2024年高考数学重难点突破第4讲 不等式的证明

第4讲不等式的证明不等式问题是导函数考试的重点,也是难点.一方面是导函数的进一步应用,利用导函数研究出函数的单调性和最值,然后利用单调性来证明和解决不等式问题.反过来,也可以利用不等式来判定导函数的正负号进而来研究函数单调性,所以不等式在基础阶段起重要的衔接作用.在后面的高级课程里面,不等式也是起着关键作用,特别是和放缩法结合来证明不等式,赋值法来找到零点区间等.在后面的极值点偏移和双变量问题都围绕着不等式展开,要好好体会关于不等式的证明,深刻理解不等式在导函数中的作用.不等式问题的核心就是合理地构造函数,函数的构造将在后面章节讲解,这里要重点掌握证明不等式的核心思路.其次是理解不等式的含义是图像之间的上下位置关系,不等式的解是在图像上方时的取值范围.证明无参不等式不等式恒(能)成立问题的转换方法:若在区间上有最值,则(1)恒成立:.(2)能成立:.【例1】已知函数.证明:当时,.【解析】证明：函数,则令,则,令得.当时,,当时,,在处取得最小值...在单调递增..时,.【例2】已知函数,求证:.【解析】证明：由得.整理得,化简得.令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.,即恒成立.恒成立.【例3】函数.证明:对任意正实数恒成立.【解析】证明：由得对任意正实数恒成立.设,则.当时,;当时,.在上单调递增,在上单调递减.时,在处有最大值.对任意正实数恒成立,即对任意正实数恒成立,即,原命题得证.不等式恒成立求参数取值范围——参变分离参变分离法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：第一步:参变分离.若能参变分离,则将问题转化为:[或恒成立.第二步:转换为最值..第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.【例1】已知函数若恒成立,求的取值范围.【解析】恒成立,即在上恒成立.（1）当时,恒成立.（2）当时,.设.恒成立.在上单调递减...综上所述,.【例2】已知函数时,,求的取值范围.【解析】由已知可得在上恒成立,令,则令,则,..在上单调递增..【例3】已知函数,若恒成立,求的取值范围.【解析】由已知得,则当时,恒成立.令,则.令,则当时,,在上为减函数.又,在上,.在上,.在上为增函数.在上为减函数.,.【例4】已知函数(e为自然对数的底数),若)时,恒成立,求的取值范围.【解析】恒成立,即恒成立.(1)当时,对于任意的恒成立.(2)当时,恒成立.令,则.整理得,令,注意到.再令则,在单调递增,,即.在单调递增.又,故知在上,.在上,.从而在上单调递减,在上单调递增...不等式恒成立求参数取值范围——分类讨论分类讨论法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).第二步:把不等式恒成立转化为最值问题.第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数最值.已知函数，已知对任意恒成立,求的值.【解析】依题意,对任意恒成立，.当时,,由于0,则恒成立,在内单调递减.,当时,,不符合题意.(2)当时,令,得.①当时,1,那么的变化情况如下表所示: 0 单调递减极小值单调递增结合的单调性知:当时,,不符合题意.②当时,的变化情况如下表所示: 0 单调递增极大值单调递减i.当时,,,结合的单调性知当时,,不符合题意..当时,,结合的单调性知当时,,不符合题意.iii.当时,.由的单调性可知,符合题意.综上,.【例2】已知函数.(1)讨论的单调性.(2)若,求的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为,①若,则,在单调递增.②若,则由得.当时,.当(时,.在单调递减,在单调递增.③若,则由得.当时,.当时,.在单调递减,在单调递增.(2)①若,则,.②若,则由(1)题得,当时,取得最小值,最小值为.从而当且仅当,即时,.③若,则由(1)题得,当时,取得最小值,最小值为.从而当且仅当,即时,.综上,的取值范围为.【例3】已知函数,当时,恒成立,求实数的取值范围.【解析】即为.令.根据题意:当时,恒成立,.(1)若时,由恒成立,在上是增函数,且,不符题意.(2)若时,由恒成立,在上是增函数,且,不符题意.（3）当时,由时,恒有,在上是减函数.,即,解得,故.综上,的取值范围是.【例4】已知函数.(1)讨论的单调性.(2)当时,,求的取值范围.【解析】(1)由题意得.①若在上单调递增.②若,令,i.当时,即时,.即在上单调递增.ii.当时,即时,的两根为,且两根均为正.时,在上单调递增.时,在上单调递减.时，在上单调递增.综上所述,当时,在上单调递增.当时,的单调增区间为和单调减区间为.(2)由(1)题可知当时,在上单调递增,符合题意.当时,,则,当时,,即在单调递减.不符合题意.综上所述,的取值范围是.不等式能成立(存在性)求参数取值范围一一参变分离参变分离法解不等式能成立求参数取值范围的步骤：第一步:参变分离.存在使得能成立,则参变分离,将问题转化为:或恒成立.第二步:转换为最值..第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.【例1】设函数,若存在,使得不等式成立,求的取值范围.【解析】在上存在使得不等式成立,只需,由.当时,是减函数.当时,是增函数.是在上的最小值.而的取值范围为.【例2】设函数,若存在正数,使得成立,求实数的取值范围.【解析】存在正数,使得成立,即,即存在使得.令,则,令,则在上单调递增,且.当时,,即.当时,,即在上单调递减.在上单调递增,则,故,即实数的取值范围为.不等式能成立(存在性)求参数取值范围——分类讨论分论讨论法求不等式能成立的参数取值范围的步聚:第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).第二步:把不等式能否成立转化为最值问题.,.第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数的最值.【例1】已知函数,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.【解析】,且,令得.若在区间上存在一点,使得成立,其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.①当,即时,对成立,在区间上单调递减.故在区间上的最小值为.由得,即.②当,即时,i.若,则对成立.在区间上单调递减.在区间上的最小值为.显然,在区间上的最小值小于0不成立.ii.若,即时,则有 0 单调递减极小值单调递增在区间上的最小值为.由,得,解得,即.