29±也=2,当且仅当〃=2"=1时取等号，故C正

2

确；

对于D项，根据基本不等式可得2+?=”尹=224,当且仅当。=2。=1时取等号，

ababab

21

所以，一+7的最小值为4,故D不正确.故选：AC.

ab

五、不等式恒成立与能成立问题

一般利用参变分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解:

1、VxeD,机向口

2、V%eD,加1mx

3、Bx&D,nzW/(x)omW/(x)1mx

4、3XG£),加2/⑴=心/⑴.

14

【典例1】(2023秋・湖南长沙•高三湖南师大附中校考阶段练习)正实数无，满足一+一=2,且不等式

%)

x+B//恒成立，则实数机的取值范围为---------.

【答案】[-1,2]

【解析】因为不等式无+手加一机恒成立，所以(无+、二.一3〃7,

14

因为％>O,y>0,且一+—=2,

Xy

i+1-2\lyi+12,

9rv

当且仅当7=3,即x=1，y=4时,等号是成立的,

所以（x+5）而。=2,所以加2一根42,BP（m+l）（m-2）<0,解得-1W机W2.

故答案为：[T,2]

【典例2】（2023・全国•高三专题练习）已知x》4,y>4,>x+4y-xv=0,若不等式aWx+y恒成立，贝I］

«的最大值为.

…山、28

【答案】y

【解析】当x=4时，x+4y-孙=4+4y-4y=0不成立，所以"4.

X

由％+4）一兀忏。得y=------.

x-4

X164

因为％",y>4,所以，7>4,解得4<%<工，即0<%-4«：.

x-433

u「［、［/xx_4+44.4

所以Q<x+y=XH--------=x-\--------------=X+1H--------=x-4-\----------1-5,

x-4x-4x-4x-4

44

令A，=%-4,则0</«一，于是—+5.

3t

44

令/（f）=f+—+5,0</<-,贝！|。V/«）1n•

t3111

由对勾函数的图象知，/⑺在［0,g上单调递减，故/⑺mm=/（g］=g+3+5=g.

9QOROR

所以即。的最大值为年.故答案为：y.

【典例3】（2023•全国•高三专题练习）已知关于尤的不等式2》-1>加卜2-1）.若不等式对于加目-2,2］恒成

立，求实数x的取值范围

【答案】

【解析】由题知，设/»=（尤'-I），〃-（2x-l）,

当〃ze［—2,2］时，恒成立.

2X2-2X-1<0

当且仅当

—2犬2—21+3<0

解得!且或且尤〉

222222

贝u士立<x<匕且.

22

所以X的取值范围是一》|二?夕<”<上乎；

易混易错

易错点1忽视不等式性质成立的条件

点拨：在使用不等式的基本性质进行推理论证时一定要注意前提条件，如不等式两端同时乘以或同时除以

一个数、式，两个不等式相乘、一个不等式两端同时〃次方时，一定要注意使其能够这样做的条件.

【典例1】（2023•湖南邵阳•统考三模）（多选）a/eR,则下列命题中，正确的有（）

A.若a>。，则=>二B.若曲=4,贝1J/+/28

cc

C.若a>b,贝！Jabv/D.若a>b,c>d,则a-d>Z?-c

【答案】BD

【解析】对于A：若c=0,则二，上无意义，故A错误；

CC

对于B：若次?=4,则/十廿Z2H?=8,当且仅当a=b=±2时，等号成立，故B正确;

对于C：由于不确定。的符号，故无法判断，

例如"=0,6=-1,贝!JIO=Q2=O,故C错误；

对于D：若a>b,c>d,则—d>—c,

所以故D正确；故选：BD.

【典例2】（2023・湖南永州•统考三模）（多选）已知。,4C£R,下列命题为真命题的是（）

A.若Z?<a<0,则》3dB.若b>a>0>。，贝(J—<—

ab

_-M-i八I-..Iaa+c

C.若则---->----D.右a>b>c>0,贝----

c-ac-bbb+c

【答案】BD

【解析】对于A项，ac2-be2=c2（a-b）,因为Z?<Q<0,所以。一/?>0,所以c?2。

所以，（a—b）zo,即：<a.c,故A项错误；

对于B项，£_/「\"),因为b>a>0>c,所以C(6-4)<0,ab>0,

abab

所以。=选辿<0,即：-<f,故B项正确;

ababab

ab_c(a-b)

对于C项,因为。>b>a>0,所以C—Q>0,c-b>0,a-b<0,

c-ac-b(c-a)(c-b)

abc(a-b)八「ab

所以------=——-----------<0,gn.<故C项错误;

c-ac-b(c-a)(c-b)~^a~c^b'

对于D项，因为十a+c_a(b+c)-b(a+c)_(a-b)c

b+cb(b+c)b(b+c)

又因为a>b>c>0,所以a—Z?>0,b+c>0f

所以E>。，即：rHf'故D项正确・故选：BD

易错点2忽视不等式中参数的取值范围

点拨：对于最高项系数含参数的问题，一定要注意讨论当最高项系数为零时，是否符合题意。

【典例1]（2023•全国•高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（）

A.若a,6eR,则2+32.巴=2B.若x>0,y>0,贝!IIgx+lgyE2jlgx-lgy

C.若x<0,贝IJX+]2-2小%m=-4D.若x<0,则2工+2-*>242*-2-*=2

【答案】D

【解析】•.•2：可能为负数,如y=_i时,:+：=_2,；.A错误;

ababab

・.,lgx,lgy可能为负数，如lg%=lgy=—l时，lgx+lgy=_2,2jlgx-1gy=2,，B错误；

444

x<0,—<0,如尤=-1,—=-4时，xH—=—5<—4,；.C错误；

xxx

'：x<0,2Xe(0,l),2-x>1,；.2*+>2,2,•=2，

当且仅当2工=2-*,即x=0等号成立，；.D正确.故选：D.

【典例2】(2023•全国•高三专题练习)(多选)下面结论错误的是()

A.不等式z2"与审2疝成立的条件是相同的.

B.函数y=x+°的最小值是2

X

C.函数y=sinx+」一，xe的最小值是4

sinx'Z)

VX

D."x>0且y>0”是“」+二22”的充分条件

xy

【答案】ABC

【解析】不等式"+加上2"成立的条件是a/eR；疝成立的条件是0/20,A错;

由于xe(-co,0)u(0,«»),故函数y=x+°无最小值，B错；

X

44

由于sin%=1—时sinx=2无解，i^y=sinx+-一的最小值不为4,C错；

sinxsmx

当x>0且y>。时，一>0,—>0,

由基本不等式可得当且仅当x=y时等号成立；

%y

VX

而2+—22”的充要条件是“孙>0”，

%y

因为无>0,、>0=>孙>。且个>。推不出]>0且y>0,所以D正确.故答案为：ABC

易错点3忽视基本不等式应用的条件

2

点拨：（1）利用基本不等式a+处2府以及变式4《学）等求函数的最值时，务必注意mb为正数（或a,

b非负），特别要注意等号成立的条件.

（2）对形如y=ar+5（a,6>0）的函数，在应用基本不等式求函数最值时，一定要注意ar,三同号.

【典例1】（2023•全国•高三专题练习）已知命题p：“VxGR,（a+l）尤2—2（a+l）x+3>0”为真命题，则实数

a的取值范围是（）

A.—1<。<2B.a>\C.a<—1D.—\<a<2

【答案】D

【解析】当〃=—1时，3>0成立；

6Z+1>0

当今一1时，需满足人,八2…八C，解得一ka<2.

△=4（a+l）—12（〃+1）<0

综上所述，一上。<2,故选：D

【典例2】（2023•全国•高三专题练习）不等式（〃z+l）f-mr+〃Ll<。的解集为0,则垃的取值范围

是.

【答案】］¥，+，

【解析】•・•不等式（帆+1）%2-侬:+加一1<。的解集为0,

二.（机+1卜2一如+加一1N0恒成立.

①当m+1=0,即机=-1时，不等式化为1-220,

解得：x>2,不是对任意xeR恒成立，舍去；

②当m+1。0,即加。一1时，对任意xeR,

要使+1）Y-mx+m-l>0,

只需m+1>0且△=（一加J-4（m+l）（m-l）<0,解得：

综上，实数m的取值范围是~^~,+co.故答案为：］2£，+°°）

易错点4解分数不等式忽略分母不为零

点拨：解含有分数的不等式，在去分母时要注意分母不为零的限制条件，防止出现增解，如

g（x）Ig（x）K0

【典例1】（2023.上海普陀.曹杨二中校考模拟预测）不等式上20的解集是______.

X-1

【答案】（1,+®）」。}

【解析】因为上20,所以解得x>l或》=0，

x-11x-1^0

所以不等式的解集是（1,口）{0}.

故答案为：（1，田）j{0}

【典例2】（2023•全国•高三对口高考）下列不等式中与不等式12。同解的是（）

2-x

（x-3）（2-x）

A.（x-3）（2-^）>0B.a>1（0<a<1）C..^—^>0D.10gli（无一2）40（。>1）

Vx-3

【答案】D

【解析】不等式二20等价于（尤―3）（2—耳之。且2—xw。，

2-x

r_a

即得