2021届高三数学（文理通用）一轮复习题型训练：《函数的单调性》（一）（含解析）

《函数的单调性》（一）

考查内容：主要涉及求各类函数的单调区间和利用定义法判断函数（含抽象

函数）的单调性

选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.函数/（x）=f+2%-3的递增区间为（）

A.(-00,-3]B.[-3,1]C.(一8,-1]D.[-1,+co)

2.函数/(x)=|x-2|的单调递增区间是()

A.(-00,2)B.(-co,0)C.(1,+<»)D.(2,+oo)

3.函数y=2三r+匕3的单调区间是()

■x-2

A.(-°0,+℃)B.(-co,0)

C.(^0,2),(2,+00)D.(f,2).(2,+oo)

4.函数/（无）=Jx2+—8的单调递减区间是（）

A.(-8,-4]B.(-<x>,-l]C.f-1,+00)D.[2,+co)

5.函数/(©=*—6x+8|的单调递增区间为()

A.[-3,+00)B.(-00,2),(4,+oo)

C.(2,3),(4,+8)D.(-a),2],[-3,4]

2

6.当4>0时，/(%)=%+-,则的单调递减区间是()

x

A.(2,+oo)B.(0,2)C.(72,+oo)D.(0,夜)

7.函数/（x）=ln（x+2）+ln（4—月的单调递减区间是（)

A.(-2,4)B.(-2,1)C.(1,4)D.(1,2)

8.函数/(%)=2十+1的单调增区间是()

A.[-1,+00)B.(-oo,-l)C.(-oo,0)D.(0,+co)

9.函数/5）=（；）庐“的单调递增区间为（）

1、

A.(-oo,,+oo)D.(-,+oo)

10./（%）=1°81（二一2万-3）的单调递增区间是（）

2

A.（1,-Hx＞）B.（7,1）C.D.（3+oo）

11.函数〃x）=log3（—/+4x+5）的单调减区间是（）

A.（9,2）B.（2,+oo）C.（2,5）D.（-1,2）

12.函数/（x）的递增区间是（—2,3）,则函数y=/（x+5）的递增区间是（）

A.（3,8）B.（-7,-2）C.（-2,3）D.（0,5）

填空题

13.函数=1的单调增区间为____________.

A/X2-2X-3

14,函数/（x）=logL（6—龙一£）的单调递增区间是

2

15.已知函数“X）是定义域为R的奇函数，当时，/（尤）=%2一x+1,那么当

%＜0时，/（X）的单调递增区间是.

16.若定义域为［。一2M+4］的函数/（》）=一（。+2）X2+（左-1）*-。是偶函数，贝!］

y=|/（x）|的递减区间是.

三.解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

X

17.已知函数〃月=工工.

（1）判断并证明函数“X）的奇偶性；

（2）判断当xw（—l,l）时函数/（x）的单调性，并用定义证明；

（3）若/（X）定义域为（T1）,解不等式〃2x—l）+/（x）＜0.

双函数小户震2

是定义在（T，l）上的奇函数，且/不=

5

（1）求函数f（x）的解析式;

（2）用定义证明:/。）在（-L1）上是增函数;

(3)解不等式:/(/-1)+/(力<。

19.讨论函数/(x)=1<%<1,«^0)的单调性.

X1

20.函数/(£)的定义域为(0,+?),且对一切为>o,y>0,都有

d="x)一小)，当">1时,有"”>0.

(1)求/(I)的值；

(2)判断“X)的单调性并证明；

(3)若/'(6)=1,解不等式/(%+3)-/己］<2.

21.已知定义在(—8,0)1(0,+8)上的函数/(X)满足：

①对任意X,ye(-co,0)u(0,+co),/(x-y)=/(x)+/(y)；②当%>1时,

/W>0,且"2)=1.

(1)试判断函数的奇偶性.

(2)判断函数/(幻在(0,+8)上的单调性.

(3)求函数/(处在区间［—4,0)。(0,4］上的最大值.

(4)求不等式/(3x—2)+/(x)..4的解集.

22.已知定义在R上的函数/(x)满足:对任意x,ywR都有

/(x+y)=/(x)+/(y),且当尤>0时，f(x)>0.

⑴求〃0)的值，并证明“X)为奇函数；

⑵判断函数的单调性，并证明；

(3)若/(4•2，)+/(4，+|—8<2，)>。对任意兀«一回恒成立，求实数人的取值

范围.

《函数的单调性》(一)解析

1.【解析】函数〃力=三+2%—3的对称轴是产-1,开口向上,

根据二次函数的性质可得单调增区间是[-L+S).故选:。.

,,fx-2,x>2,

2.[解析]x—2=°

11[-x+2,x<2,

.••/(x)的单调递增区间为(2,+s),故选：D.

3.【解析】函数y=^±l=2(x—2)+7♦工+2,

x—2x—2x—2

7

由函数y二一向右平移2个单位，向上平移2个单位后得到的，

x

所以函数函数y=亍1的单调区间是(f,2),(2,+8).故选：c.

4.【解析】由无2+2%—820可得Y或%>2,

.•・函数的定义域为(f,Y][2,y),设“=必+2》一8,则,="《，

y=-(〃N0)是单调递增函数=必+2x—8在定义域上的减区间(f,-41

即为函数y=y/x2+2x-3的单调减区间是(一8,-4],故选A.

x~—6x+8x<2^x>4

5.【解析】/(X)=|X2-6X+8|

—x~+6x—82<x<4

所以/(x)递增区间是(2,3),(4,内).故选:C.

6.【解析】因为当X>0时，，则/(x)=x+2；.广(x)=l—士=二2^

XXX

因此所求的单调递减区间为(0,0),选D

7.【解析】根据题意，根据题意，函数/(x)=ln(x+2)+ln(4—x),

(%+2>0

有4—%>0,解可得—2<%<4,即函数的定义域为(—2,4)；

则/(x)=ln(x+2)+ln(4—x)=ln(—%?+2无+8),

令/=一%2+2%+8，-2<x<4，则彳〉0，则y=ln/,为增函数,

若函数/(X)=ln(x+2)+ln(4—x)=ln(—x2+2无+8)为减函数，

则/=—必+2%+8为减函数，其对称轴为％=1，则其递减区间为(1,4)；

则函数函数/(x)=ln(x+2)+ln(4—%)的单调递减区间是(1,4)；故选C.

8.【解析】/(x)=2+叫分解为：y=2"和〃=—卜+1|两个函数

—X—1—1

y=2"在R上单调递增，u=-|x+l|='在(—8,—D上单调递增,

在［-1,+8)上单调递减，根据复合函数单调性得到：/(%)=2十+1在(f,-1)上单调

递增，故选：B

9.【解析】由/-X-1沙，得xw匕包或了»二二5，

函数/=%2_%—1在(-如匕好］上为减函数，在

上为增函数,

2

在/e［0,+o))上是减函数，函数/(无)的单调递增区

间为(-oo,匕好］.故选：A.

2

10.【解析】根据复合函数单调性的判断原则，即求)=/-2%-3的单调递减区间，

且/_2尤—3>0，由二次函数的图象可知单调递减区间为x<l

解不等式尤2—2x—3>0得x>3或％<—1，综上可知，/(九)=l°gj(7一2%一3)的

单调递增区间为x<-1,即XG(F,—1),所以选C

11.【解析】由题：-X2+4X+5>0>(X+1)(X-5)<0,解得：xe(-l,5),

〃x)=log3(—£+4%+5)的减区间，即y=—V+4x+5的减区间，对称轴为％=2

结合二次函数单调性，所以/(月=1。83(—/+4%+5)的减区间(2,5).故选：C

12.【解析】函数y=/(x+5)是函数/(x)向左平移5个单位得到的，

•函数在区间(—2,3)上是增函数，

.•.丁=〃X+5)增区间为(—2,3)向左平移5个单位，即增区间为(—7,—2),故选B.

13.【解析】函数由，=爰，/=2%—3复合而成，

f=/一2无一3>0nx>3如<—1单调递减，

则。=/一2%一3的减区间为(f,T)即为函数/(%)=rr-的增区间，

yx—2%—3

1

所以/(%)=的增区间为(一处一1).

yj—2.x—3

14.【解析】Q6-X-X2>0/.-3<%<2

当—!<x<2时，“=6—%—必单调递减，而/(x)=l°g["也单调递减，

22

所以/(龙)=1七(67—无2)单调递增，故答案为：

15.【解析】设》<0,则一%>0，由当％>0时，f(x)=x2-x+l,

所以/(—x)=(—工)？—(―x)+l=x2+x+l,BP—f(x)=x2+x+1,

所以当x<0时，f(x)=-x2-x-l,

二次函数的对称轴：X=-1,开口向下，

(11(11

所以当X<0时，的单调递增区间是—8,一彳.故答案为：—8,一77

I2」I2」

16.【解析】•定义域为[a—2,。+4]的函数/(%)=—(a+2)f+(k—l)x—a是偶函

数，：•q_2+q+4=0,左=1,：•a=—],；♦/(九)=一丁+1(无w[—3,3])

，y=|/(x)|的递减区间是(―3,—1),(0,1)(或者[―3,—1],[0,1])

故答案为：(―3,—1),(0,1)(或者[—3,—1],[0,1])

17.【解析】⑴函数八%)为奇函数.证明如下：

/(X)定义域为R，又/(f)=+]=-号=-/(%),：.f[x}=-^

为奇函数.

(2)函数〃%)在(-1,1)为单调函数.证明如下:

任取-1<再<%2<1，贝U

f(\_f(、_/______「2_X\X2+-y1-X2X1-X2

‘⑻Y一八”Y2卜声一才一解+*考+1)

石工2(X2一百)一(%2-X1)(%2—石)(%1入2—1)

(才+欣+1)(片+l)(x；+l)

.—(X-I)

-W+l)(x；+l)0)即

-1<XJ<x2<1,z.x2-%1>0,xrx2-1<0,

y（x,）</（%2）,故y（x）=7、在（-1,1）上为增函数.

(3)由⑴、(2)可得/(2X—1)+/(X)<0O/(X)<—/(2JV—1)=/(1—2X),

x<l-2x

则{—1<X<1,解得:0<x<』,

3

-1<2%-1<1

所以，原不等式的解集为｛x|0<x<；｝.

Z7V+卜

18.【解析】（1）/（劝="一是定义在（-1,1）上的奇函数,

1+x

1

一a

2_2

/./(0)=0,.tb=0.又，f『二'

1+1

'"1.经检验.=1]=°符合题意..・J(x)=R,xe(—1,1).

(2)设一1V%<%2<1，贝U

22

]+Xj1+X,2

_X]彳2+/马？_(%1-九2)(1-X九2)

2222

2

-l<x1<x2<1,xx-x2<0,1-xxx2>0,1+x/>0,1+x2>0,

:.f(xl)-f(x2)<0,.-.f(xI)<f(x2),所以/(x)在(-L1)上是增函数.

（3）;/（x）是定义在（-M）上的奇函数,

.•.由加一1)+加)<。,得f(t-1)<-f(t)=/(T),

-1<Z-1<1

又一/（x）是定义在（Tl）上的增函数，—1<T<1

1（

解得Ov/v—,所以原不等式的解集为0,不•

2\2）

axxax2

【解析】设一贝!］於1）~/（X2）=

19.X；-[X；-]

—1)一〃12(%；-1)_。石光；-ax}-ax2x^+ax2

■T(刘T)(X1-1)(x2-1)

。再%2(%2—石)—a(%2—a(%2一尤1)(%1尤2-1)

(%12-1)(%2-1)(xf-l)(x；-1)

*.*—1<x1<X2<1,.*.x1<0,x]—1<0,X2—Xl>0,XiX2—1<0,

(x2-x1)(x1x2-1)

卜2T卜2_])<°，，当«>0时，危1)/X2),f(X)为增函数.

当〃＜0时，危。次X2）,f（x）为减函数.

20.【解析】(1)令x=y>0,则/(l)=/(x)—/(x)=0,所以/(1)=0；

/、

⑵任取%式。，”），且再＜/，贝（九2）-/（石）=/

1石J

(、

%2>

再>0,...三>1=/—>0,/(x2)-/(x1)>0,

x\I%J

即/（%2）＞/（%），所以〃%）在（。,+°°）上是增函数；

（3）因为/（6）=1,所以/（36）—/（6）=/（6）,所以/（36）=2/（6）=2.

由〃％+3）-/口］＜2,得/（公+3司＜/（36）,

x+3>0

x>-3

所以<,>。=>3后-3

<x>0n0<%<

x2

-3-3折

x+3x<36<x<

、22

（3而-3、

所以原不等式的解集为0,---

21.【解析】⑴令x=y=l,则/(1义1)=/(1)+八1),得"1)=0；

再令x=y=—l,则开（一1）.（-1）］=/（—1）+/（-1）,得y（_i）=o.

对于条件/Oy)=/(%)+/(y),令y=-L,则/(一%)=。(乃+/(—1),

/(-x)=/(x).又函数/(X)的定义域关于原点对称,

函数/(X)为偶函数.

(2)任取]],X?e(0,+oo),且X]<x,,则有二~>1.

■须

又：当龙〉1时，/(%)>0,f上>0.

<xiJ

而〃X2)=/网•工=/(^)+/三>/(%1),即/(%2)>/(再)，

IXJIXJ

...函数/'(X)在(0,+8)上是增函数.

⑶V/(4)=/(2x2)=/(2)+/(2),且42)=1,.•"(4)