高中数学一轮复习 对数

第2.5章基本初等函数

2.5.4对数

鳖课程要求了修♦求心中有敷

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然(常

高中要求1

用)对数;通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.

LJ基础知识夯实基.，■立完整知识体系

1对数的概念

(1)概念

一般地，如果d=/7缶>0,且(141),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN.

(a底数，N真数，logaN对数)

(2)两个重要对数

常用对数以10为底的对数，10gl°N记为IgN；

自然对数以无理数e为底的对数的对数,logeN记为InN.

(3)对数式与指数式的互化

x=logaNo凝=N

对数式指数式

【例】(1)计算108,(2)解方程3,=7.

解(1)设尤=/。见8,则万=8,二%=3,即/。。28=3；

(2)3,=7今x=log37=

(4)结论

(1)负数和零没有对数(2)/。/。=1,logal=0.

特别地，IglO-1,Igl=0,Ine=1,Ini-0.

2对数的运算性质

如果a〉0,a41,M>0,N>0,有

①log£MN)=logaM+logaN②log/=logaM-logaN

n④a】ogaM=

(3)logaM=nlogaM(nGR)M

（每条等式均可证明）

比较对数的运算法则与指数的运算法则的联系

指数对数

mnm+n

a-a=aloga(MN)=logaM+logaN

amM

——=

loga-=logaM-logaN

mnmnn

(a)=alogaM=nlogaM

特别注意：EogaMNHlogaM-logaN,loga(M±N)王logaM±logaN.

【例1】证明Zog/MN)=logaM+logaN.

y

证明设％=ZogaM,y=logaN,则a"=M,a=N,

xyx+y

・•・MN=aa=a,log^MN)=x+y=logaM+logaN.

【例2】计算

(l)21og122+log123；(2)Ig600-lg6；(3)已知lg2=0.3,lg3=0.48,求1g闻.

2

解⑴210gl22+log123=log1224-log123=log124+log123=log1212=1；

(2闻600~lg6=e100=2；

(3)lgV45=lg45I=?g45=]lg(5x9)=1(lg5+lg9)

=1(igy+lg32)=1(1-lg2+21g3)=0.83.

3换底公式

⑴公式

g

logab=-°—(a>0,aM1,c>0,cy1,b>O')

logca、

(2)公式推导

x

设=x,贝!Jlogcb=xlogca=logcaf

x

.・.b=afx=log。b,=log/,

logca

⑶推论

①lo9ab=7^—②logb-logc=logc③log产〃=^logb

logb。abama

证明①logab=#=:；

logbalog/,a

②1呜人嗨。=吃卷=蕾=bgaC；

③10gam〃=loga加_九10ga)=51°ga，

m

logaam

【例】求警I的值.

log23

lg9

繇Iog89_lj8_21g3lg2_2

用牛log23一譬一31g2'lg3~3

lg2

卷经典例题从典例中

【题型1】对数式与指数式的互换

【典题1】求下列各式中久的值：

(1)log2(logsX)=o；⑵logz27=

1

解析(1)1log2(log5%)=0,log5x=2°=1..*.%=5=5.

O34

4

(2)logx27=-,x?=27,x=(27)3=3=81.

变式练习

1.完成下表指数式与对数式的转换.

题号指数式对数式

(1)103=1000

(2)10g2io=久

(3)3=x

答案(1)1g1000=3(2)*=10(3)Inx=3.

解析⑴103=1000QIg1000=3.

(2)log210=x=2,=10.

(3)e3=xqIn久=3.

2.若xlog23=1,则3X+/的值为.

答案6

解析Vxlog23=1,x=log32.

3X=3噫2=2,9X=(3*)2=4.

则3,+9,=2+4=6.

3.已知a>0,b>0,若log4a=log66=［，贝哼=

答案y

解析t.•a>O,b>0,log4a=log66=-,

A-uaV4V6

・•・Q=42=2n,D=62,—

by/63

【题型2】对数的化简、求值问题

【典题1】化简求值

(1)4Ig2+31g5-Igi；

⑵210g32-log3y+log38-5嗨3；

解析

(I)41g2+31g5-lgi

=lg24+lg^-lg^

—1g2f—=1g104=4.

5

103

(2)21og32-log3^+log38-5^

=210g32-(log332-log39)+310g32-3

=510g32-(51og32-21og33)-3

=-1.

变式练习

1.若4M=3,贝Ijlog312=()

Am+1「2m+l八m+2「2m+

A.------D.-------C.------D.——

mmm2m

答案A

m

解析4=3,m=log43,

则log312=log33+log34=1+，=故选：A.

2.若3。=2,则21og36-logs16=(用a表示).

答案2-2a

解析由3°=2,得a=log32,

4

所以2logg6—logs16=2log32x3—log32=21og324-2-41og32

=2—210g=2—2a.

3.已知3%=2,y=log318,则％=；y—x=.

答案log32,2

解析因为吏=2,所以x=log32,

又y=log318,贝-x=log318-log32=log39=2.

4.已知1g2=a,1g3=b,.则log36=.(用a,b表示)

答案—

b

解析由换底公式得10g36=譬=半守=华警=胃.

1g31g3lg3b

5.已知3,=4?=6,贝d+工=__.

xy

答案2

解析根据题意，3%=4y=6,

则％=log36,y=log46,则工=log63,-=log64

xy

贝壮+-=21og63+log64=log636=2.

xy

2

6.求1g25+21g2-(-1)+log48.

答案

解析原式=21g(5x2)-9+,=-5.

1.下列指数式与对数式的互化中，不正确的一组是（）

A.10°=1与1g1=0B.27-5=g与log271=一1

1

C.log39=2与疹=3D.log55=1与51=5

答案C

解析指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C,

2

log39=23=9或9,=3-»log93=|.故选C.

2.下列四个等式:

①lg(lglO)=O；②In(Ine)=0；③若lgx=10,贝|x=100；④若lnx=e,则x=e?.

其中正确的是()

A.①③B.②④C.①②D.③④

答案C

解析因为1g10=1,所以lg(1g10)=0,故正确；In(Ine)=In1=0,故正确；

由Igx=10可得x=故错误；由Inx=e可得x=e，，故错误；

故选：C.

3.设alog34=2,则4一。=()

D.1

6

答案B

解析因为alog34=2,则log34a=2,则4a=32=9

则4-。/=(，

故选：B.

4.若lg2=a,lg3=b,则然等于()

.2a+bD2a+ba+2ba+2b

/i.D.c.

1—a+b1+a+b1—a+b1+a+b

答案A

解析S12/g(3x4)_S3+1g4Jg3+2S2_Ig3+2lg2

用牛1n证第g(3x5)-Ig3+lg5~Ig3+lg^-~Ig3+l-lg2f

lg2=a,lg3=b,A^|=-2A+\故选：A.

uulgl51-a+b

5.若2a=5b=10,则工+；=()

ab

A.-1B.Ig7C.1D.log710

答案C

ab

解析2=5=10,a=log210,b=log510,

=------1------=lo6g1i0n2+login5=lg10=1,

ab