七年级数学下册压轴题攻略(苏科版)专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略(原卷版+解析)

专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一平行线中一个拐点问题】 1【考点二平行线中两点及多点拐点问题】 3【考点三平行线中在生活上的拐点问题】 6【过关检测】 9【典型例题】【考点一平行线中一个拐点问题】例题：(2023·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．【变式训练】1．(2023·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．2．(2023·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．【考点二平行线中两点及多点拐点问题】例题：(2023·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【变式训练】1．(2023·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．2．(2023·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．【考点三平行线中在生活上的拐点问题】例题：(2023·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．【变式训练】1．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．2．(2023·山东·济南市莱芜区雪野中心中学期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°【过关检测】一、选择题1．(2023·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（

）A．110° B．90° C．80° D．70°2．(2023·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．3．(2023·贵州安顺·七年级期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°二、填空题4．(2023·上海·七年级期中）如图，ABCD，为平行线间一点，若，，则______度．5．(2023·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）如图，某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建．如图，已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地．现要从C地出发修建一段新渠CD，使，则∠BCD的度数为_____度．6．(2023·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________．三、解答题7．(2023·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据．(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：过点F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因为、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）备用图：(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）8．(2023·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．(1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：；(2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由．9．(2023·广东·龙岭初级中学七年级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现，(1)在图②所示的图形中，若，，则___________(2)在图⑧中，若，，则_________(3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由．10．(2023·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）探究：(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；11．(2023·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）图（6）(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：(2)请选择其中一个图形进行说明理由．12．(2023·四川乐山·七年级期末）问题情境：如图1，，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度数．小明的思路是：如图2，过P作，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°问题迁移：(1)如图3，，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由(2)在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时，点P与点A、B、O三点不重合，请你直接写出∠CPD、间的数量关系．专题03平行线中的拐点问题压轴题三种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一平行线中一个拐点问题】 1【考点二平行线中两点及多点拐点问题】 3【考点三平行线中在生活上的拐点问题】 6【过关检测】 9【典型例题】【考点一平行线中一个拐点问题】例题：(2023·四川南充·九年级期中）如图，，若，，则∠E=______．【答案】##66度【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行内错角相等分别求出，则．【详解】解：如图所示，过点E作，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线求出是解题的关键．【变式训练】1．(2023·内蒙古·乌海市第二中学七年级期中）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠E满足的数量关系是______．【答案】【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可直接得到答案．【详解】如下图所示，过点C作，∵，∴（两直线平行，同旁内角互补），∵，，∴，∴（两直线平行，同旁内角互补），∴，∴，∴在原图中，故答案为：．【点睛】本题考查平行直线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．2．(2023·甘肃·凉州区洪祥镇九年制学校七年级期末）如图，若ABCD，则，，则______．【答案】##20度【分析】过点作，利用平行线的性质可得的度数，进而可得的度数，再结合可得，进而可得的度数．【详解】解：如图，过点作，则，，，，．故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的性质，构造合适的辅助线是解题关键．【考点二平行线中两点及多点拐点问题】例题：(2023·云南·弥勒市朋普中学七年级阶段练习）如图所示，、BEFD是AB、CD之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【分析】连接BD，根据平行线的性质由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到结论．【详解】解：连接BD，如图，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．(2023·浙江·兰溪市实验中学七年级期中）如图，直线l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，则∠4=____．【答案】30°##30度【分析】过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，由平行线的性质可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，结合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，进而可求解．【详解】解：过A点作AB直线l1，过C点作CD直线l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直线l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案为：30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角的计算，作适当的辅助线是解题的关键．2．(2023·辽宁·兴城市第二初级中学七年级阶段练习）①如图1，ABCD，则∠A+∠E+∠C＝180°；②如图2，ABCD，则∠E＝∠A+∠C；③如图3，若ABEF，则∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如图4，ABCD，则∠A＝∠C+∠P．以上结论正确的是_____．【答案】②③④【分析】①过点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；②过点点E作EFAB，由平行线的性质即可得出结论；③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；④过点P作PFAB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．【详解】解：①如图1，过点E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，则①错误；②如图2，过点E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，则②正确；③如图3，过点C作CDAB，延长AB到G，∵ABEF，∴ABEFCD，∴∠DCF=∠EFC，由②的结论可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，∴，故③正确；④如图4，过点P作PFAB，∵ABCD，∴ABPFCD，∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，则④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．【考点三平行线中在生活上的拐点问题】例题：(2023·四川泸州·七年级期末）如图是三岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，在岛的北偏西方向，则____________．【答案】【分析】根据方位角的概念，过点作辅助线，构造两组平行线，利用平行线的性质即可求解．【详解】如图，作，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查了方位角的概念，解答题目的关键是作辅助线，构造平行线．两直线平行，内错角相等．【变式训练】1．(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校七年级期中）如图，汽车灯的剖面图，从位于点的灯发出光照射到凹面镜上反射出的光线，都是水平线，若，，则的度数为______．【答案】##60度【分析】如图所示，过点O作，则，根据平行线的性质求解即可．【详解】解：如图所示，过点O作，∵光线，都是水平线，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．2．(2023·山东·济南市莱芜区雪野中心中学期中）幸福乡要修建一条灌溉水渠，如图，水渠从A村沿北偏东60°的方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠从C村沿CD方向修建可以保持与AB的方向一致，则∠DCB的度数为_____°【答案】90度##90°【分析】根据CD与AB的方向一致，可得，即有∠DCB=∠CBA，根据，可得∠A+∠ABN=180°，即有∠ABC=90°，则有∠DCB=90°，问题得解．【详解】如图，设置点M、N，根据题意有：，∵CD与AB的方向一致，∴，∴∠DCB=∠CBA，∵，∴∠A+∠ABN=180°，∵∠A=60°，∠ABN=∠ABC+∠CBN，∠CBN=30°，∴∠ABC=90°，∴∠DCB=90°，故答案为：90°．【点睛】本题考查了平行线的性质、方位角的应用，明确题意，灵活运用平行线的性质是解答本题的关键．【过关检测】一、选择题1．(2023·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）如图，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，则∠EPF的度数是（

）A．110° B．90° C．80° D．70°【答案】D【分析】如图，过点P作PMAB，利用平行线的性质得到∠EPF=∠1+∠2即可．【详解】解：如图，过点P作PMAB，∴∠3=∠1=30°，又∵，∴，∴∠4=∠2=40°，∴∠3+∠4=∠1+∠2=70°，即∠EPF=70°，故选：D．【点睛】本题考查平行线的判定定理以及平行线的性质．注意如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行的运用．2．(2023·广东·深圳市龙岗区宏扬学校七年级期中）某同学在研究传统文化“抖空竹”时有一个发现：他把它抽象成数学问题，如图所示，已知，，，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于，依据，，可得，再根据三角形外角性质，即可得到．【详解】解：如图，延长交于，∵，，，又，，．故选：B．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．3．(2023·贵州安顺·七年级期末）如图，某沿湖公路有三次拐弯，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角为∠C，第三次拐弯后的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C的度数是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°【答案】D【分析】过点B作BEAD，利用平行线的性质可得∠ABE＝110°，从而求出∠EBC＝30°，然后再利用平行线的性质，即可解答．【详解】解：过点B作BEAD，∴∠A＝∠ABE＝110°，∵∠ABC＝140°，∴∠EBC＝∠ABC−∠ABE＝30°，∵ADCF，∴BECF，∴∠C＝180°−∠EBC＝150°，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题4．(2023·上海·七年级期中）如图，ABCD，为平行线间一点，若，，则______度．【答案】100【分析】过点作的平行线，由平行线的判定与性质即可求解．【详解】解：过点作，则，，，，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是过拐点准确作出的平行线．5．(2023·辽宁·阜新市第一中学七年级期中）如图，某县积极推进“乡村振兴计划”，要对一段水渠进行扩建．如图，已知现有水渠从A地沿北偏东50°的方向到B地，又从B地沿北偏西20°的方向到C地．现要从C地出发修建一段新渠CD，使，则∠BCD的度数为_____度．【答案】110【分析】根据方向角和平行线的性质：内错角相等即可求出．【详解】解：B点在A点的北偏东50°，C点在B点北偏西20°，∴，∵∴，故答案为：110．【点睛】本题考查平行线的性质：内错角相等，利用方位角进行角度的转化计算是解题的关键．6．(2023·河南·商水县希望初级中学七年级期末）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则的度数为_________．【答案】82【分析】过点作，得，得，；根据，是，的角平分线，；；根据四边形内角和为，，即可求出的角度．【详解】如图：过点作，∵，∴，∴；，∵，是，的角平分线，∴；，∴；，∴在四边形中，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，四边形内角和，角平分线；设角等于，；角的等量代换是解题的关键．三、解答题7．(2023·江西赣州·七年级期中）根据下列叙述填依据．(1)已知如图1，，求∠B+∠BFD+∠D的度数．解：过点F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因为、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根据以上解答进行探索．如图（2）（3）ABEF、∠D与∠B、∠F有何数量关系（请选其中一个简要证明）备用图：(3)如图（4）ABEF，∠C=90°，∠与∠、∠有何数量关系（直接写出结果，不需要说明理由）【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补(2)见解析(3)【分析】（1）过点F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根据、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；（2）类比问题（1）的解题方法即可得解；（3）类比问题（1）的解题方法即可得解．（1）解：过点F作，如图，∴∠B+∠BFE=180°（两直线平行，同旁内角相等），∵、（已知）∴（平行于同一直线的两直线平行），∴∠D+∠DFE=180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；故答案为：两直线平行，同旁内角互补；，平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）解：选图（2），∠D与∠B、∠F的数量关系为：∠BDF+∠B=∠F；理由如下：过点D作DC//AB，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F；选图（3），∠D与∠B、∠F的数量关系：∠BDF+∠B=∠F过点D作，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F∠BDF+∠B=∠F；（3）解：如图（4）所示，过点C作，过D作，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴．【点睛】本题考查根据平行线的性质探究角的关系和平行线公理推论的运用，熟练掌握平行线的性质和平行线公理推论的运用是解题的关键．8．(2023·内蒙古·扎赉特旗音德尔第三中学七年级期末）已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合．(1)如图，有一动点在线段之间运动时，求证：；(2)如图，当动点在点之上运动时，猜想、、有何数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析．【分析】过点作，根据可知，故可得出，再由即可得出结论；过作，依据，可得，进而得到，，再根据，即可得出．（1）证明：如图，过点作，，，，．又，；（2）解：．理由如下：如图，过作，，，，，，．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键．9．(2023·广东·龙岭初级中学七年级期中）如图，图①是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图②和图③，弹弓的两边可看成是平行的，即，各活动小组探索与，之间数量关系时，有如下发现，(1)在图②所示的图形中，若，，则___________(2)在图⑧中，若，，则_________(3)有同学在图②和图③的基础上，面出了图④所示的图形，其中，请判断，，之间的关系，并说明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到由此即可得到答案；（2）如图所示，过点P作，利用平行线的性质得到，在求出的度数即可得到答案；（3）如图所示，过点P作，由平行线的性质得到，再由即可得到结论．（1）解：如图所示，过点P作，∵，∴，∴，∴，故答案为：；（2）解：如图所示，过点P作，∵，∴，∴，∵，∴∴，故答案为：；（3）解：，理由如下：如图所示，过点P作，∵，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．10．(2023·山东省济南第十二中学八年级阶段练习）探究：(1)如图①，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3之间有什么关系？(2)如图②，已知ABCD，图中∠1，∠2，∠3，∠4之间有什么关系？(3)如图③，已知ABCD，请直接写出图中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之间的关系；【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【分析】（1）过点E作EMAB，根据平行线的性质及角的和差求解即可；（2）过点F作NFAB，结合（1）并根据平行线的性质及角的和差求解即可；（3）过点G作GMAB，结合（2）并根据平行线的性质及角的和差求解即可．（1）解：如图①，过点E作EMAB，∵ABCD，∴ABCDEM，∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，即∠1＋∠3＝∠2；（2）如图②，过点F作NFAB，∵ABCD，∴ABCDFN，∴∠4＝∠NFH，由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；（3）如图③，过点G作GMAB，∵ABCD，∴ABCDGM，∴∠5＝∠MGN，由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解题的关键．11．(2023·河北·宽城满族自治县第三中学七年级期中）已知：ABEF，在平面内任意选取一点C．利用平行线的性质，探究∠B、∠F、∠C满足的数量关系．图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系图（1）图（2）图（3）图（4）图（5）图（6）(1)将探究∠B、∠C、∠F之间的数量关系填写下表：(2)请选择其中一个图形进行说明理由．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）利用平行线的性质即可求解．（2）过点C作CGAB，利用平行线的判定和性质即可求解．（1）解：∠B、∠C、∠F之间的数量关系如下表：图形∠B、∠F、∠C满足的数量关系图（1）∠B+∠F=∠C图（2）∠F-∠B=∠C图（3）∠B-∠F=∠C图（4）∠B+∠F+∠C=360°图（5）∠B-∠F=∠C图（6）∠F-∠B=∠C（2）解：图（1）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠B+∠F=∠C．理由：过点C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，∴∠B+∠F=∠BCF；图（2）∠C与∠B、∠F之间的数量关系是：∠F-∠B=∠C．