医药统计学-第二章-随机事-件与概率

第二章随机事件与概率

随机事件及其概率概率的性质及运算法则

学习目的和要求掌握古典概率及计算；概率的加法公式、乘法公式及计算；条件概率与事件独立性的概率并进行计算；理解事件等的基本概念及运算关系、统计概率、主观概率和概率的公理化定义；确定性现象（deterministicphenomena）：所有的科学理论均为确定性现象（可事先预知）。

eg:数学、物理等学科内容。

eg:抛硬币时硬币一定会落地的现象。必然现象——在一定条件下，必然发生的现象。不可能现象——在一定条件下，一定不会发生的现象。

现象分类不是随机现象，但是随机现象的特例。随机现象（randomphenomena）

：在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的现象（无法事先预知）。

eg:

运动员的某一次打靶成绩、患者使用某种新药的预后、抛一枚硬币时硬币落地是正面或反面的现象。

统计规律性（statisticallaw）

：在大量的重复观察或实验中随机现象所体现出的规律性。“概率论与数理统计”的研究内容第一节随机事件及其概率

一、随机试验和随机事件

（一）随机试验（randomexperiment）：简称试验，为研究随机现象的统计规律性而进行的大量、重复的调查、实验、测试等。特性：

相同条件下的可重复性（大量）；实验前所有可能结果的可预知性（多结果）；（因为进行实验的目的就是研究该现象）

实验时的结果不确定性（无法预测）。

<注>：1、对于同一随机现象，若研究目的不同，则随机试验的制定方法也不相同。

eg：研究运动员打靶成绩，目的不同（打中环数、打中/打不中），则制定的随机试验也不同。

2、随机试验常用字母E，E1，E2，…，表示。

eg：

E1：抛一枚硬币两次，观察正面H，反面T出现的情况。

E1：从一批灯泡中，任取一只，测试其寿命。

（二）基本概念事件（event）：在随机试验中所发生的结果。基本事件（elementalevent）：每个不可能再分的试验结果，即无数结果中的一个结果，是E的每个直接结果，又称样本点（samplepoint）。样本空间（samplespace）：所有基本事件的全体，即该试验所有可能结果的集合，记为Ω，即用数学语言描述。

eg：

E1：抛一枚硬币两次，观察正面H，反面T出现的情况。

Ω：{（H，H），（H，T），（T，H），（T，T）}E1：从一批灯泡中，任取一只，测试其寿命。

Ω：{t│t

≥0}

空集

——不含任何基本事件，记为Ø。（三）事件分类随机事件（randomevent）：在一定条件下，试验结果可能发生，也可能不发生的事件（0<P<1）。用A、B、C表示。必然事件（certainevent）：在一定条件下，必然发生的事件（P=1），是随机事件的特例。其中，样本空间也是事件，在每次试验中一定发生，故也是必然事件。不可能事件（impossibleevent）：在一定条件下，一定不会发生的事件（P=0）。其中，空集不含任何事件，在试验中一定不会发生，故是不可能事件。

eg：现有一批药品共100件，其中5件是次品。考察随机试验：“从这批药品中任意抽出10件，检查其抽到的次品数”。若记：

k=｛抽出的10件药品中恰有k件次品｝

请写出该试验的基本事件、样本空间。解：

基本事件：｛0｝，｛1｝，｛2｝，｛3｝，｛4｝，｛5｝

样本空间Ω：｛0，1，2，3，4，5｝不可能事件Ø：｛抽到的次品数＞5｝等。二、事件之间的关系及运算

将随机事件之间的关系用集合的形式来描述。前提：在同一个随机试验中，事件之间存在：（一）包含关系：事件A的发生必然导致事件B的发生，则称B包含A，或A包含于B中（图1）。

eg1:掷骰子试验，A=出现2点，B=出现偶数。

eg2:对白血病患者进行骨髓移植术，A=术后存活10年，B=术后存活时间至少10年，则B包含A，或A包含于B中。

图1A

B（Venngraph）AΩB（二）相等关系：若B包含A，且A包含B，则A=B。

eg：掷骰子试验，A=出现3点，B=出现小于4大于2的点数。（三）加法关系：又称“或”的关系、和（并）的关系，即“事件A与事件B中至少有一个事件发生”的事件称为A与B的和（或并），记作A+B或A∪B（图2）

。

eg:

对2例白血病患者进行骨髓移植术，A=术后仅有一例存活10年，B=术后有2例存活10年，C=术后至少有一例存活10年，则C=A+B。

图2A+B或A∪B

（Venngraph）AΩB（四）乘法关系：又称“和”的关系、积（交）的关系，即“事件A与事件B同时发生”的事件称为A与B的积（或交）。说明事件A与事件B是相容事件（具有公共部分）。记作AB或A∩B，产生了一个新的事件（图3）

。

eg:

某医生在某年对甲乙2例白血病患者进行骨髓移植术，A=甲患者术后未发生排异反应，B=乙患者术后未发生排异反应，C=该医生在该年进行的骨髓移植术未发生排异反应，则C=AB。

图3AB或A∩B

（Venngraph）AΩB（五）减法关系：又称“差”的关系，“事件A发生的同时事件B不发生”的事件称为事件A与B的差，记作A–B，即由属于事件A但不属于事件B的所有事件所构成的集合，产生了一个新的事件（图4）

。

eg:

掷一枚骰子，若A=出现点数大于4，B=出现偶数点，则A–B=出现的点数为5，B–A=出现的点数为2、4。

图4A-B（Venngraph）AΩB（六）互不相容事件（mutuallyexclusiveevent，互斥）：事件A与B不可能同时发生，即A与B为互不相容事件（没有公共部分），记作AB=Ф（图5）

。

eg:

掷一枚骰子，若A=出现点数大于4，B=出现点数小于3，则AB=Ф

图5A、B互不相容（Venngraph）AΩB（七）对立事件(complementaryevent，互逆事件)：“事件A不发生”的事件为A的对立事件，由不属于A的基本事件构成（图6）

。

eg:

抛一枚硬币两次，A=正面，B=反面。<注>：

1、A的发生，意味着B不发生；

A不发生，意味着B一定发生；

2、相互对立的事件一定是互不相容的事件，互不相容事件不一定是相互对立事件。

图6A的对立事件（Venngraph）AΩB三、事件的概率

概率（probability）：一定条件下，事件A在试验中发生的可能性大小的数值量度。用P（A）表示。

eg：硬币正反面重量不同，落下时呈正反面概率不同。

<注>：应用不同，对概率的解释不同。（一）频率与统计概率：1、频率（frequency、relativefrequency）：在相同条件下独立重复进行n次试验（E），若事件A在n次试验中发生m次，则称m为事件A出现的频数（frequence），称比值m/n为事件A的频率。记作：fn

(A)=m/neg：若投掷一枚均匀的硬币，随机事件A表示“正面向上”，用n表示投掷次数；m表示随机事件A发生的次数；则f表示随机事件A发生的频率（f=m/n）。

2、频率的稳定性（stabilityofrelativefrequency）：是随机现象的客观规律，当试验（E）次数n逐渐增大时，随机事件A发生的频率逐渐趋向于某一常数。

eg：投掷一枚均匀的硬币，用不同的投掷次数n作随机试验，结果如下：m/n=8/10=0.8000、7/20=0.3500、

……、249/500=0.4980、501/1000=0.5010、10001/2000=0.5000，由此看出当投掷次数n足够大时，f=m/n→0.5，称P(A)=0.5，或简写为：P=0.5。3、统计概率（statisticalprobability）：在相同条件下进行大量重复试验（E），若事件A的频率逐渐稳定地趋于某个确定的常数p，则称p为事件A的统计概率，记作：P（A）=p。因此，当n足够大时，可以用f估计P。统计概率——常数（只要条件不变，统计概率不会改变）；

就总体而言。

频率——变量[因试验（E）次数不同，事件A发生的可能性不同]；就样本而言。当样本含量逐渐增加时，频率接近统计概率P。古典概率：是概率的一种基本类型，是在概率论发展初期形成的一种模型，是当时概率论的主要研究对象。1、古典概型（classicalprobabilitymodel，有限等可能概型）：随机试验（E）具有有限总体（试验的结果即基本事件的总数是有限的）等可能性（每个基本事件发生的可能性是相同的）两特点的数学模型。

eg：从一批药品中任意抽检一件药品的可能性。<注>：实际上很多随机试验是不可能满足该模型的。如观察某运动员员打靶成绩，打中5环与打中10环的可能性一定是不一样的。2、古典概率（classicalprobability）：随机试验是古典概型时，即其样本空间的基本事件总数为n，每个基本事件的出现是等可能的，若A随机事件由其中m个基本事件所组成，则事件A的古典概率是：

P(A)=m/n=事件A所含的基本事件数/基本事件总数由此定义可知，P的取值范围：0≤P(A)≤1。

eg1:掷一枚骰子，观察出现的点数。若A表示出现偶数点。求P(A)。

eg2:有总数为1000张的奖券，其中，一等奖2张，二等奖50张，三等奖98张。求：（1）任抽一张，中奖的概率；（2）任抽两张，中奖的概率和没中奖的概率。解题思路：先明确随机试验（E），再确定随机事件A若题目中有明确的随机事件，则直接计算P(A)若题目中无明确的随机事件，则先假设确定随机事件，再计算P(A)（三）主观概率（subjectiveprobability）：根据个人的经验和所掌握的信息，对事件发生的可能性大小进行主观估计，由此确定的概率称为主观概率。优点：灵活。第二节概率的性质及运算法则

一、概率公理化定义1、概率的基本性质（各种定义的共性）：公理1（非负性）：0≤P（A）≤1

公理2（规范性）：

必然事件Ω——在一定条件下，必然发生的事件。

P（Ω）＝1

不可能事件Ø——在一定条件下，一定不会发生的事件。

P（Ø）＝0

随机事件P（A）——在一定条件下，事件可能发生，也可能不会发生。0<P（A）

<1，常用小数或百分数表示。

P越接近1，表示某事件发生的可能性越大；

P越接近0，表示某事件发生的可能性越小。小概率事件——P≤0.05或

P≤0.01的事件。

小概率事件实际不发生原理：在一次实验（观察）中，该事件几乎不可能发生。“小概率”的标准

是人为规定的，对于可能引起严重后果的事件，如术中大出血等，药物严重的副作用等研究，可规定

=0.01，甚至更小（若发生，则为百分之百，就要追究其原因）。

eg

：

某都市大街上疾驶的汽车撞伤行人的事件的发生概率为1/万，但大街上仍有行人，这是因为“被撞”事件是小概率事件，所以行人认为自己上街这“一次试验”中不会发生“被撞”事件。公理3（可列可加性）：可列即可数无穷，即对于两两互不相容事件，有

P（A1+A2+…+An+…）

=P（A1）+P（A2）+…+P（An）+…2、概率的公理化定义（一般定义）：设Ω是随机试验（E）的样本空间，如果对Ω中任意事件A，都对应一个实数P（A），而且P（A）满足上述公理1、公理2、公理3，则称为P（A）为随机事件A的概率（量化事件发生的可能性）。

二、概率的加法定理1、互不相容事件的加法定理：互不相容事件同时发生的概率等于各事件的概率之和

P（A+B）=P（A）+P（B）

eg：投掷AB两枚硬币，出现一枚硬币正面事件（A硬币正面B硬币反面、

A硬币反面B硬币正面）的概率等于上述两种情况的概率之和。

推论多个互不相容事件的加法公式：

P（A1+A2+A3+…An）

=P（A1）+P（A2）+P（A3）+…+P（An）

减法公式：

P（A-B）=P（A）-P（AB）当B包含于A时，P（A-B）=P（A）-P（B）2、一般加法定理：任意两事件A与事件B，有

P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）

减法公式：

P（A-B）=P（A）-P（AB）当B包含于A时，P（A-B）=P（A）-P（B）三、条件概率和乘法定理（一）条件概率（conditionalprobability）：1、定义：对任意两个事件A、B，若P（B）＞0，则称P（A│B）=

P（AB）∕P（B）为在事件B已发生的条件下，事件A发生的条件概率，记作P（A│B）。2、计算步骤：首先判断资料是古典概率，还是条件概率；计算法：公式法；缩小法：即样本空间缩小

eg：将硬币向空中抛两次，A=“至少一次为正面”，B=“两次都为同一面”。求：P（B│A）。解：（公式法）

P（B│A）=P（AB）∕P（A）

=（1/4）/（1-1/4）

=1/3

（样本空间包括四种情形：正正、正反、反正、反反）（二）概率的乘法定理：即交集的运算1、对任意两个事件A、B，若P（B）＞0，则在事件B发生的同时A发生概率为P（AB）=

P（B）P（A│B）若P（A）＞0，则在事件A发生的同时B发生的概率为P（AB）=

P（A）P（B│A）2、推广公式：对任意事件A、B、C，若P（A）＞0，P（AB）＞0，则P（ABC）=

P（A）P（B│A）P（C│A

B）

eg1：

一批零件共100个，其中有90个正品，10个次品。现每次从中不放回地任取一个零件，试求第三次才取得正品的概率。

解：

P（A1A2A3）

=P（A1）P（A2│A1）P（A3│A1

A2）

=10/100×9/99×90/98=0.0084

eg2：

一批零件共100个，其中有90个正品，10个次品。现每次从中放回地任取一个零件，试求第三次才取得正品的概率。解：

P（A1A2A3）

=P（A1）P（A2│A1）P（A3│A1

A2）

=

P（A1）P（A2）P（A3）

=10/100×10/100×90/100=0.009

eg3：设某地区历史上从某次特大洪水发生以后在30年内发生特大洪水的，概率为80%，在40年内发生特大洪水的概率为85%，问现已无特大洪水过去了30年内的该地区，在未来10年内将发生特大洪水的概率是多少？解：设

A=“该地区从某次特大洪水发生以后在30年内无特大洪水”，

B=“该地区从某次特大洪水发生以后在40年内无特大洪水”则

P（B│A）=

P（AB）∕P（A）

=P（B）∕P（A）

=0.15/0.2=0.75

P=1-0.75=0.25

（三）事件的独立性（independence）1、定义：对于任意两个事件A、B，若满足P（AB）=P（A）×

P（B）则称事件A与B是相互独立的，即事件A发生与否对事件B的发生无任何影响。<注>：

同一随机事件在不同随机实验中，可能独立性不同。理解：两独立事件同时发生的概率等于各事件的概率之积。来源于乘法公式，即P（AB）=

P（A）P（B│A），由于P（B│A）=P（B），因为A