模型21对称模型

模型21、对称模型【模型概述】对称法作为种具体的解题方法，虽然高考命题没有单独正面考查，但是在每年的高考命题中都有所渗透和体现。从侧面体现考生的直观思维能力和客观的猜想推理能力。所以作为种重要的物理思想和方法，相信在今后的高考命题中必将有所体现。【模型解题】在研究和解决物理问题时，从对称性的角度去考查过程的物理实质，可以避免繁冗的数学推导，迅速而准确地解决问题。

对称法是从对称性的角度研究、处理物理问题的一种思维方法，有时间和空间上的对称。它表明物理规律在某种变换下具有不变的性质。用这种思维方法来处理问题可以开拓思路，使复杂问题的解决变得简捷。如，一个做匀减速直线运动的物体在至运动停止的过程中，根据运动的对称性，从时间上的反演，就能看作是一个初速度为零的匀加速直线运动，于是便可将初速度为零的匀加速直线运动的规律和特点，用于处理末速度为零的匀减速运动，从而简化解题过程。具体如:竖直上抛运动中的速度对称、时间对称。沿着光滑斜面上滑的物体运动等具有对称性等，总之物理问题通常有多种不同的解法，利用对称性解题不失为一种科学的思维方法。

利用对称法解题的思路:①领会物理情景，选取研究对象;②在仔细审题的基础上，通过题目的条件、背景、设问，深刻剖析物理现象及过程，建立清晰的物理情景，选取恰当的研究对象如运动的物体、运动的某过程或某一状态;③透析研究对象的属性、运动特点及规律;④寻找研究对象的对称性特点。⑤利用对称性特点，依物理规律，对题目求解。【模型训练】【例1】（多选）如图所示，立方体的四个顶点、、、处各固定着一个电荷量均为的正点电荷，为连线的中点，为连线的中点。下列说法正确的是（）A．、两点处的电势相同 B．、两点处的电势相同C．、两点处的电场强度相同 D．、两点处的电场强度相同【答案】AB【详解】AC．设正方体中心为O，根据几何关系可知三角形ACH和ACF为全等的等边三角形。设A、C、H在D点产生的电场强度为E1，电势为φ1；A、C、F在B点处产生的电场强度为E2，电势为φ2。根据对称性可知φ1等于φ2，E1沿OD方向，E2沿OB方向。而F在D点产生的电场强度方向沿OD方向，H在B点产生的电场强度沿OB方向，根据对称性以及电场的叠加可知B、D两点电场强度大小相同、方向不同。而F在D点产生的电势与H在B点产生的电势相等，则根据电势的叠加可知B、D两点电势相等，故A正确，C错误；BD．根据对称性可知A、C两点在M产生的合场强为零，F、H两点在M产生的合场强沿OM方向；H、C两点在N产生的合场强为零，A、F在N产生的合场强沿ON方向，根据对称性以及电场的叠加可知M、N两点电场强度大小相同、方向不同。而A、C在M产生的电势与H、C在N产生的电势相等，H、F在M产生的电势又与A、F在N产生的电势相等，根据电势的叠加可知M、N两点电势相等，故B正确，D错误。故选AB。变式1.1（多选）如图所示，真空中有一边长为a的正立方体，在图中A、C、F三个顶点放上电荷量相等的负点电荷q，已知静电力常量为k，设无穷远处的电势为零，下列说法正确的是（）A．A处点电荷受到另两个点电荷对其作用力的合力大小为B．B点处的电场强度的大小为C．D、E、G三点电势相等D．将一电子先后置于H点和B点，电子在H点的电势能小于其在B点的电势能【答案】ACD【详解】A．A、C、F三点形成了一个等边三角形，有故A正确；B．B点处的电场强度是由三个点电荷各自产生的电场强度叠加而成的，合电场强度为，故B错误；C．D、E、G三点在电场中相对A、C、F三点的位置相同，故电势相等，故C正确；D．H点到三个固定负点电荷的距离大于B点到三个固定负点电荷的距离，所以，根据得到，故D正确；故选ACD。变式1.2如图所示，正方体ABCDA'B'C'D'的顶点A、D'处有带电量为－q（q>0）的点电荷，B、C'处有带电量为+q的点电荷，O点为正方体的中心，取无穷远处电势为0，则下列说法正确的是（）A．O点的电势为0B．O点场强为0C．A'与C点场强大小、电势均相同D．A'与C点场强大小、电势均不相同【答案】A【详解】AB．O点既位于AB的垂直平分面上，也位于C'D'的垂直平分面上，若取无穷远处电势为0，则等量异种电荷连线的垂直平分面上电势为0，所以O点的电势为0；等量异种电荷连线的垂直平分面上各点的电场强度方向平行于两电荷连线并指向负电荷一侧，所以A、B两点的点电荷在O点产生的合电场强度EO1方向平行于AB且指向ADD'A'面，且C'、D'两点的点电荷在O点产生的合电场强度EO2方向平行于C'D'也指向ADD'A'面，即EO1和EO2方向相同，所以O点场强不为0，故A正确，B错误；CD．因为A'到A和D'的距离大于其到B和C'的距离，所以A'点电势为负，同理可知C点电势为正，所以A'与C点电势不同；根据对称性可知，A和D'处点电荷在A'产生的合电场强度EA′1与B和C′处点电荷在C产生的合电场强度EC1相同，而A和D'处点电荷在C产生的合电场强度EC2与B和C′处点电荷在A′产生的合电场强度EA′2相同，根据平行四边形法则可知EA′1和EA′2的矢量和与EC1和EC2的矢量和相同，所以A'与C点场强相同，故CD错误。故选A。【例2】如图所示，在a、b两点固定着两个带等量异种电荷的点电荷，c、d两点将a、b两点的连线三等分，则（）A．c、d两点的电场强度大小相等，方向相反B．c、d两点的电场强度大小相等，方向相同C．从c点到d点，电场强度先增大后减小D．从c点到d点，电势先降低后升高【答案】B【详解】AB．带等量异种电荷连线的中点，c、d两点将a、b两点的连线三等分，所以c与d关于连线的中点对称，所以关于连线的中点对称的两点c与d的场强等大同向，故A错误，B正确；C．根据等量异种电荷电场线的分布，电场线密的地方场强大，反之电场线疏的地方场强小，所以在两点电荷连线上中点处场强最小，两边依次增大。所以从c到d点场强先变小后变大，故C错误；D．根据等量异种电荷电场线的分布可知，电场线由a指向b，电势越来越低，连线中点处的电势为0，d点电势为负，所以c点到d点电势一直减小，故D错误；故选B。变式2.1如图所示，M、N两点处分别固定有两个等量正点电荷，O点为MN连线中点，点a、点b为MN连线上到O点距离相等的两点，点c、点d为MN连线的中垂线上到O点距离相等的两点。下列说法中正确的是（）A．c点和d点处的电场强度相同B．b点比O点电势高C．b、c两点间电势差Ubc等于d、a两点间电势差UdaD．把一个不计重力的带负电的微粒从d点由静止释放，它将沿dc方向运动到无穷远处【答案】B【详解】A．根据等量同种电荷的电场分布可知，点和点的电场强度大小相等方向相反，A错误；B．沿电场线方向电势降低可知，点电势比点电势高。B正确；C．由对称性可知、两点的电势相等，、两点的电势相等，所以，，C错误；D．在等量同种电荷连线的中垂线上，点的电场强度为零，电场强度方向由指向和由指向，带负电微粒从点由静止释放，则在电场力作用下向点加速运动，过点后做减速运动，到达点，速度为零，然后向点加速运动，由于对称性，带负电微粒将会在点上下两侧之间往复运动，D错误。故选B。变式2.2如图所示，以两等量同种点电荷连线的中点O为圆心画圆，在圆上有a、b、c、d四点，b、d两点在两点电荷连线的中垂线上，下列说法正确的是（

）A．a点的电场强度大于c点的电场强度B．b、d两点的电场强度大小相等、方向相同C．负电荷在a点的电势能大于在c点的电势能D．将正电荷由b点沿直线移到d点，其受到的电场力先做负功后做正功【答案】D【详解】A．a、c两点关于O点对称，根据场强的叠加法则可知，a、c两点的电场强度大小相等，方向相反，故A错误；B．b、d两点关于O点对称，根据场强的叠加法则可知，b、d两点的电场强度大小相等，方向相反，故B错误；C．根据点电荷电势表达式可知可知a、c两点电势大小相等；根据电势能表达式可知电荷在a点的电势能等于在c点的电势能，故C错误；D．b点合场强方向向上，d点合场强方向向下，正电荷受到的电场力先做负功后做正功，故D正确。故选D。【例3】一段均匀带电的半圆形细线在其圆心O处产生的场强大小为E，把细线分成等长的圆弧、、，则圆弧在圆心O处产生的场强大小为()A．E B． C． D．【答案】B【详解】如图所示，B、C两点把半圆环等分为三段。设每段在O点产生的电场强度大小均为。AB段和CD段在O处产生的场强夹角为120°，它们的合场强大小为，则O点的合场强则故圆弧BC在圆心O处产生的场强为，ACD错误，B正确。故选B。变式3.1如图所示，正电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线．P、M为CD轴线上的两点，距球心O的距离均为，在M右侧轴线上点固定正点电荷Q，点、M间距离为R，已知P点的场强为零，若带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M点的场强为A．0 B． C． D．【答案】C【详解】根据P点的场强为零，得半球面对P点场强和点电荷Q对P场强等大反向，即半球面对P点场强大小为，方向向右；现只研究半球面，若补全右半球面，根据带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零，补全右半球面后，正电球面在P、M两点产生的电场强度均为零，由于对称性，左半球面对M点场强和右半球面对M点场强等大反向，左半球面P点场强和右半球面对M点场强等大反向，，即左半球面对M点场强为：，方向向右，点电荷Q对M点场强为，方向向左，叠加得M点合场强为，方向向左，故C正确，ABD错误。故选C。变式3.2如图所示，在竖直平面内固定个半径为R的绝缘圆环，有两个可视为点电荷的相同的带负电的小球A和B套在圆环上，其中小球A可沿圆环无摩擦的滑动，小球B固定在圆环上和圆心O的连线与水平方向的夹角为45°.现将小球A由静止释放，则下列说法中正确的有()A．小球A运动到圆环最低点Q的过程中电势能先增大后减小B．小球A速度最大处位于Q点的左端C．小球A恰好可以运动到P点D．小球到达圆环最低点Q时的速度大小为【答案】D【详解】A．小球A、B均带负电，则根据点电荷的特点可知，B固定，当A、B距离缩短时，电场力做负功，电势能增大，反之减小，由图可知，小球A运动到圆环最低点Q点的过程中，与B电荷的距离先增大后减小，则电势能先减小后增大，故A错误；B．延长BO交圆周与C点，作图如下小球在下降过程中，当小球A、B距离增大时，即AC段，电场力做正功，重力做正功，速度增大，CQ段，小球A、B距离减小，电场力做负功，重力做正功，PQ段，小球A、B距离减小，电场力做负功，重力做负功，小球速度减小，则可知小球速度最大处不位于Q左边，故B错误；C．小球在A、P两点相比，重力势能相同，但P点与B球距离更小，则A到P过程电场力做负功，电势能增大，则需要有外力做功才能到达P点，故C错误；D．由图几何关系可知，A、Q两点与B小球距离相同，则电势能相等，则A到Q过程中动能增加量等于重力势能减少量，可得解得故D正确。故选D。【例4】已知直导线中电流在周围空间产生的磁感应强度大小为B=k，k为常量，I为电流强度，r为到导线的距离。b、c、d三根长通电直导线垂直于纸面放置，电流方向如图所示，ac垂直于bd且ab=ad=ac，b、c、d三根导线中电流强度分别为I、I、2I。已知导线c在a点的磁感应强度大小为B，则a点处的合磁感应强度大小为（）A．B B．3B C．2B D．B【答案】A【详解】由于直导线c在a点处的磁感应强度大小为B，又因为b、c、d三根导线中电流强度分别为I、I、2I，且，所以直导线b在a点的磁感应强度大小也等于B，而直导线d在a点的磁感应强度大小等于2B，根据安培定则可判断方向如下图所示b和d直导线在a点产生的磁感应强度方向向左，合成后大小为3B，c直导线在a点产生的磁感应强度方向向下，大小为B，根据平行四边形法则，可知a点的磁感应强度大小为故BCD错误，A正确。故选A。变式4.1如图所示，a、b、c为三根与纸面垂直的固定长直导线，其截面位于等边三角形的三个顶点上，bc连线沿水平方向，导线中通有恒定电流，且，电流方向如图中所示。O点为三角形的中心（O点到三个顶点的距离相等），其中通电导线c在O点产生的磁场的磁感应强度的大小为B0，已知通电长直导线在周围空间某点产生磁场的磁感应强度的大小B=，其中I为通中导线的中流强度，r为该点到通中导线的垂直距离，k为常数，则下列说法正确的是（）A．O点处的磁感应强度的大小为3B0B．O点处的磁感应强度的大小为5B0C．质子垂直纸面向里通过O点时所受洛伦兹力的方向由O点指向cD．电子垂直纸面向里通过O点时所受洛伦兹力的方向垂直Oc连线向下【答案】A【详解】AB．根据右手螺旋定则，通电导线在点处产生的磁场平行于指向左方，通电导线在点处产生的磁场平行于指向右下方，通电导线在点处产生的磁场平行于指向左下方；根据公式可得根据平行四边形定则，则点的合场强的方向平行于指向左下方，大小为，故A正确，B错误；C．根据左手定则，质子垂直纸面向里通过点时所受洛伦兹力的方向垂直连线由点指向，故C错误；D．根据左手定则，电子垂直纸面向里通过点时所受洛伦兹力的方向垂直连线由点指向，故D错误；故选A。变式4.2如图所示，直线电流P和Q大小相等，处于磁感应强度大小为B0，方向平行于纸面的匀强磁场中，P的方向垂直纸面向里；Q的方向垂直纸面向外，两电流在纸面上的位置和M点恰好组成等边三角形，M点的磁感应强度为零。若仅把电流Q撤掉，则M点的磁感应强度变为（）A．大小为B0，方向与PM延长线成30°角B．大小为B0，方向与PQ平行C．大小为B0，方向沿PM延长线D．大小为B0，方向与PQ平行【答案】A【详解】设两导线在M点处的磁感应强度大小为B0。当P导线中方向向里，Q导线中方向向外时，根据安培定则知两导线在M点处的磁感应强度方向夹角为120°，合磁感应强度．如图所示：因为M点处的磁感应强度为零，则，可得，BP=B0。若仅把电流Q撤掉，则M点的磁感应强度大小为BP=B0，方向与PM垂直向右下方，如图所示：结合矢量的合成法则，则M点的合磁感应强度为B0，方向与PM延长线成30°角，A正确，BCD错误。故选A。【例5】如图所示，在x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直xOy平面向里．现有大量质量为m、带电量为＋q的粒子，以相同的速率v沿xOy平面从O点射入第一象限，不计重力，不计粒子间的相互影响．若图中的阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中，则下列选项中正确的是（）B．C． D．【答案】D【详解】粒子在磁场中做匀速圆周运动，以x轴为边界的磁场，粒子从x轴进入磁场后在离开，速度v与x轴的夹角相同，根据，知沿x轴正轴的刚好进入磁场做一个圆周，沿y轴进入的刚好转半个周期，如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方．A.图像与分析不符，故A错误．B.图像与分析不符，故B错误．C.图像与分析不符，故C错误．D.图像与分析相符，故D正确．变式5.1如图所示，水平虚线MN上方有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里．大量带正电的相同粒子，以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向，由小孔O射入磁场区域，做半径为R的圆周运动．不计粒子重力和粒子间相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子可能经过的区域，其中正确的是A． B．C． D．【答案】B【详解】由小孔O射入磁场区域，做半径为R的圆周运动，因为粒子带正电，根据左手定则可知粒子将向左偏转，故C错误；因为粒子以相同的速率沿位于纸面内水平向右到竖直向上90°范围内的各个方向发射，由O点射入水平向右的粒子恰好应为最右端边界且ON=R；在竖直方向上有最远点为2R，由O点竖直向上射入的粒子，打在最左端且距离为OM=2R，但是左侧因为没有粒子射入，所以中间会出现一块空白区域，故B正确，AD错误．所以B正确，ACD错误．变式5.2如图所示，在直角坐标系xoy中，x轴上方有匀强磁场，磁感应强度的大小为B，磁场方向垂直于纸面向外．许多质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速率v沿纸面内，由x轴负方向与y轴正方向之间各个方向从原点O射入磁场区域．不计重力及粒子间的相互作用．下列图中阴影部分表示带电粒子在磁场中可能经过的区域，其中R=mv/qB，正确的图是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】试题分析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，以轴为边界的磁场，粒子从轴进入磁场后在离开，速度与轴的夹角相同，根据左手定和，知沿x轴负轴的刚好进入磁场做一个圆周，沿y轴进入的刚好转半个周期，如图，在两图形的相交的部分是粒子不经过的地方，故D正确；考点：带电粒子在匀强磁场中的运动【例6】如图所示，在边长为L的正方形的每个顶点都放置一个点电荷。a、b、c三点的电荷量均为+q，d点的电荷量为2q，则正方形中点O的电场强度的大小和方向为（）A．，由O指向b B．，由O指向dC．，由O指向c D．，由O指向d【答案】B【详解】a、c两点对称分布，电荷量相同，故在O点的电场强度相互抵消，b、d两点对称分布，但电荷量不等，在O点的电场强度不能抵消，b点在O点的电场强度为方向由b到O；d点在O点的电场强度为方向由O到d；则O点的电场强度大小为，方向由O指向d，故ACD错误，B正确。故选B。变式6.1如图所示，正方形abdc的三个直角a、b、c处分别放置了三个电荷量相等的点电荷，a、b处的点电荷带正电，c处的点电荷带负电，e是bd的中点，O是正方形的中心，下列说法正