与等比数列相关的结论-2023年高考数学高效速解突破技巧含答案

专题10与等比数列相关的结论-【二级结论

速解】备战2023年高考数学高效速解突破技

巧

专题11与等比数列相关的结论

一、结论

已知等比数列｛%｝,公比为4,前〃项和为邑.

m

⑴a“=amq"~(m,neN*).

aa

(2)若加+"=P+夕，则~p'q(m,n,p,qeN*);反之,不一定成立.

⑶。田2a3…am+iam+2。2M>a2m+iaim+243m>成等比数列(7MGN*).

⑷公比它一1时，S”,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n…成等比数列

⑸若等比数列的项数为2〃(〃wN*),公比为q,奇数项之和为s奇,偶数项之和为s偶，则.=q.

3奇

(6)｛%｝，也J是等比数列，则｛"｝,｛，｝,｛3｝,令｝也是等比数列(北0,〃eN*).

(7)通项公式=qq"T=幺.7.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于〃的指数函数的

q

积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.

(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.

JQXX

(9)三个数成等比数列,通常设为二，x,X4;四个数成等比数列,通常设为二，一,xq,xq3.

qqq

二、典型例题

例题1.(2023秋•河南驻马店•高三统考期末)在正项等比数列｛%｝中，若％,%是关于x的方程

/-〃?x+4=0的两实根，则log：4+log?%+脸％+…+log2a9=()

A.8B.9C.16D.18

例题2.(2023春•重庆沙坪坝•高二重庆南开中学校考开学考试)已知等比数列｛%｝的前〃项和S,满足

55=10,Sw=40,则邑。=()

A.130B.160C.390D.400

例题3.(2023•全国•高三专题练习)已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为85,偶

数项之和为170,则这个数列的项数为()

A.2B.4C.8D.16

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.（2023秋•浙江杭州•高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知数列｛《,｝是递增的等比数列，

a,+a2+a3=14,64,则公比9=（）

A.yB.1C.2D.4

2.（2023秋•广东汕头•高二统考期末）已知正项等比数列｛%｝满足log^,+log2a2+……+log2a2022=2022,

则1。82（4+。2022）的最小值为（）

A.1B.2C.1011D.2022

3.（2023•全国•高三专题练习）等比数列｛小｝中，已知%+%+%+4=20,牝+&+。7+%=10,则数列

的前16项和S.为

.7512575

A.20B.—C.---D.---

222

4.（2023•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和S,,=2"T+1,则数列｛a,｝的前10项中所有奇数项

之和与所有偶数项之和的比为（）

,1172341

A."B.2C.---D.

2341172

5.（2023•全国•高二专题练习）已知项数为奇数的等比数列｛a,,｝的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之

和为10,则这个等比数列的项数为（）

A.5B.7C.9D.11

6.（2023•全国•高二专题练习）设等比数列｛%｝的公比为4,其前〃项和为S,,前”项积为1,且满足条件

4%>1，”<0,则下列结论错误的是（）

%一］

A.0<^<1B.0<a6a8<1

c.s”的最大值为5?D.1的最大值为［

7.（2023•高三课时练习）设等比数列｛。“｝的公比为4,其前〃项和为E,,前〃项积为并且满足条件

0<%<1<%，则下列结论正确的是（）

A.9>1B.0<a,<1C.S”的最大值为邑D.。的最大值为［

二、多选题

8.（2023春・安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试）记等比数列｛勺｝的前〃项和为5“，前〃项积为

T”,且渊足4>1,。2022>1，。2023<1，则（）

A•.2022'42024-1<0B.52022+]<52023

C.心叱是数列｛1｝中的最大项D.北045>1

9.（2023•全国•高三专题练习）已知等比数列｛%｝满足卬>0,公比4>1,且…生⑼<1，

"|"2…°2022>1，则（）

A.。2021>1B.当”=2021时，。口2…最小

C.当"=1011时，最小D.存在“<1011,使得与《向=%+2

三、填空题

10.（2023秋•广东广州•高二统考期末）在各项均为正数的等比数列｛%｝中，若%为+2。3%+的6=4,则

%+。5=.

11.（2023秋・广东•高二校联考期末）若等比数列｛4｝的各项均为正数，且则

Ina,+\na2+…+1叫.

12.（2023•高三课时练习）已知5“是正项等比数列｛4｝的前〃项和，儿=20,则%-ZS?。+九的最小值

为.

13.（2023•全国•高三专题练习）设正项等比数列｛〃“｝的前”项和为S"，若$4=1052,则率的值为.

14.（2023•高二课时练习）设等比数列｛%｝共有3〃项，它的前2"项的和为100,后2”项之和为200,则该

等比数列中间〃项的和等于.

四、解答题

15.（2023秋广东汕头•高二统考期末）己知数列｛/｝是等差数列，5,是等比数列低｝的前“项和，

46=4=16,g=4,$3=12.

⑴求数列｛%｝,低｝的通项公式；

⑵求邑的最大值和最小值.

专题11与等比数列相关的结论

一、结论

已知等比数列｛4｝,公比为4,前〃项和为邑.

⑴%=《应”"(用,〃eN*).

(2)若加+"=P+夕，则％,•%=。屋%(加,p,qeN*);反之,不一定成立.

⑶%。2a3…am+iam+2%n，。2"+1。2m+2'"a3m>成等比数列(7M€N*).

(4)公比时，Sn,S2n-Sn,S3,,-S2,,,S^—S3,,…成等比数列(〃GN*).

⑸若等比数列的项数为2〃(〃eN*),公比为4,奇数项之和为S奇,偶数项之和为S偶，则:鱼=4.

3奇

(6)｛%｝,依｝是等比数列，则｛血,｝,｛，｝,｛。也｝,也是等比数列(/two,nwN*).

(7)通项公式="•/'.从函数的角度来看,它可以看作是一个常数与一个关于〃的指数函数的

q

积,其图象是指数函数图象上一群孤立的点.

(8)只有同号的两个数才能有等比中项;两个同号的数的等比中项有两个,它们互为相反数.

JQXX

(9)三个数成等比数列,通常设为二，x,X"；四个数成等比数列,通常设为二，-,xqtxq\

qqq

二、典型例题

例题1.(2023秋•河南驻马店•高三统考期末)在正项等比数列｛0“｝中，若出,%是关于x的方程

V-/„x+4=0的两实根，则嘎玛+嘎2%+1幅%+“-+总%=()

A.8B.9C.16D.18

【答案】B

【详解】由题意及韦达定理可得的的=4,由等比数列性质可得力。2a3…。9=2'，

故log,q+log2a2+log2%+…+log?a9=log,ata2a,■■-a9=9.

故选：B

【反思】若〃?+〃=P+4,则•%=%/4(M,〃,p,qeN*),等比数列中，注意利用角标和性质.

例题2.(2023春•重庆沙坪坝•高二重庆南开中学校考开学考试)已知等比数列｛4｝的前〃项和S,,满足

§5=10,S］。=40,贝(IS20=()

A.130B.160C.390D.400

【答案】D

【详解】因为等比数列｛《,｝的前〃项和S,满足怎=10,兀=40,

所以$5-S$,$-Sl0,520-与依然成等比数列，

则尾（$-&）=（与-1）2,即10（儿-40）=（40-10y,解得：几=130,

贝J邑（昆0-$）=区。一邑）（九一%）,即10⑸。-130）=30x90,解得:520=400,

故选：D.

【反思】公比"一1时，S“，S2n-Sn,S3ll-S2n,S4“—S3”…成等比数列（〃eN*），本例中，

55,5l0-S5,S15-S10,S20-S15依然成等比数列此结论可快速解题.

例题3.（2023•全国•高三专题练习）已知一个等比数列首项为1,项数是偶数，其奇数项之和为85,偶

数项之和为170,则这个数列的项数为（）

A.2B.4C.8D.16

【答案】C

【详解】设这个等比数列｛4“｝共有殊小€义.）项，公比为夕，

则奇数项之和为S奇=6+%+…+a2k-i=85，

偶数项之和为S偶=%+〃4+%=d奇=170,

等比数列｛《,｝的所有项之和为%="[I）=产_1=170+85=255，则2"=256,

*1-2

解得人=4,因此，这个等比数列的项数为8.

故选：C.

【反思】利用结论若等比数列的项数为2〃（〃eN*）,公比为4,奇数项之和为S奇，偶数项之和为S埠则

$=4,可直接根据结论求出4,进而求出其它量.

3奇

三、针对训练举一反三

一、单选题

1.（2023秋・浙江杭州•高二浙江省杭州第二中学校考期末）已知数列｛可｝是递增的等比数列，

+a2+a3=14,qa2a3=心，则公比9=（）

A.yB.1C.2D.4

【答案】C

【详解】已知/“2%=64,所以色=64,解得4=4,即qg=4①；

又卬+%+%=14,则q+%=10,即为（l+g2）=10②；又gHO,

由①②得匕/=：,所以2d-5g+2=0,解得4=2或q=[.

q22

因为数列｛%｝是递增的等比数列，所以4=2.

故选：C.

2.（2023秋•广东汕头•高二统考期末）已知正项等比数列｛叫满足log2〃1+log2a2+.....+lo§2a2022=2022-

则10g2（q+。2022）的最小值为（）

A.1B.2C.1011D.2022

【答案】B

a2022

【详解】10gM+log2a2+......+l°g2a2022=>Og2（«|«2■■-2022）=

2022

所以的2…a2022=2,又数列｛4｝是正项等比数列,

a2

所以ata2022=02a2021=。3a2020=.....=°ionioi2=2=4

所以log2m+%022）2log2（2师二）=log24=2,当且仅当数列为常数列时，等号成立.

故选：B.

3.（2023・全国•高三专题练习）等比数列（d）中，已知4+%+%+4=20,牝+应+。7+4=10,则数列

的前16项和为

7512575

A.20B.—C.——D.——

222

【答案】B

Ss-SA1

【详解】试题分析：由题意得，S4=20,5-54=10,则f=弓，根据等比数列的性质可知

S4,国一S4,Sy2-5R,SI6-几构成公比为y等比数列，S4=20,以一邑=10,5l2-58=5,S16-Sl2=|,且

75

$8=30,品=35,品=万，故选B.

4.（2023・全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的前〃项和S“=2"T+1,则数列｛““｝的前10项中所有奇数项

之和与所有偶数项之和的比为（）

,1172341

A."B.2C.----D.----

2341172

【答案】C

2

【详解】当，此2时，an=Sn-S^=T-,又4=S]=2,

即前10项分别为2,1,2,4,8,16,32,64,128,256,

所以数列｛“,｝的前1。项中“=学=341,s）=2+止2=2+空=172,所以茅=含，

1-43向]-43Q偶

故选：c.

5.（2023•全国♦高二专题练习）已知项数为奇数的等比数列｛”,｝的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之

和为10,则这个等比数列的项数为（）

A.5B.7C.9D.11

【答案】A

【详解】根据题意，数列｛4｝为等比数列，设

又由数列｛《,｝的奇数项之和为21,偶数项之和为10,则4=平=2,

故S“=21+10=如山=2"-1=31=〃=5；

1一夕

故选：A

6.（2023•全国•高二专题练习）设等比数列｛勺｝的公比为/其前"项和为S"，前〃项积为且满足条件

«,>1,4%>1，忙7<°，则下列结论错误的是（）

%一1

A.0<（/<1B.0<a6as<1

c.S”的最大值为邑D.刀,的最大值为"

【答案】C

【详解】若夕<0,则&<0，«7>0,所以4%<0,与％%>1矛盾;

若q”则因为q>1,所以。6>1，%>1，则生二|>0,与"三<0矛盾，

a7-1a7-1

因此0«<1,所以A正确.

Q—1

因为力<0,所以4>1>%>0，因此%%=嫉€（0,1）,即B正确.

因为见>0,所以S,单调递增，即5,的最大值不为$，C错误.

因为当"27时，e（O,l）,当时，e（l,+oo）,

所以Z,的最大值为八，即D正确.

故选：C

7.（2023・高三课时练习）设等比数列｛《,｝的公比为其前〃项和为S,,前“项积为北，并且满足条件

0<%<1<4,则下列结论正确的是（）

A.4>1B.0<a,<1C.S”的最大值为S?D.9的最大值为［

【答案】D

【详解】解：由于得0<4=&<1,同时4>1：由于卬>1,0<夕<1,则S“无最大值：由

了％>1，。<%<1，则北的最大值为

故选：D.

二、多选题

8.（2023春•安徽•高二合肥市第八中学校联考开学考试）记等比数列｛”“｝的前〃项和为S,,,前〃项积为

T*,且满足>1，。2022>1>。2023<1，则（）

A.a2022'“2024—।。B.52022+'<^2023

C.心侬是数列｛1｝中的最大项D.7;045>1

【答案】AC

【详解】数列的公比为4.

对于A,>1,02023<1,0<“2023<1'又a2022>1，0<<7<1.

a2022'a2024=a2O23<1，,,,"2022,02024一]<°，故A正确;

对于B,'''。2023<1,二^2023=$2023-^2022<1，即$2022+1>$2023，故B错t天；

对于C,q>l,.•.数列｛。,｝是递减数列，•.•内。22>1，。2023<1，

二马掇是数列｛ZJ中的最大项，故C正确；

对于。，［045=W汹…«4045=卬（。闯）（《/）…（。"皿”）

=端，血3-4044=产2*4。45=（4产2户5=4023户5,

•.•0<%。23<1，"/23芦‘〈I，即小5<1.故D错误.

故选AC.

9.（2023•全国♦高三专题练习）已知等比数列｛/｝满足《>0,公比g>l,且的2…4必<1，

…々022>1，则（）

A.a202l>1B.当〃=2021时，。百…勺最小

C.当“=1011时，a。…%最小D.存在”<1011,使得a“a"+i=a“+2

【答案】AC

【洋命卜】乂寸A,q>0,q>1,•-a”>。，乂q%'"2噂i<1，"1"2''*"2022>1，

■■.a2»22>------------'------------->1,

…〃2021

故A正确.

对B,C,由等比数列的性质,。|。2021=。2。2020=…=。10104012=喻1，

故司的…。2021=<1，%011<1，'•'〃2%022=〃3〃2021=…=^1011^1013=。1012，

2Q2]1八1.

••・。2。3。4・一。2022=。1012>一，丫《电…。2021<1，%>0,>1,J6<1,—>]，

46

，。1012>1，故当〃=1011时、。陷2…4最小，B错误，C正确;

对D,当“<1011时,<“IOU<1，故a"a”+i<。"+1<a”+2，故D错i天.

故选：AC

三、填空题

10.(2023秋・广东广州•高二统考期末)在各项均为正数的等比数列｛%｝中，若的4+2%牝+4。6=4,则

a3+as=.

【答案】2

【详解】等比数列｛%｝各项均为正数，

2

a2a4+2a｝a5+a4a6=aj+2aya5+aj=(a3+a5)=4,a3+a5=2(负值舍去)

故答案为：2.

11.(2023秋・广东•高二校联考期末)若等比数列｛4｝的各项均为正数，且。：+%必=2/，则

Inq+Ina,■)---FIn%.

【答案】21

【详解】由等比数列的下标和性质有竭=生6，所以裙=5.

因为数列｛“,｝的各项均为正数，所以%=e)

因为=%。5，所以Inq+In与+…+In%=ln(ala2---a7)=lna4=71na4=7x3=21.

故答案为：21.

12.(2023•高三课时练习)已知，，是正项等比数列｛%｝的前”项和，510=20,贝ljS3。-2s8+，。的最小值

为.

【答案】-5

【详解】解：设｛。"｝公比为9.

当q=1时,Sl0=lOaj=20,则。[=2,此时有S30-2s20+S10=30q-2x20q+10q=0；

当gwl时，

因为S30一S20=%|+a22+L+。30，§20—Eo=%[+的+…+〃20，^10=〃1+〃2+…+。10，

所1以§30—§20_021+022+L+〃30="°邑040_+《2+L+々O=

$2()-A。"n+qz+L+“2OSo4-a2+L+〃io

所以S2。-九=与x，。=20或。,S30-S20^(S20-Slo)xq'°=sioXL=20/°,

2010

所以S30—2邑0+&=S30—S20—(S20—•S