安徽黄山市2013年高考数学综合模拟试卷

安徽黄山市2013年高考数学综合模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．参考公式：如果事件A、B互斥，那么P(A＋B)=P(A)＋P(B)如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥体侧S锥体侧=其中c表示底面周长,l表示斜高或母线长.球的体积公式球球=其中R表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合=｛｝,,则为（）A．B.C.｛1｝D.｛（）｝2．若函数的定义域是,则其值域为（）A.B.C.D.3．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈［0，+∞），则P的轨迹一定通过△ABC的()A．外心B．垂心C．内心D．重心4．在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为() A． B． C． D．5．全国十运会期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为()A.B.C.D.6．对于不重合的两个平面，给定下列条件：①存在平面，使得都垂直于；②存在平面，使得都平行于；③存在直线，直线，使得；④存在异面直线l、m，使得其中，可以判定α与β平行的条件有 （） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7.已知首项为正数的等差数列｛an｝满足:a2005+a2006>0,a2005·a2006<0,则使前项Sn>0成立的最大自然数n是()A.4009B.4010C.40118.函数的反函数图像大致是（） ABCD9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1、B1C1的中点，则在面BCC1B1内到BC的距离是到EF的距离的A．一条线段B．椭圆的一部分C．抛物线的一部分D．双曲线的一部分．10.已知F1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （） A． B． C． D．11.已知函数在上恒正，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.12.如图，B地在A地的正东方向4km处，C地在B地的北偏东30°方向2km处，河流的没岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2km.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B、C两地转运货物.经测算，从M到B、M到C修建公路的费用分别是a万元/km、2a万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是（） A．(2－2)a万元 B．5a万元 C．(2+1)a万元 D．(2+3)a万元第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题4个小题，每小题4分，共16分．13．已知函数f(x)=Acos2(ωx+)+1（A>0，ω>0）的最大值为3，f(x)的图象在y轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为2，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=____________14.设点P是曲线y=x3－x+2上的任意一点,P点处切线倾斜角为α,则角α的取值范围是______________15.已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等，则＝_____________．16.若函数满足：对于任意都有，且成立，则称函数具有性质M.给出下列四个函数：①，②③，④. 其中具有性质M的函数是（注：把满足题意的所有函数的序号都填上）17．如图,在杨辉三角中,斜线l上方,从1开始箭头所示的数组成一个锯齿数列:1,3,3,4,6,5,10,…,记其前n项和为Sn,则S19等于____________.1112113311464115101051…18.已知f（x+y）=f(x)·f(y)对任意的实数x、y都成立,且f(1)=2,则eq\f(f(1),f(0))+eq\f(f(2),f(1))+eq\f(f(3),f(2))+…+eq\f(f(2005),f(2004))+eq\f(f(2006),f(2005))=___________________.三、解答题：本大题6小题，共74分，解答应写出必要的文字说明．推理过程或计算步骤.19．（本题满分12分）已知向量()和=()，∈［π，2π］．(Ⅰ)求的最大值；(Ⅱ)当=时，求的值．20．（本小题满分12分）甲、乙两人在一场五局三胜制的象棋比赛中，规定甲或乙无论谁先赢满三局就获胜，并且比赛就此结束.现已知甲、乙两人每比赛一局甲取胜的概率是，乙取胜的概率为，且每局比赛的胜负是独立的，试求下列问题：(Ⅰ)比赛以甲3胜1而结束的概率；(Ⅱ)比赛以乙3胜2而结束的概率；(Ⅲ)设甲获胜的概率为a，乙获胜的概率为b，求a：b的值.21．（本题满分14分）如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点。(Ⅰ)求证：AM∥平面BDE；(Ⅱ)求二面角A－DF－B的大小.（Ⅲ）试问：在线段AC上是否存在一点P，使得直线PF与AD所成角为60°？22.（本题满分14分）已知eq\o(\s\up8(),OF)=（c,0）(c>0),eq\o(\s\up8(),OG)=(n,n)(n∈R),|eq\o(\s\up8(),FG)|的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:①|eq\o(\s\up8(),PF)|=eq\f(c,a)|eq\o(\s\up8(),PE)|(a>c>0);②eq\o(\s\up8(),PE)=eq\o(\s\up8(),OF)(其中eq\o(\s\up8(),OE)=(eq\f(a2,c),t),≠0,t∈R);③动点P的轨迹C经过点B(0,－1).(Ⅰ)求c的值;(Ⅱ)求曲线C的方程;(Ⅲ)是否存在方向向量为a=(1,k)(k≠0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且|eq\o(\s\up8(),BM)|=|eq\o(\s\up8(),BN)|?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.23．（本题满分14分）如图，过点P(1,0)作曲线C:的切线，切点为,设点在x轴上的投影是点；又过点作曲线C的切线，切点为,设在x轴上的投影是；…；依此下去,得到一系列点,,…,,…,设点的横坐标为.（Ⅰ）试求数列｛｝的通项公式；（用的代数式表示）（Ⅱ）求证：（Ⅲ）求证：（注：）.参考答案及评分标准一、选择题1．C易知A=｛-1，0，1｝，B=｛1，2｝，故A∩B=｛1｝.2．D分x<1与2≤x<5讨论.3．Deq\o(\s\up8(),OP)=eq\o(\s\up8(),OA)+λ(eq\o(\s\up8(),AB)+eq\o(\s\up8(),AC))=eq\o(\s\up8(),OA)+2λeq\o(\s\up8(),AD)(其中D为BC的中点),于是有eq\o(\s\up8(),AP)=2λeq\o(\s\up8(),AD),从而点A、D、P共线，即点P的轨迹通过三角形ABC的重心.4．B作出不等式表示的平面区域即可.5．A先从14人中选出12人,再将12人进行分组,且每组4人.6．B由线面位置关系不难知道:①③正确的.7．B[解析]由题意知:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始为负数,S4010=2005(a1+a4010)=2005(a2005+a2006)>0,S4011=eq\f(4011(a1+a4011),2)=4011a2006<0,故n的最大值为4010.另解:由题意可得:等差数列中,从第1项到第2005项是正数,且从第2006项开始是负数,则所有的正项的和为Sn的最大值,即当n=2005时,取得最大值,显然Sn是关于n的缺常数项的二次函数,且开口向下,所以第2005项离对称轴最近,故其对称轴介于2005到2005.5之间,又因为二次函数的图象与x轴的一个交点是(0,0),则设另一个交点(x,0),x应介于4010到4011之间.所以使Sn>0的最大自然数是4010,故选B.本小题结论可以推广成一般结论:等差数列中,a1>0,ak+ak+1>0,且akak+1<0,则使前n项和Sn>0的最大自然数n是2k..8．B原函数的图象是由y=eq\f(1,x)图象向下移动一个单位,且在(－∞,0),(0,＋∞)上为减函数,所以其反函数的图象是由y=eq\f(1,x)的图象向左移动一个单位,且在定义域上为减函数.9．B易知面BCC1B1内的点到点F的距离是到BC的距离倍的eq\f(1,2)，由椭圆的第二定义即知.10．D设MFeq\a(1)双曲线的交点为P，焦点Feq\a(1)（－c,0）,F2(c,0),由平面几何知识知：F2P⊥Feq\a(1)M，又|Feq\a(1)F2|=2c于是|PF2|=2csin60°=eq\r(3)c|PF1|=c故2a=|PF2|－|PF1|=eq\r(3)c－c=（eq\r(3)－1）ce=eq\f(c,a)=eq\r(3)+1.11．C特值法：令a=2与eq\f(2,3)可知在上恒正，显然选项D不正确.12．B依题意知PMQ曲线是以A、B为焦点、实轴长为2的双曲线的一支（以B为焦点），此双曲线的离心率为2，以直线AB为轴、AB的中点为原点建立平面直角坐标系，则该双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，点C的坐标为（3，eq\r(3)）.则修建这条公路的总费用ω=a[|MB|+2|MC|]=2a[eq\f(1,2)|MB|+|MC|],设点M、C在右准线上射影分别为点Meq\a(1)、Ceq\a(1)，根据双曲线的定义有|MMeq\a(1)|=eq\f(1,2)|MB|，所以=2a[|MMeq\a(1)|+|MC|]≥2a|CCeq\a(1)|=2a×（3-eq\f(1,2)）=5a.当且仅当点M在线段CCeq\a(1)上时取等号，故ω的最小值是5a.二、填空题13.200易知A=2,ω=eq\f(π,2),=±eq\f(π,4),y=2－cos(πx+eq\f(π,2))=2±sinπx,从而f(1)+f(2)+f(3)+…+f(100)=2×100=200.14.[解析]∵y’=3x2－≥－,∴tanα≥－又∵0≤α≤∏∴0≤α<15.由二项式定理知:的展开式中的系数为Ceq\o(\s\up7(3),5)·,的展开式中的系数为Ceq\o(\s\up7(1),4)·eq\f(5,4),于是有Ceq\o(\s\up7(3),5)·=Ceq\o(\s\up7(1),4)·eq\f(5,4),解得=eq\f(1,2).16.①、③可通过作差比较得到结论.17.283[解析]由条件知道:该数列的奇数项分别为1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,…,偶数项分别为3,4,5,6,7,8,9,10,11,…,把奇数项的前10项与偶数项的前9项相加即得S19=283.18.4012[解析]∵f(1+0)=f(1)·f(0),2=2f(0),∴f(0)=1∵f(2)=f(1+1)=f(1)·f(1)=22,f(3)=f(2+1)=f(2)·f(1)=23,依此类推:f(2005)=22005,f(2006)=22006,∴原式==4012.三、解答题19．解：(Ⅰ)1分===3分∵θ∈［π，2π］，∴，∴≤1max=2．5分(Ⅱ)由已知,得7分又∴10分∵θ∈［π，2π］∴，∴．12分20．解:(Ⅰ)比赛以甲3胜1而结束,则第四局一定甲胜，前三局中甲胜两局,1分∴所求概率为:.3分答：比赛以甲3胜1而结束的概率为.4分(Ⅱ)比赛以乙3胜2而结束，则第五局一定乙胜，前四局中乙胜两局，5分∴所求概率为:7分答：比赛以乙3胜2而结束的概率为.8分(Ⅲ)甲先胜3局的情况有3种:3胜无败,3胜1败,3胜2败.，则其概率分别为9分，=，，于是甲获胜的概率11分∴乙获胜的概率∴.12分21．方法一解:(Ⅰ)记AC与BD的交点为O,连接OE,1分∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，∴四边形AOEM是平行四边形，2分∴AM∥OE.3分∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE.4分(Ⅱ)在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连结BS，∵AB⊥AF，AB⊥AD，∴AB⊥平面ADF，5分∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂线定理得BS⊥DF.∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角。7分在RtΔASB中，∴8分∴二面角A—DF—B的大小为60º.9分（Ⅲ）设CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，则PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF，∴PQ⊥QF.11分在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ.∵ΔPAQ为等腰直角三角形，∴12分又∵ΔPAF为直角三角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去)即点P是AC的中点.14分方法二（仿上给分）（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系。设，连接NE，则点N、E的坐标分别是（、（0,0,1）,∴NE=(,又点A、M的坐标分别是（）、（∴AM=（∴NE=AM且NE与AM不共线，∴NE∥AM.又∵平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDF.（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF.∴为平面DAF的法向量。∵NE·DB=（·=0，∴NE·NF=（·=0得NE⊥DB，NE⊥NF，∴NE为平面BDF的法向量。∴cos<AB,NE>=∴AB与NE的夹角是60º.即所求二面角A—DF—B的大小是60º.（Ⅲ）设P(t,t,0)(0≤t≤)得∴DA=（0，，0，），又∵PF和AD所成的角是60º.∴解得或（舍去），即点P是AC的中点.22．解:(Ⅰ)法一:|eq\o(\s\up8(),FG)|=eq\r((n－c)2+n2)=eq\r(2(n－eq\f(c,2))2+eq\f(c2,2)),当n=eq\f(c,2)时,|eq\o(\s\up8(),FG)|min=eq\r(eq\f(c2,2))=1,所以c=eq\r(2).3分法二:设G(x,y),则G在直线y=x上,所以|eq\o(\s\up8(),FG)|的最小值为点F到直线y=x的距离,即eq\f(|c－0|,eq\r(2))=1,得c=eq\r(2).(Ⅱ)∵eq\o(\s\up8(),PE)=eq\o(\s\up8(),OF)(≠0),∴PE⊥直线x=eq\f(a2,c),又|eq\o(\s\up8(),PF)|=eq\f(c,a)|eq\o(\s\up8(),PE)|(a>c>0).∴点P在以F为焦点,x=eq\f(a2,c)为准线的椭圆上.5分设P(x,y),则有eq\r((x－eq\r(2))2+y2)=eq\f(eq\r(2),a)|eq\f(a2