高三数学模拟试题汇编：概率统计（教师版）

优质模拟试题分类汇编(新高考卷)

概率与统计

板块一：热门考点梳理

一.二项分布

1.〃重伯努利试验的概念

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验，将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组

成的随机试验称为〃重伯努利试验.

2.〃重伯努利试验具有如下共同特征

(1)同一个伯努利试验重复做〃次；

(2)各次试验的结果相互独立.

3.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为P(0<P<1),用X表

示事件A发生的次数，则X的分布列为：P(X=k)=CPk(I-Pyi,k=0,1,2,…〃,如

果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作

X~B(n,P)

4.一般地，可以证明：如果X~B5,p),那么EX=卬,。X=叩—

二.超几何分布

超几何分布模型是一种不放回抽样，一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，

从N件产品中随机抽取“件(不放回)，用X表示抽取的〃件产品中的次品数，则X的分布

列为P(X=Q=C：CgZk=m,m+l,m+2,…,r.

CN

其中N9Λ∕∈N*9M<N9n<N9/n=max{0,〃-N+Λ∕},r=min{n,M}.如果随机变

量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布.

2.超几何分布的期望

E(X)=^〃p(p为N件产品的次品率).

三.二项分布与超几何分布的区别

L看总体数是否给出，未给出或给出总体数较大一般考查二项分布，此时往往会出现重要

的题眼“将频率视为概率”∙

2.看一次抽取抽中“次品”概率是否给出，若给出或可求出一般考查二项分布.

3.看一次抽取的结果是否只有两个结果，若只有两个对立的结果A或入，一般考查二项分

布.

4.看抽样方法，如果是有放回抽样，一定是二项分布；若是无放回抽样，需要考虑总体数

再确定.

5.看每一次抽样试验中，事件是否独立，事件发生概率是否不变，若事件独立且概率不变，

一定考查二项分布，这也是判断二项分布的最根本依据.

6.把握住超几何分布与二项分布在定义叙述中的区别，超几何分布多与分层抽样结合，出

现“先抽，再抽”的题干信息.

3.二项分布

一般地，在，，重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为“(0<"<l),用X表

示事件A发生的次数，则X的分布列为：P(X=k)=C：Pk(I-p)i,k=0,1,2,…〃,如

果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作

X-B(n,p)

4.一般地，可以证明：如果X~B5,p),那么EX=卬,OX=叩—

四.二项分布的两类最值

(1)当P给定时，可得到函数/(Z)=GPR-p)j,%=0,1,2,…〃，这个是数列的最值

问题.

Pk=G'P"I-。尸=(〃一&+1)〃=)+5+1)夕-％=ɪ+(〃+i)p-c

~P∑~GRT(I-P)…一k("p)~kQ—p)-k(l-p),

分析：当用<("+DP时,Pk>Pk-I，P/随攵值的增加而增加；当左>("+l)P时,

Pk<Pk-I,随左值的增加而减少.如果(〃+1)P为正整数,当左=整+Dp时，PLP*τ,

此时这两项概率均为最大值.如果5+1)〃为非整数，而攵取5+1)P的整数部分，则0是

唯一的最大值.

注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量A-等于期望时，概率最大.

(2)当攵给定时，可得到函数/(P)=C：p*(l-p)i,pe((),l),这个是函数的最值问题，

这可以用导数求函数最值与最值点.

kkk

分析：.r(P)=c：[zpi(1-py--p(∏-Q(I-pγ--']

k

=C：pi(1-py--'[k(i-p)-(n-k)p]=C：pi(1-PyiT(k-np).

当左=1,2,…,〃一1时，由于当p<K时，If(P)>0,/(P)单调递增，当p>K时，

nn

Lr々

f'(p)<0,/(P)单调递减，故当P=-时，/(P)取得最大值，/(p)m,χ=∕(力.又当

nn

p→Q,f(p)→l,当p→0时，/(p)→0,从而/(P)无最小值.

五.复杂概率计算

(1)善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”，例

如：A,表示“第i局比赛胜利”，则%表示“第i局比赛失败”.

(2)理解事件中常见词语的含义：

Al中至少有一个发生的事件为AU3；4,8都发生的事件为A8；AI都不发生的事件为了

B;A,B恰有一个发生的事件为A万!J彳3；A,8至多一个发生的事件为4万UZBUW万.

(3)善于“正难则反”求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再

用P(A)=1-P(A)解出所求事件概率.

六.条件概率

1.条件概率定义

一般地，设A,B为两个随机事件，且P(A)>0,我们称P(BlA)=上也为在事件A发

P(A)

生的条件下，事件8发生的条件概率，简称条件概率.

可以看到，P(BlA)的计算，亦可理解为在样本空间A中，计算AB的概率.于是就得到

〃(AB)

计算条件概率的第二种途，即P(BlA)=运2=W等="

n(Λ)n{A}P(A)

n(Ω)

特别地，当P(BIA)=P(8)时，即A,B相互独立，则P(AB)=P(A)P(B).

2.条件概率的性质

设P(A)>0,全样本空间定义为O,则

(1)P(C∣A)=1;

(2)如果B与C是两个互斥事件,则P((BUC)IA)=P(BIA)+P(C∣A);

(3)设事件A和8互为对立事件，则P国A)=I-P(用A).

七.全概率公式与贝叶斯公式

在全概率的实际问题中我们经常会碰到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用“化

整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑

一般地，设A”A2,4"是一组两两互斥的事件，ΛlkJA2u...oAπ=Ω,且P(d)>0,

/=1,2,…，"，则对任意的事件B=C,有P(B)=力尸⑷P(Bla).

Z=I

我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一.

2.贝叶斯公式

设Aι,A2,...,A”是一组两两互斥的事件，A1uA2u...uAll=Ω,且P(Λ,)>0,ι=l,2,

",则对任意事件BqΩ,P(B)>0,

有P(AlB)=P(A4)=,P(4)P()A),i=1,2,…在贝叶斯公式中,p(a)和

)∑P(Λ)P(B∣Λ)

k=∖

P(AIB)分别称为先验概率和后验概率.

A.一维随机游走与马尔科夫链

1.转移概率：对于有限状态集合S,定义：Pij=P(X“+EIXg)为从状态i到状态J的转

移概率.

2.马尔可夫链：若P(Xx,5XL，…，Xi)=P(XIx,τ)=与，即未来状态

XM只受当前状态X,的影响，与之前的X,I,X,L2,…，X0无关.

3.一维随机游走模型.

设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻/=()时，位于点x=i(i∈N+),下一

个时刻，它将以概率α或者£(αe(0,l),α+4=l)向左或者向右平移一个单位.若记状

态X修表示：在时亥卜该点位于位置X=i(iGN+),那么由全概率公式可得：

P(Xq=p(χ,=,τ)∙ax,+’IXTT)+P(X,=H)p(x,+®IXIM)

另一方面，由于AX,+®IXyT)=β,a%+®Iχ,=,∙+l)=a,代入上式可得：

Pi=a-Pi+l+βPi,l.

进一步，我们假设在％=()与无=m(〃2>0,根6^^)处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时

被吸收，不再游走.于是，E=0,2=1.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程.

进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为。，原地不动，其

概率为向右平移一个单位，其概率为C,那么根据全概率公式可得：

Pi^a-Pi+l+b-Pi+c∙Pi,i

有了这样的理论分析，下面我们看全概率公式及以为随机游走模型在2019年全国1卷中的

应用.

九.统计

L线性回归方程与最小二乘法

(1)回归直线方程过样本点的中心叵,力，是回归直线方程最常用的一个特征

(2)我们将a=以+6称为Y关于X的线性回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式,

其图形称为经验回归直线.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的h,a叫做b,

Σ(%-5)(%-5)∑^>,,∙-^∙y

6=旦

a的最小二乘估计(IeaStSqUareSeStimate),其中∑(λ.^ς)2Σχ,2-≡2

Z=I/=I

a=y-bx.

(3)残差的概念

对于响应变量y,通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的£称为预测

值，观测值减去预测值称为残差.残差是随机误差的估计结果，通过残差的分析可以判断

模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分

析.

(4)刻画回归效果的方式

(i)残差图法：作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估

计值等，这样作出的图形称为残差图.若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状

区域越窄，则说明拟合效果越好.

(H)残差平方和法：残差平方和£()，,-%)2,残差平方和越小，模型拟合效果越好，残差

平方和越大，模型拟合效果越差.

(iii)利用户刻画回归效果：决定系数配是度量模型拟合效果的一种指标，在线性模型中,

Z(»-y∣y

它代表解释变量客立预报变量的能力.R2=19J_二，R2越大，即拟合效果越好，R2

∑V~*((3f,-y—\)2

/=1

越小，模型拟合效果越差.

例1.(2023届武汉9月调研)某商场推出一项抽奖活动，顾客在连续抽奖时，若第一次中

奖则获得奖金10元，并规定：若某次抽奖能中奖，则下次中奖的奖金是本次中奖奖金的两

倍；若某次抽奖没能中奖，则该次不获得奖金，且下次中奖的奖金被重置为10元.已知每次

中奖的概率均为1，且每次能否中奖相互独立.

(1)若某顾客连续抽奖10次，记获得的总奖金为4元，判断EG)与25的大小关系，并说

明理由；

(2)若某顾客连续抽奖4次，记获得的总奖金为X元，求E(X).

解析：(1)E(⅞)>25,理由如下：抽奖10次时，记中奖次数为丫，则丫~8[0,；).

若每次中奖的奖金为固定10元,则此时总奖金的期望值为E(IOy)=IOE(y)=10xl0x；=25.

由题意，连续中奖时，奖金会翻倍，故总奖金必大于每次中奖的奖金为固定10元的情况.

所以矶外>25.

(2)X的所有可能取值为0,10,20,30,40,70,150.

108

P(X=

256

P(X=20)=3∙

P(X=7O)=2∙

H其分布列为:

P(X=I50)=

⑷256

X01020304070150

811082727661

P

256256256256256256256

S108M27CC27“八6CC6…1405

E(X)=10×-----F20×------F30X------卜40X-------F70×-------F150×-----=-----

'725625625625625625632

例2(福建省部分地市2023届高三第一次质量检测)校园师生安全重于泰山，越来越多的

学校纷纷引进各类急救设备.某学校引进M,N两种类型的自动体外除颤器(简称AED)

若干，并组织全校师生学习AED的使用规则及方法.经过短期的强化培训I,在单位时间内，

选择M,N两种类型AED操作成功的概率分别为1和T,假设每次操作能否成功相互独立.

(1)现有某受训学生进行急救演练,假定他每次随机等可能选择M或N型AED进行操作，

求他恰好在第二次操作成功的概率；

(1)为激发师生学习并正确操作AED的热情，学校选择一名教师代表进行连续两次设备

操作展示，下面是两种方案：

方案甲：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，若第一次对某类型

AED操作成功，则第二次继续使用该类型设备；若第一次对某类型AED操作不成功，则第

二次使用另一类型AED进行操作.

方案乙：在第一次操作时，随机等可能的选择M或N型AED中的一种，无论第一次操作是

否成功，第二次均使用第一次所选择的设备.

假定方案选择及操作不相互影响，以成功操作累积次数的期望值为决策依据，分析哪种方案

更好？

解析：(1)设“操作成功”为事件S,“选择设备ΛT为事件A,“选择设备W为事件B

1O1

由题意，P(A)=P(B)=/,P(SlA)=§,P(S忸)=］恰在第二次操作才成功的概率

_12117

P=P(S)P(S),P(S)=P(A)P(Sl4)+P(B)P(Sl8)=5Xg+5X5=正，

_s573S

P@=⑸=F所以恰在第二次操作才成功的概率为Irlr再∙

（2）设方案甲和方案乙成功操作累计次数分别为X,Y,则X,y可能取值均为0,1,2,

P(X=0)=P(A)P(SIA)P(SIB)+P(B)P(E∣B)Pf∣A)

1

=—×

2

P(X=D=P(A)P(gIA)P(SIB)+P(A)P(S14)P(M∣A)

+P(B)P(MIB)P(S∣A)+P(B)P(S∖B)P(S∣B)

35

72

12211125

P(X=2)=P(A)P(SIA)P(S∣A)+P(B)P(S∣B)P(S∣B)=±×±×±+l×l×A=-.

23322272

1352585

所以E(X)=Ox∕x五+2x五=

72

方法一:P(y=0)=P(A)P(SIA)P(51A)+P(B)P(S∣B)PG∣B)

P(Y=1)=P(A)P(SIA)P(SIA)+P⑷P(S∣A)P(S∣A)

+P(B)PgIB)P(SIB)÷P(B)P(S∖B)P(S∖B)

12211125

p(y=2)=P(A)P(SlA)P(SlA)+P(B)P(SIB)P(SIB)=Δ×±×±+±×±×A=-.

23322272

13177

所以E(Y)=0x—+lx—+2X—

v77236726

方法二：方案乙选择其中一种操作设备后，进行2次独立重复试验,

12I17

所以E(y)=7x2x7+qχ2x7=

23226

决策一：因为E（X）＞石（丫），故方案甲更好.

决策二：因为E（X）与E（V）差距非常小，所以两种方案均可

例3（福建省泉州市2023届高三毕业班质量检测一）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众

喜爱，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，某数学建模小组为了获得茶水温度＞℃关于

时间Mmin）的回归方程模型，通过实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下,

茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到如下所示散点图.

八温度温

90•

80-•

70-∙e

60-°•

50•

40-

*一一，

。123456时间∕min

£(为一天)(S-而)

ʃω∑Q-T)(X-刃

/=I,=1

73.53.85-95-2.24

_]7

表中：0j=ln(y-25),而=亍2例

//=I

(1)根据散点图判断，①y=α+6与②y=d∙c'+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于

时间X的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立该茶水温度y关于时间X的回归方程：

(3)已知该茶水温度降至6(ΓC口感最佳，根据(2)中的回归方程，求在相同条件下冲泡

的茶水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

附：①对于一组数据("EM%©，，(练M)，其回归直线V=G+Λ/的斜率和截距的最小

二乘估计分别为6=上匕----------*=v-βuz

∑(M∕-W)2

i=}

②参考数据：e^008≈0.92,e409≈60,ln7≈1.9,In3≈l.l,ln2≈0.7.

解析：(1)根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②y="∙c*+25

更适宜此散点的回归方程.

(2)由y=<∕∙c*+25有：y-25=d∙c',两边取自然对数得：In(>∙-25)=ln(<∕cx)=∖nd+x∖nc,

设勿=In(y-25),a=∖nd,⅛=Inc,

则ln(y-25)=lnd+x∙lnc化为：ω=bx+af又X=---------------------------=3,

E(%-可®,-可224

∙,∙∑(x∕-ɪ)2=28,:.b-=-0.08,

/=I28

Z=I

.∙.a=ω-bx=3.85+0.08×3=4.09,由b=-0.08=InC得：C=e^0°8

由0=4.09=lnd得：J=e409

x4908jt40908jt

•••回归方程为:y=J∙c+25=e'°.e^-+25=e-°+25,

409008x

gpy=e^+25.

(3)当y=60时,代入回归方程y=e4x*+25得:60=/°*MU)&,+25，化简得：35=e409^.

即4.09-0.08x=ln35,

又e^008≈0.92,e409≈60,ln7≈1.9,ln3≈l.l,ln2«0.7,

二4.09—0.08x=In35约化为：ln60-0.08x=ln35,

12

即0.08x=ln60-ln35=Iny=lnl2-ln7=(21n2+ln3)-ln7≈2×0.7+l.l-1.9=0.6

∙∙∙X之黑=7.5大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感•

例4(广东省佛山市2023届高三教学质量检测一)近几年，随着生活水平的提高，人们对

水果的需求量也随之增加,我市精品水果店大街小巷遍地开花,其中中华狮猴桃的口感甜酸、

可口，风味较好，广受消费者的喜爱.在某水果店，某种狒猴桃整盒出售，每盒20个.已知各

盒含0,1个烂果的概率分别为0.8,0.2.

(1)顾客甲任取一盒，随机检查其中4个掰猴桃，若当中没有烂果，则买下这盒狮猴桃，否

则不会购买此种舜猴桃.求甲购买一盒舜猴桃的概率：

(2)顾客乙第1周网购了一盒这种狮猴桃，若当中没有烂果，则下一周继续网购一盒；若当

中有烂果，则隔一周再网购一盒；以此类推，求乙第5周网购一盒舜猴桃的概率

解析：(1)由题意可得：甲不购买一盒掰猴桃情况为该盒有1个烂果且随机检查其中4个时

C3

抽到这个烂果，甲购买一盒猾猴桃的概率尸=l-0∙2*∙F券=0.96.

。20

(2)用y”表示购买，“x”表示不购买，乙第5周购买有如下可能:

第1周第2周第3周第4周第5周

√√√√√

√×√√√

√√X√√

√X√X√

√√√X√

故乙第5周网购一盒舜猴桃的概率

P=（0.8）4+0.2×0.8×0.8+0.8×0.2X0.8+0.2X0.2+0.8×0.8×0.2=0.8336.

例5（广东省深圳市2023届高三第一次调研）某企业因技术升级，决定从2023年起实现新

的绩效方案.方案起草后，为了解员工对新绩效方案是否满意，决定采取如下“随机化回答

技术”进行问卷调查：

一个袋子中装有三个大小相同的小球，其中1个黑球，2个白球.企业所有员工从袋子中有

放回的随机摸两次球，每次摸出一球.约定“若两次摸到的球的颜色不同，则按方式I回答

问卷，否则按方式∏回答问卷

方式I：若第一次摸到的是白球，则在问卷中画“。”，否则画“x”；

方式H：若你对新绩效方案满意，则在问卷中画“。”，否则画“x”.

当所有员工完成问卷调查后，统计画。，画X的比例.用频率估计概率，由所学概率知识即

可求得该企业员工对新绩效方案的满意度的估计值.其中满意度

企业所有对新绩效方案满意的员工人数,nnoz

=---------企业所有员工人数---------XKX）/°.

（1）若该企业某部门有9名员工，用X表示其中按方式I回答问卷的人数，求X的数学期

望；

（2）若该企业的所有调查问卷中，画“。”与画“x”的比例为4：5,试估计该企业员工对新绩

效方案的满意度.

解析：（1）每次摸到白球的概率弓，摸到黑球的概率为《，每名员工两次摸到的球的颜色不

ɔ5

214

同的概率P=C；x§x§=§,由题意可得：该部门9名员工中按方式I回答问卷的人数

所以X的数学期望E（X）=9x?=4.

（2）记事件A为“按方式I回答问卷“，事件B为“按方式∏回答问卷”，事件C为“在问卷中

画。”.由⑴知P(A)=尸⑻=I-P(A)=[,P(A)P(C∣A)=P(AC)=∣×^=∣.

VP(C)=2=C，由全概率公式尸(C)=P(A)P(ClA)+P(B)P(C∖B),则∣=→∣P(C∣β),

解得P(C忸)=；=0.4,故根据调查问卷估计，该企业员工对新绩效方案的满意度为40%.

例6(广州市2023届高三一模)世界卫生组织建议成人每周进行2.5至5小时的中等强度运

动.已知A社区有56%的居民每周运动总时间超过5小时，8社区有65%的居民每周运动总

时间超过5小时，C社区有70%的居民每周运动总时间超过5小时，且A,B,C三个社区的

居民人数之比为5:6:9.

(I)从这三个社区中随机抽取1名居民，求该居民每周运动总时间超过5小时的概率；

(2)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且

X~N(5.5,〃).现从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少有两名居民每周运动总时间为

5至6小时的概率.

解析：(1)因为AB,C三个社区的居民人数之比为5:6:9,设AB,C三个社区的居民人数为

5a,6a,9a,所以A社区每周运动总时间超过5小时的人数为：5α∙56%=2.84,B社区每周

运动总时间超过5小时的人数为：6t∕∙65%=3.9α,C社区每周运动总时间超过5小时的人

数为：9β∙70%=6.30,该居民每周运动总时间超过5小时的概率

n2.8a+3.9a+6.34八NU

Fj=----------------------=θ,oɔ.

5a+6a+9a

(2)因为这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量X(单位：小时)，且

X~N(5.5,4),所以P(X>5.5)=0.5,由(1)知，P(X>5)=0.65,

所以P(5<X<55)=0.65-0.5=0.15,因为随机变量X服从正态分布，且关于X=5.5对称，

所以P(5<X<6)=2P(5<X<5∙5)=0.3,所以从这三个社区中随机抽取3名居民，求至少

23

有两名居民每周运动总时间为5至6小时的概率为：P2=Cj(0.3)(0.7)+eʒ(0.3)=0.216.

例7(湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研)口袋中共有7个质地和大小均相同的小

球，其中4个是黑球，现采用不放回抽取方式每次从口袋中随机抽取一个小球，直到将4

个黑球全部取出时停止.

(1)记总的抽取次数为X,求E(X)；

(2)现对方案进行调整：将这7个球分装在甲乙两个口袋中，甲袋装3个小球，其中2个

是黑球；乙袋装4个小球，其中2个是黑球.采用不放回抽取方式先从甲袋每次随机抽取一

个小球，当甲袋的2个黑球被全部取出后再用同样方式在乙袋中进行抽取，直到将乙袋的2

个黑球也全部取出后停止.记这种方案的总抽取次数为匕求E(Y)并从实际意义解释E(V)

与(1)中的E(X)的大小关系.

解析：(1)X可能取值为4,5,6,1,

P(X=4)=∣⅛P(A5)普套P(X=6)咯嘿,(X=7)咯嗡

32

E(X)=4-6X竺+7、竺

35353535T

(2)Y可能取值为4,5,6,7,设甲袋和乙袋抽取次数分别为升和X,

p(y=4)=p(χ=2)p化=2)=Ii卷q,

P(y=5)=Pa=2)P化=3)+P(χ=3)P化=2)f+3会晨，

P(y=6)=P(K=2)P(=4)+P(K=3)P化=3)=「.1+言《=4

'-ɜ'-x4'-31ð

p(y=7)=p(χ=3)p化=4)=∣i∖.,

E(y)=4χ-J-+5χ∙^∙+6χN+7χ9=6.

v'18181818

在将球分装时，甲袋中的黑球取完后直接取乙袋，若此时甲袋中还有其它球，则该球的干扰

作用己经消失，所以同样是要取出4个黑球，调整后的方案总抽取次数的期望更低.

例8(江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试)第二十二届卡塔尔世界杯足球赛

(FIFAWoHdCUPQatar2022)决赛中，阿根廷队通过扣人心弦的点球大战战胜了法国队.某校

为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，

随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如表所示：

喜欢足球不喜欢足球合计

男牛40

女生30

合计

(I)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有

关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男生

进球的概率为g,女生进球的概率为每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人进

球总次数的分布列和数学期望.

n(ad-be)2

附：K2

(a+⅛)(c+J)(a+c)(b+<∕)

P(κ2≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

解析：(1)2x2列联表如下:

喜欢足球不喜欢足球合计

男生6040100

女生3070100

合计90HO200

，有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关

(2)3人进球总次数J的所有可能取值为01,2,3,

%=°)=0W=Q(1)=C。衿+3

32)=C∙∣g十泊=3)=图12

X—

29

的分布列如下:

ξ0123

1542

P————

181899

."的数学期捻E(J)=I*+2x∖+3x∣q

例9(山东省济南市23届高三上学期期末数学试题)某芯片制造企业使用新技术对某款芯

片进行生产.生产该款芯片有三道工序，这三道工序互不影响.已知批次甲的三道工序次品率

分别为~,-->--.

504948

(1)求批次甲芯片的次品率；

(2)该企业改进生产工艺后，生产了批次乙的芯片.某手机厂商获得批次甲与批次乙的芯片,

并在某款手机上使用.现对使用这款手机的100名用户回访，对开机速度进行调查.据统计，

安装批次甲的有40名，其中对开机速度满意的有30名；安装批次乙的有60名，其中对开

机速度满意的有55名.试整理出2x2列联表(单位:名)，并依据小概率值α=0.05的独立性

检验，分析芯片批次是否与用户对开机速度满意有关.

是否满意

批次合计

满意不满意

甲

乙

合计

n(ad-bc)2

(a+⅛)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.050.010.∞50.001

Xa2.7063.8417.87910.828

解析：(1)由已知可得批次甲芯片的正品率P=(I-

3

所以批次甲芯片的次品率为1-〃=工.

（2）零假设为“。：芯片批次与用户对开机速度满意无关，得2x2列联表如下:

是否满意

批次合计

满意不满意

甲301040

乙55560

合计8515100

所以八两辞i=嘀离3

因为犷＞2.706,所以依据α=0.05的独立性检验，我们推断儿不成立,

所以认为芯片批次与用户对开机速度满意有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.

例10（山东省济南市2022-2023学年高三下学期开学考试）甲、乙两人进行抛掷骰子游戏,

两人轮流抛掷一枚质地均匀的骰子.规定：先掷出点数6的获胜，游戏结束.

（1）记两人抛掷骰子的总次数为X,若每人最多抛掷两次骰子，求比赛结束时，X的分布

列和期望;

（2）已知甲先掷，求甲恰好抛掷〃次骰子并获得胜利的概率.

解析：(1)依题意，抛掷骰子一次获胜的概率P=J,X的可能值为1,2,3,4,

O

P(X=I)=J,P(X=2)=(1-Λ×^=⅛,P(X=3)=(1-1)2X∣=^,

6663666216

P(X=4)=(1-?3=M，

6216

所以X的分布列为；

X1234

ɪ525125

P

636216216

HnF八IlC5r25.125671

期望E(X)=1×-+2×----F3X-----+4×-----=------.

636216216216

（2）设甲抛掷第〃次骰子且不获胜的事件的概率为N*,依题意，当〃22时,

O

5525525

¾=¾-I×7×7=77⅛-H因此数列｛《J是以3为首项，言为公比的等比数列，则

6636636

¾=∣5×∈75Γ1,当"≥2时，甲恰好抛掷〃次骰子并获得胜利的概率

o36

P-=¾-∣×7×Σ=7×(l∑),,^2×1×Σ=Σ×(l∑)n^'>显然当〃=1时，［=)满足上式,

66636666366

I7S

所以甲恰好抛掷n次骰子并获得胜利的概率为Pn=：•(¥)”',〃€N*.

例11(温州市2023届高三一模)2021年11月10日，在英国举办的《联合国气候变化框架

公约》第26次缔约方大会上，100多个国家政府、城市、州和主要企业签署了《关于零排

放汽车和面包车的格拉斯哥宣言》，以在2035年前实现在主要市场、2040年前在全球范围

内结束内燃机销售，电动汽车将成为汽车发展的大趋势.电动汽车生产过程主要包括动力总

成系统和整车制造及总装.某企业计划为某品牌电动汽车专门制造动力总成系统.

(I)动力总成系统包括电动机系统、电池系统以及电控系统，而且这三个系统的制造互不

3

影响.已知在生产过程中，电动机系统、电池系统以及电控系统产生次品的概率分别为五，

21

97τ95'

(i)求：在生产过程中，动力总成系统产生次品的概率；

(ii)动力总成系统制造完成之后还要经过检测评估,此检测程序需先经过智能自动化检测,

然后再进行人工检测，经过两轮检测恰能检测出所有次品，已知智能自动化检测的合格率为

95%,求：在智能自动化检测为合格品的情况下，人工检测一件产品为合格品的概率.

(2)随着电动汽车市场不断扩大，该企业通过技术革新提升了动力总成系统的制造水平.现

针对汽车续航能力的满意度进行用户回访.统计了100名用户的数据，如下表：

产品批次

对续航能能力是否满意合计

技术革新之前技术革新之后

满意285785

不满意12315

合计4060100

试问是否有99.9%的