新教材数学高中必修一单元素养评价第1～3章

单元素养评价(一)(第1～3章)(120分钟150分)一、单选题(每小题5分,共40分)1.集合A={x∈R|x(x1)(x2)=0},则集合A的非空子集的个数为 ()A.4 B.8 C.7 D.6【解析】选C.集合A={x∈R|x(x1)(x2)=0}={0,1,2},共有23=8个子集,其中非空子集有7个.2.命题“∀x∈R,x2+x+1>0”的否定为 ()A.∃x∈R,x2+x+1≥0B.∃x∈R,x2+x+1≤0C.∀x∈R,x2+x+1≥0D.∀x∉R,x2+x+1≥0【解析】选B.由题意得原命题的否定为∃x∈R,x2+x+1≤0.3.若a,b,c∈R且a>b,则下列不等式成立的是 ()A.a2>b2B.QUOTE<QUOTEC.aQUOTE>bQUOTED.QUOTE>QUOTE【解析】选D.选项A:a=0,b=1,符合a>b,但不等式a2>b2不成立,故本选项是错误的;选项B:当a=0,b=1符合已知条件,但零没有倒数,故QUOTE<QUOTE不成立,故本选项是错误的;选项C:当c=0时aQUOTE>bQUOTE不成立,故本选项是错误的;选项D:因为c2+1>0,所以根据不等式的性质,由a>b能推出QUOTE>QUOTE.4.已知集合A=QUOTE,B=QUOTE,则A∪B= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为A=QUOTE,B=QUOTE,所以A∪B=QUOTE.5.(2019·浙江高考)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的 ()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.如图所示,由a>0,b>0,a+b≤4⇒ab≤4,反之不成立.所以“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.6.QUOTE(6≤a≤3)的最大值为 ()A.9 B.QUOTE C.3 D.QUOTE【解析】选B.因为6≤a≤3,所以3a≥0,a+6≥0,所以QUOTE≤QUOTE=QUOTE(当且仅当a=QUOTE时取等号).即QUOTE(6≤a≤3)的最大值为QUOTE.7.不等式mx2ax1>0(m>0)的解集可能是 ()A.QUOTEB.RC.QUOTED.【解析】选A.因为Δ=a2+4m>0,所以函数y=mx2ax1的图象与x轴有两个交点,又m>0,所以原不等式的解集不可能是B、C、D选项.8.某市原来居民用电价为0.52元/(kW·h),换装分时电表后,峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/(kW·h),谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/(kW·h).对于一个平均每月用电量为200kW·h的家庭,换装分时电表后,每月节省的电费不少于原来电费的10%,则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 ()A.110kW·h B.114kW·hC.118kW·h D.120kW·h【解析】选C.设每月峰时段的平均用电量为xkW·h,则谷时段的用电量为(200x)kW·h;根据题意得(0.520.55)x+(0.520.35)(200x)≥200×0.52×10%,解得x≤118.所以这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118kW·h.二、多选题(每小题5分,共20分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列命题是真命题的是 ()A.若x=1,则x2+x2=0B.若x2=16,则x=4C.若A⊇B,m∈A,则m∈BD.全等三角形的面积相等【解析】选AD.x2=16时x=±4,B是假命题,若A⊇B,m∈A,m不一定属于B,C是假命题;AD是真命题.10.如果QUOTE是QUOTE的充分不必要条件,则a的值可以是 ()A.1 B.0 C.2 D.3【解析】选CD.因为QUOTE是QUOTE的充分不必要条件,所以QUOTEQUOTE,故a的值可以是2,3.11.下列不等式不正确的是 ()A.QUOTE≥2B.QUOTE≥2C.QUOTE>xyD.QUOTE≥QUOTE【解析】选BCD.因为x与QUOTE同号,所以QUOTE=|x|+QUOTE≥2,当且仅当x=±1时,等号成立,A正确;当x,y异号时,B不正确;当x=y时,QUOTE=xy,C不正确;当x=1,y=1时,D不正确.12.已知二次函数y=ax2+bx+c,且不等式y>2x的解集为QUOTE,则 ()A.a<0B.方程ax2+bx+c=0的两个根是1,3C.b=4a2D.若方程y+6a=0有两个相等的根,则实数a=QUOTE【解析】选ACD.由于不等式y>2x的解集为QUOTE,即关于x的二次不等式ax2+QUOTEx+c>0的解集为QUOTE,则a<0.由题意可知,1,3为关于x的二次方程ax2+QUOTEx+c=0的两根,由根与系数的关系得QUOTE=1+3=4,QUOTE=1×3=3,所以b=4a2,c=3a,所以y=ax2QUOTEx+3a.由题意知,关于x的方程y+6a=0有两相等的根,即关于x的二次方程ax2QUOTEx+9a=0有两相等的根,则Δ=QUOTE36a2=QUOTE=0,因为a<0,解得a=QUOTE.三、填空题(每小题5分,共20分)13.已知集合U=QUOTE,A=QUOTE,则UA=.

【解析】因为U=QUOTE,A=QUOTE,所以UA=QUOTE答案:QUOTE14.若二次函数y=x2mx+3有且只有一个零点,则m=.

【解析】二次函数y=x2mx+3有且只有一个零点,等价于方程x2mx+3=0的判别式Δ=m212=0,所以m=±2QUOTE.答案:±2QUOTE15.已知A={x|1<x<2},B={x|x22ax+a21<0},若A⊆B,则a的取值范围是.

【解析】方程x22ax+a21=0的两根为a+1,a1,且a+1>a1,所以B={x|a1<x<a+1}.因为A⊆B,所以QUOTE解得1≤a≤2.答案:1≤a≤216.若0<x<QUOTE,则函数y=xQUOTE的最大值为.

【解析】因为0<x<QUOTE,所以14x2>0,所以xQUOTE=QUOTE×2xQUOTE≤QUOTE×QUOTE=QUOTE,当且仅当2x=QUOTE,即x=QUOTE时等号成立.答案:QUOTE四、解答题(共70分)17.(10分)已知集合A={x|x24x+3≤0},B={x|x>2}.(1)分别求A∩B,(RB)∪A;(2)已知集合C={x|1<x<a},若C⊆A,求实数a的取值范围.【解析】(1)A={x|x24x+3≤0}={x|1≤x≤3},B={x|x>2},所以A∩B={x|2<x≤3},(RB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3},(2)①当a≤1时,C=∅,此时C⊆A;②当a>1时,C⊆A,则1<a≤3;综合①②,可得a的取值范围是(∞,3].18.(12分)已知p:x28x20≤0,q:x22x+1m2≤0(m>0),若q是p的充分不必要条件,求实数m的取值范围.【解析】由x28x20≤0,得2≤x≤10.由x22x+1m2≤0,得1m≤x≤1+m(m>0),所以p:{x|2≤x≤10},q:{x|1m≤x≤1+m},因为q是p的充分不必要条件,所以QUOTE解得0<m≤3,所以所求实数m的取值范围是{m|0<m≤3}.19.(12分)(1)若x<3,求y=2x+1+QUOTE的最大值;(2)已知x>0,求y=QUOTE的最大值.【解析】(1)因为x<3,所以3x>0.又因为y=2(x3)+QUOTE+7=QUOTE+7,由基本不等式可得2(3x)+QUOTE≥2QUOTE=2QUOTE,当且仅当2(3x)=QUOTE,即x=3QUOTE时,等号成立,于是QUOTE≤2QUOTE,QUOTE+7≤72QUOTE,故y的最大值是72QUOTE.(2)y=QUOTE=QUOTE.因为x>0,所以x+QUOTE≥2QUOTE=2,所以0<y≤QUOTE=1,当且仅当x=QUOTE,即x=1时,等号成立.故y的最大值为1.20.(12分)设a,b,c为△ABC的三边,求证:方程x2+2ax+b2=0与x2+2cxb2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.【证明】(1)必要性:设方程x2+2ax+b2=0与x2+2cxb2=0有公共根x0,则QUOTE+2ax0+b2=0,QUOTE+2cx0b2=0,两式相减可得x0=QUOTE,将此式代入QUOTE+2ax0+b2=0,可得b2+c2=a2,故∠A=90°.(2)充分性:因为∠A=90°,所以b2+c2=a2,b2=a2c2.①将①代入方程x2+2ax+b2=0,可得x2+2ax+a2c2=0,即(x+ac)(x+a+c)=0.将①代入方程x2+2cxb2=0,可得x2+2cx+c2a2=0,即(x+ca)(x+c+a)=0.故两方程有公共根x=(a+c).所以方程x2+2ax+b2=0与x2+2cxb2=0有公共根的充要条件是∠A=90°.21.(12分)“绿水青山就是金山银山”.随着经济的发展,我国更加重视对生态环境的保护,2018年起,政府对环保不达标的养鸡场进行限期整改或勒令关闭.一段时间内,鸡蛋的价格起伏较大(不同周价格不同).假设第一周、第二周鸡蛋的价格分别为x、y(单位:元/kg);甲、乙两人的购买方式不同:甲每周购买3kg鸡蛋,乙每周购买10元钱鸡蛋.(1)若x=8,y=10,求甲、乙两周购买鸡蛋的平均价格;(2)判断甲、乙两人谁的购买方式更实惠(平均价格低视为实惠),并说明理由.【解析】(1)因为x=8,y=10,所以甲两周购买鸡蛋的平均价格为QUOTE=9(元),乙两周购买鸡蛋的平均价格为QUOTE=QUOTE(元).(2)甲两周购买鸡蛋的平均价格为QUOTE=QUOTE,乙两周购买鸡蛋的平均价格为QUOTE=QUOTE,由(1)知x=8,y=10时乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低,猜测乙的购买方式更实惠.依题意x,y>0,且x≠y,因为QUOTEQUOTE=QUOTE=QUOTE>0,所以QUOTE>QUOTE,所以乙两周购买鸡蛋的平均价格比甲两周购买鸡蛋的平均价格低,即乙的购买方式更实惠.22.(12分)志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD,已知点E在边CD上,AE=CE,AB>AD,矩形的周长为8cm.(1)设AB=xcm,试用x表示出图中DE的长度,并求出x的取值范围;(2)计划在△ADE区域涂上蓝色代表星空,如果要使△ADE的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽.【解析】(1)由题意可得AD=