2024届新高考数学一轮复习配套练习 空间向量及其运算和空间位置关系

2024届新高考数学一轮复习配套练习专题8.6空间向量及其运算和

空间位置关系

练基础

1♦

1.（2021•陕西高二期末（理））已知P为空间中任意一点，AB、C、。四点满足任意三点均不共线，但四

21

点共面，B.PA=-PB-xPC+-BD,则实数x的值为（）

36

A.-B.--C.-D.--

3366

2.【多选题】（2021•全国）下列命题中不正确的是（）.

A.若A、8、C、O是空间任意四点，则有AB+8C+CZ）+ZM=0

B.若|。冃切，则〃、匕的长度相等而方向相同或相反

C.|a|-屹|=|“+6是共线的充分条件

UL11UULILllULH1

D.对空间任意一点尸与不共线的三点A、8、C,若0P=MM+y08+z0C（x，y，zeR）,则P、A、8、C四

点共面

3.（2020•江苏省镇江中学高二期末）己知向量a=（l,-3,2）,8=（-2,优,-4）,若力〃力，则实数，〃的值是

.若a丄力，则实数m的值是.

4.（2021•全国高二课时练习）下列关于空间向量的命题中，正确的有.

①若向量a，6与空间任意向量都不能构成基底，则a//b;

②若非零向量a,h>c满足”丄〃，b丄c，则有a//c;

③若。4，OB，。。是空间的一组基底，且0£>=g0A+；0B+g0C,则A,B,C,。四点共面；

④若向量a+分，b+c>c+a>是空间一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底.

5.（2021•全国高二课时练习）已知点A（1,2,3）,8（0,1,2）,C（-I,0,X）,若A,B,C三点共线，

则几=_.

6.（2021•广西高一期末）ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线长为

7.（2021•全国高二课时练习）在三棱锥S-ABC中，平面SAC丄平面ABC,SA丄AC,8c丄AC,|SA|=6,

|AC|=V2I,忸C|=8,则|S8|的长为.

8.（2021•浙江高一期末）在长方体AB8-A4G。中，AB=AD=\,M=2,点p为底面A8CD上一点，

则PA-PCt的最小值为.

9.（2021•山东高二期末）在正三棱柱ABC-aBC中，AB=AA=2,点。满足AO=g（AB+A4,）,则=

10.（2020-2021学年高二课时同步练）如图，已知0,4仇。,。,£尸,6,"为空间的9个点，且

OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,k#0,，〃片0,求证：

o

(1)AB,C,£>四点共面，E,F,G,H四点共面;

(2)AC//EG:

(3)OG=kOC.

练提升

1.（2021•四川省大竹中学高二月考（理））如图，在平行六面体ABCD-A8cA中，AB^AD^l,

IUUITI

M=>/2,^BAAt=ZDAA,-45,ZBAD=CA),则卜6=()

A.1B.百C.9D.3

2.（2021•全国高二课时练习）如图所示，二面角的棱上有A、B两点，直线AC、8。分别在这个二面角的

两个半平面内，且都垂直于4B,已知A8=4,AC=6,80=8,CD=2同，则该二面角的大小为（）

A.30B.45

C.60D.90

3.（2021•湖北荆州•高二期末）如图，在三棱柱A8C-A8C中，与8c相交于点

0,/A4B=/AAC=/BAC=60，A4=3,A8=AC=2,则线段A。的长度为（）

J3

A叵B.叵C.3D.叵

2222

4.（2020•浙江镇海中学高二期中）己知空间四边形ABCZ）的对角线为AC与3。，M,N分别为线段AB,

___1一1一

CD上的点满足AM=：AB,DN-DC,魚G在线段MN上,且满足MG=2GN，若AG=xAB+yAC+zAD,

34

贝jix+y+z=.

5.（2021.广西高二期末（理））在A8C中，ABAC=90°,AB=6,AC=8,。是斜边上一点，以AD为棱

折成二面角C-AD-3,其大小为60。，则折后线段BC的最小值为.

6.（2021•辽宁高一期末）己知点E在正方体A88-A4GA的侧面44出田内（含边界），F是A4的中点,

RE丄CF,则tanZBCE的最大值为；最小值为.

7.（2021・北京高二期末）如图，在四面体A8C。中，其棱长均为1,M,N分别为8C,A。的中点.若

MN=xAB+yAC+zAD,则x+N+z=；直线MN和CD的夹角为.

8.（2021•四川高二期末（理））如图，在三棱柱中，点。是BG的中点，AC=\,BC=CC,=2,

（1）用a，b>c表不AB，A。;

（2）求异面直线AB与A。所成角的余弦值.

9.（2021.浙江高一期末）已知四棱锥7-厶88的底面是平行四边形，平面&与直线AL>,L4,TC分别交于点

P,Q,R且黑=^=5J=x,点M在直线7B上，N为C。的中点，且直线〃平面口.

AD/AC/

（I）设TA=a,TB=b,TC=c,试用基底｛a,b,c｝表示向量7»；

（H）证明，对所有满足条件的平面a,点M都落在某一条长为亚力5的线段上.

2

10.（2021•山东高二期末）己知在空间直角坐标系。-孙z中，点A，B,C,M的坐标分别是（2,0,2）,（2,1,0）,

（0,4-1）,（2,3,-1）,过点A,B,C的平面记为a.

（1）证明：点A,B,C,Af不共面；

（2）求点M到平面a的距离.

练真题

1.（2021•全国高考真题）在正三棱柱ABC-ABCI中，川=偿=1，点P满足=,其中4e[0,l],

MG[0』，则（）

A.当4=1时，的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值

C.当4时，有且仅有一个点尸，使得4尸丄BP

D.当〃=g时，有且仅有一个点户，使得A8丄平面A8/

2.（湖北卷）在如图所示的空间直角坐标系。-个z中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2）,（2,2,0）,

（1,2,1）,（2,2,2）,给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）

A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②

3.（2018年理数全国卷H）在长方体ABCC-41B1GD1中，AB=BC=1,441=百，则异面直线4劣与。殳

所成角的余弦值为（）

A、B-?C-TDT

4.（2019年高考浙江卷）如图，已知三棱柱45C-A4G，平面4ACG丄平面ABC,NA3C=90°,

ZBAC=30°,A=AC=AC,E,F分别是IC,4笈的中点.

（1）证明：EFA.BC；

（2）求直线即与平面儿完所成角的余弦值.

5.(2019年高考北京卷理)如图，在四棱锥P-ABCD中,均丄平面ABCD,ADVCD,AI)//BC,PA=AD=CD=2,B(=3.E

PF1

为如的中点，点尸在PC上，且

PC3

(1)求证：切丄平面必〃；

(2)求二面角尸-/£-户的余弦值；

(3)设点G在心上，且爲=g.判断直线/G是否在平面1成内，说明理由.

6.(2019年髙考全国II卷理)如图，长方体/腼-4旦G"的底面/腼是正方形，点£在棱上，BELEG.

(1)证明：成丄平面EBC；

（2）若/后4区求二面角6-於-G的正弦值.专题8.6空间向量及其运算和空间位

置关系

练基础

1.（2021•陕西高二期末（理））已知尸为空间中任意一点，AB、C、。四点满足任意三点均不共线，但四

21

点共面，B.PA=-PB-xPC+-BD,则实数x的值为（）

36

A.-B.--C.-D.--

3366

【答案】B

【解析】

根据向量共面的基本定理当PD=xPA+yP8+zPC时x+y+z=l即可求解.

【详解】

*7IO111

PA=-PB-XPC+-BD=-PB-XPC+-（PD-PB\=-PB-XPC+-PD,

3636、丿26

又TP是空间任意一点，A、8、C、O四点满足任三点均不共线，但四点共面，

-=1,解得X=_g

263

故选：B

2.【多选题】（2021.全国）下列命题中不正确的是（）.

A.若A、8、C、。是空间任意四点，则有A8+BC+C£）+D4=O

B.若冃b|,则入5的长度相等而方向相同或相反

C.|。|-屹冃°+引是0、匕共线的充分条件

iiuiUHmuinui

D.对空间任意一点尸与不共线的三点A、8、C,OP=xOA+yOB+zOC（VZGR）,则P、A、8、C四

点共面

【答案】ABD

【解析】

本题考察向量的概念与性质，需按个选项分析，A选项考察向量加法的意义，B选项考察向量的模的性质，

C选项可以两边平方计算，D选项考察四点共面的性质.

【详解】

milIILUuuuLILUl1

A选项，4B+8C+C£)+OA=0而不是。，故A错，

B选项，|a|=|〃仅表示〃与人的模相等，与方向无关，故B错，

C选项，|-+/?|n,F-2时一回+但「=/+2a-b+Z?2,

即-2|a|jZ?|=2ab=2kH"，cos(a,b),

即cos®b)=-\,〃与人方向相反，故C对，

D选项，空间任意一个向量OP都可以用不共面的三个向量。4、08、0C表示，

尸、A、B、C四点不一定共面，故D错，

故选ABD.

3.(2020•江苏省镇江中学高二期末)已知向量。=(1,一3,2),6=(—2,m,-4),若二〃力，则实数机的值是

.若a丄b，则实数m的值是.

【答案】6--

3

【解析】

a=(1,-3,2),h=(-2,in,-4),若a//b>则(L-3,2)=2(-2,zn,-4),

A,—1Q

解得，2；若q丄)，则〃力=一2-3加一8=0，解得机=一~—•

m=6~

故答案为：6和一■—.

3

4.(2021•全国高二课时练习)下列关于空间向量的命题中，正确的有.

①若向量〃，方与空间任意向量都不能构成基底，则〃//9

②若非零向量a,b，c满足〃丄6,匕丄c，则有〃//c;

—11一1一

③若。4，OB，OC是空间的一组基底，OD=—OA+—OB+—OC,则A,B,C,。四点共面；

④若向量4+人)+：,，C+Q,是空间一组基底，则a，b，。也是空间的一组基底.

【答案】①③④

【解析】

根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此分别分析判断①，④；对于②在空

间中满足条件的a与c不一定共线，从而可判断;对于③，由条件结合空间向量的加减法则可得

AD=-AB+-AC,从而可判断；

33

【详解】

对于①：若向量a，6与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即〃//6,故①正确;

对于②：若非零向量a，b.c满足a丄6，b丄c,则a与c不一1定共线，故②错误；

对于③：若。A,OB，0C是空间的一组基底，且。。=g04+g0B+g0C,

1111

贝IJO£>-OA=§(O8-Q4)+3(OC-OA),BPAD=-AB+-AC,

可得到A,B,C,。四点共面，故③正确；

对于④：若向量a+方，b+c>c+a，是空间一组基底，则空间任意一个向量"，

存在唯一实数组(x,y,z),使得d=x(a+6)+y(b+c)+z(c+a)=(x+z)a+(x+y)b+(y+z)c,

由％y,z的唯一性，则尤+z,x+y,y+z也是唯一的

则a，b,C•也是空间的一组基底，故④正确.

故答案为：①③④

5.(2021•全国高二课时练习)已知点AQ,2,3),B(0,1,2),C(-1,0,X),若A,B,C三点共线，

贝|]2=_.

【答案】1

【解析】

利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出X的值.

【详解】

由题意，点A(1,2,3),B(0,1,2),C(-1,0,X),

所以AB=(—1,-1,—1),BC=(——2),

；

若A,B,。三点共线，则AB//BC，即—_1=—_1=丄-2]，解得4=L

故答案为：1.

6.(2021・广西高一期末)A8C在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线长为

【答案】73

【解析】

先用中点坐标公式解出线段BC中点的坐标，再用两点间距离公式求出中线长.

【详解】

）,即（1,1,0）

由空间两点间的距离公式得BC边上的中线长为7(0-1)2+(0-1)2+(1-0)2=百.

故答案为：6

7.(2021•全国高二课时练习)在三棱锥S-ABC中，平面54c丄平面A8C,SALAC,BC丄AC,|SA|=6,

照=后，|BC|=8,则|SB|的长为

y

X

【答案】11

【解析】

建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用两点间距离公式求得结果.

【详解】

平面丄平面A8C,平面SAC平面A8C=AC,SAVAC,SAu平面SAC,SA丄平面ABC,

建立以A为原点，平行于BC做x轴，AC为）,轴，SA为z轴作空间直角坐标系，

贝|JA（O,O,O）,B（8，V21,0）,S（0,0,6）

/.\SB\=|SB\=J（0-8>+（0-同2+（6-Of=11.

故答案为：11.

8.（2021•浙江高一期末）在长方体ABC。-ABCQ中，AB=AD=1,44t=2,点?为底面A8CO上一点,

则PA-PCt的最小值为.

【答案】

【解析】

根据题意，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.

【详解】

解：如图，以ARAB,44,所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则A(O,O,O)，G(lJ2),设P(x,)，,0),

所以扇=(-％->,0),死=(1-工,1_%2)，

22

所以PA-PCt=-^(l-x)-y(l—y)=x+y—x-y=(x-g)+(.y

所以当x=y=g时，有最小值

故答案为：

9.（2021•山东高二期末）在正三棱柱ABC-ABC中，AB=AA=2,点。满足4。=g（AB+蝴），则=

【答案】2

【解析】

因为ABC-A耳G是正三棱柱，所以建立如图的空间直角坐标系，求出AO的坐标也即是点。的坐标，由C,£>

两点的坐标即可求卜4的模.

【详解】

因为A8C-ABG是正三棱柱，所以AA丄面A8C,且43c为等边三角形,

如图建立以A为原点，AC所在的直线为y轴，过点A垂直于AC的直线为X轴，4A所在的直线为z轴,

建立空间直角坐标系，

则4（0,0,0）,8（"1,0）,A（0,0,2）,C（0,2,0）,A8=（百,1,0）,A4,=（0,0,2）,

所以AO=；（AB+A4）=；（G,1,2）=母;,1],即£（得；,1,

故答案为：2.

10.（2020-2021学年高二课时同步练）如图，已知0,4,8工,。,民£&，为空间的9个点，且

OE=kOA,OF=kOB,OH=kOD,AC=AD+inAB,EG=EH+mEF,AwO,rn^O,求证:

（1）A,>C,£>四点共面,E,F,G,H四点共面;

（2）AC//EG;

（3）OG=kOC.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析：（3）证明见解析.

【解析】

（1）利用共面向量定理证明四点共面;

（2）利用向量加减及数运算找到AC、EG的关系，证明4C〃EG;

（3）利用向量加减及数运算可得.

【详解】

证明：（1）,AC=AD+mAB,m^0,；.A、B、C、。四点共面.

EG=EH+mEF,mwO,：.E.F、G、”四点共面.

(2)EG=EHmEF=OH-OE+m{OF-OE)=k(OD-OA)+km{OB-OA)

=kAD+kmAB=k(AD+mAB)=kAC,AC//EG.

(3)OG=OE+EG=kOA+kAC=k(OA+AC)=kOC.

练提升

1.(2021•四川省大竹中学高二月考(理))如图，在平行六面体ABC。-A8CA中，AB=AD=1,

IUUITI

A4,=/£>想=45,/BAO=60,则卜4卜()

A.1B.后C.9D.3

【答案】D

【解析】

根据图形，利用向量的加法法则得到AG=A8+AO+AA,

再利用|ACJ=*AB+AD+41J求患的模长.

【详解】

在平行六面体A88-AgGA中，

WAC=AB+AD>AC^AC+AA,=AB+AD+AA,,

由题知，AB^AD^l,A4,=V2,ZBAAi=ZDAAl=45,ZBAD=60>

所以卜@=34=1,|心卜夜，A8与AD的夹角为㈤£>=60。，

AB与胡的夹角为N8/M=45。，A。与A41的夹角为乙44。=45。，

所以

AC~

=(AB+AO+AA)2

=|AB|2+|AD|2+冋?+2A5.AO+2A3.AA,+2A»AA,

=l+14-2+2xlxlxcos600+2xlx>/2xcos450+2xlx>/2xcos45°

=9.

所以kq=3.

故选：D.

2.(2021•全国高二课时练习)如图所示，二面角的棱上有A、B两点，直线AC、2。分别在这个二面角的

两个半平面内，且都垂直于AB,已知Afl=4,AC=6,BD=8,CD=2拒，则该二面角的大小为()

A.30B.45

C.60D.90

【答案】C

【解析】

根据向量垂直的条件得C4dB=0,=再由向量的数量积运算可得cos(CA8Z))=-g,根据图示

可求得二面角的大小.

【详解】

由条件知CA43=0，ABBD=0,CD=CA+AB+BD>

r.ICD|2=|CA|2+|AB「+|BD|2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

=62+42+82+2x6x8cos（CA,,

：.cos（CA,Z?D）=-1,又（CA8D闫o,同，所以〈CA8£＞）=120,.•.由图示得二面角的大小为60,

故选：C.

3.（2021・湖北荆州•高二期末）如图，在三棱柱ABC-ABC中，BG与BQ相交于点

O,ZAXAB=Z\AC=ZBAC=60,A,A=3,AB=AC=2,则线段AO的长度为()

匸I

【答案】A

【解析】

依题意得|朋卜3,卜3卜卜(?卜2,AAyAB=AAyAC=3,ABAC=2,AO=+AC+AB),进而可

得结果.

【详解】

依题意得|原1卜3,卜8卜|AC|=2,AA(-AB=A4,•AC=3,AB-AC=2.

AO=厶£+00=(例+4c卜gg=(AA+AC)_g(2B1+8C)

=(A4+AC)-g(/U,+AC-AB)=；(A41+AC+A8),

所以

2222

\AO^=AO=-^AAt+AC+AB^=^AAt+AC+AB+2AA,-AC+2AAt-AB+2AC-AB

^^x(32+22+22+2x34-2x3+2x2)=^,

故|砌=亨.

故选：A.

4.（2020•浙江镇海中学高二期中）已知空间四边形ABC。的对角线为AC与3D,M,N分别为线段A8,

CD上的点满足AM=2AB,QN=丄OC,点G在线段MN上,且满足MG=2GN，若AG=xAB+yAC+zAD,

34

则x+y+z=.

【答案】I

【解析】

以48,AC,4。作为空间向量的基底，利用向量的线性运算可得AG的表示，从而可得x，y，z的值，最后可得

x+y+z的值.

【详解】

AG=AM+MG=-AB+-MN,

33

5LMN=AN-AM=AN--AB,

3

^AG=AM+MG=^AB+^AN-^AB^=^AB+^AN,

111Q

\hiAN=AD+DN=AD+-DC=AD+-（AC-AD）=-AC+-AD,

所以4G=,AB+斗丄AC+3A丄AB+丄AC+丄AO,

93（44J962

因为A8,AC,A£>不共面，故光=<»=丄,2=:，

962

7

所以x+y+z=§,

7

故答案为：—

5.（2021•广西高二期末（理））在ABC中，ABAC=90°,AB=6,AC=8,。是斜边上一点，以"＞为棱

折成二面角C-AO-3,其大小为60。，则折后线段BC的最小值为.

【答案】2币

【解析】

过C,8作AO的垂线，垂足分别为E,F,从而得到3F-FE=0,FE-EC=0,然后将BC用BF,FE,EC表示,

求出|8C『的表达式，再设NfiW=a，利用边角关系求出所需向量的模，同时利用二面角的大小得到向量BF

与EC的夹角，利用同角三角函数关系和二倍角公式化简IBCT的表达式，再利用正弦函数的有界性分析求

解即可.

【详解】

解：如图①，mC,B作的垂线，垂足分别为E,F,

故BF丄EF,

EC1EF,

所以BF-FE=0,FE-EC=0,

以A£>为棱折叠后，则有BC=B/+FE+EC，

故BC?=(BF+FE+EC¥

=BF2+FE2+EC2+2BF-EC+2BF-FE+2FE-EC，

=|BF|2+1FE|2+1£C|2+2BF-EC,

因为以AD为棱折成60。二面角C-AQ-6,

所以BF与EC的夹角为120。，

令NR4£>=a,贝1」"4£=90。-访

在RfABF中，8/=A8.sina=6sina,AF=ABcosa=6cosa,

在Rt/\ACE中，EC=AC-sin(90°-a)=8cosa,AE=AC-cos(90°-a)=8sina,

故FE=AE-AF=Ssina-6cosa,

所以|BC|2=(6sina)2+(8sincr-6cos6z)24-(8cosa)2+2-6sina-8coscrx(-^)

=36(sin2a+cos2a}+64(sin2a+cos2a)-144sinacosa

=100-72sin26if,

故当a=45。时，|5C|2有最小值28,

故线段8C最小值为2".

故答案为：2币.

6.（2021・辽宁高一期末）已知点E在正方体ABS-AECQ的侧面AA48内（含边界），F是A4的中点,

D.EVCF,则tanNBCE的最大值为；最小值为.

【答案】1乎

【解析】

首先以点。为原点，建立空间直角坐标系，得到6=2〃-2,«€[1,2],并表示

朴V）+5,利用二次函数求函数的最值.

BE

tanZBCE=—

BC2

【详解】

设正方体棱长为2,如图以点。为原点，建立空间直角坐标系,

O,（0,0,2）,E（2,a,b）,C（O,2,O）,F（2,0,l）,8（2,2,0）,

DlE=（2,«,/>-2）,CF=（2,-2,1）,

DtElCF,

:.D]ECF=4-2a+b-2^0,得6=2〃-2,ae[l,2],

BC丄平面ABB,A,,BC1.BE,

颔〃篋=丝=强=匹叵

BC22

/6丫4

_2y+(2.2y_J5M12Q+8_、I5丿5

222

当a=2时，tanNBCE取得最大值是1,当。=，时，tanZBCE取得最小值是g.

故答案为：1；乎

7.(2021•北京高二期末)如图，在四面体ABC。中，其棱长均为1,M,N分别为2C,AO的中点.若

MN=xAB+yAC+zAD,贝ljx+y+z=；直线MN和CD的夹角为.

【答案】-1.:

【解析】

利用空间向量的线性运算把MN用AB,AC,AO表示即可得x，y，z,再由向量的数量积得向量夹角，从而得异

面直线所成的角.

【详解】

由已知得MN=M8+8A+AN=1CB-A8+丄AO=」(AB-AC)-AB+丄AO=-丄AB-丄AC+丄A。，又

2222222

加可=》厶8+)咒。+2/1£)且厶8,厶(7,4£)不共面，x=y=—^,z=g,x+y+z=-g,

ABC。是棱长为1的正四面体，AB-AC=lxlxcos60°=—,同理A£)=AC，AO=丄,

22

\MN\=\IMN2=J-AB2+-AC2^--AD2+-ABAC--ABAD--ACAD=+-+-+,

1।V444222Y4444442

CD=AD-AC^

MNCD=(-^AB-^AC+^AD)\AD-AC)

1111-21211111111

=——ABAD+—ABAC——AC-AD+—AC+—AD——AD-AC=——+------+—+------=-,

2222224442242

25/27

.・.cos<MN,CD>==—,:・<MN,CD>=—,

诉何一旦］24

2

.,.异面直线MN和C。所成的角为二.

4

8.（2021.四川高二期末（理））如图，在三棱柱A8C-ABG中，点。是BG的中点，AC=l,BC=CCt=2,

ZACC,=90°,ZACB=ZBCCt=60°,设C4=a，CB=b，CCx=c.

（1）用a，b>c表示A8，A。；

（2）求异面直线AB与AQ所成角的余弦值.

【答案】（1）AB=b-a>4。=—a；（2）—.

226

【解析】

（1）根据空间向量的线性运算法则计算；

（2）用空间向量法求解.

【详解】

（1）三棱柱ABC-4gG中，点。是8G的中点，

AB=CB—CA=b—a'

AiD=AiC\+ClD=-CA+^CiB=-a+^CB-CCi）=-a+^h-^c,

(2)卜|=1，M=H=2，。♦厶=lx2xcos60°=l，〃・c=lx2cos90°=0，Z?c=2x2cos60°=2,

网=也-42ab+c：=,4-2x1+12=6,

；21/2121,Liii八1八

(-a+gb-c)2a+—b+—c-a-b+a-c——b-c=Jl+l+l-l+O——x2=1

442V2

AB-A,D=(b-ci)'(-a-¥—b——c)=-ab+-b——bc+a——a•b+—a•c

222222

J.

ABA.D2_^3

cos<AB,A^D>=

|AB||4D|V3xl6

所以异面直线AB与例所成角的余弦值是*.

9.（2021•浙江高一期末）已知四棱锥T-A8CD的底面是平行四边形，平面a与直线AR7ATC分别交于点

P,。/且丝=丝=?=》，点M在直线力?上，N为C。的中点，且直线MN//平面a.

ADTACT

（I）9A=a,TB=b,TC=c,试用基底｛a也c｝表示向量7D；

（II）证明，对所有满足条件的平面口,点〃都落在某一条长为且TB的线段上.

2

【答案】（I）TD=a+c-b;（II）证明见解析.

【解析】

（I）由771=a,7B=b,TC=c,利用空间向量的加、减运算法则求解；

（II）结合（I）TD=a+c-h，根据空=&=/=%，设TM=MB=4b，分别用a,0,c表示QP，QR，

ADTACT

NM,然后根据MN〃平面a,由存在实数y,z,使得NM=），QP+zQR求解.

【详解】

(I)因为以=4,78=。,巾=0,

所以7D=7X+AD=Z4+3C=Z4+TC-7B=4+C-/?;

(II)由(I)知TD=a+c-b，

又因为喘嘿墻

=x，

所以7Q=xa,77?=(l—x)c,AP=xAD,

贝|J7P=7]4+AP=(1-X)Q+X(Q+C-〃)=Q+XC-X〃,

QP=QA+AP=(\-xjaJt-xc-xb,QR=TR-TQ=-xa-^(\-x)c,

设7M=Zra=/lb，

则77V=，TC+丄77)=丄Q—丄h+c,NM=TM-TN=--a-^[-+Z\b-cf

2222212丿

因为MN〃平面a,则存在实数),，z,使得NM=)，QP+zQR,

即4-2|/?-c=y(1-x)tz+xyc-xyb-xza+(1-x)zc,

=^y-xy-xz^a-xyb+^xy+z-xz^c,

1

y-xyf-xz=-—

.1

所以-xy=Z+—

xy-kz-xz=-1

消元得(44+1)%2一(4/1+3卜+24+1=0,

当4=一：时，x=L，

44

当/lw—丄时，

4

QxwR,

A=（42+3）2-4（42+l）（2A+l）>0,

解得—且好，

44

综上：--<2<—,

44

所以对所有满足条件的平面a，点〃都落在某一条长为好75的线段上.

2

10.（2021•山东高二期末）已知在空间直角坐标系。-刈z中，点A,8,C,“的坐标分别是（2,0,2）,（2,1,0）,

（0,4-1）,（2,3,-1）,过点A,B,C的平面记为a.

（1）证明：点A,B,C,M不共面；

（2）求点M到平面a的距离.

【答案】（1）证明见解析；（2）号.

【解析】

（1）由AB=2AC知A，B,C三点不共线，然后由AM=xAB+yAC得不存在实数X,丁得答案；

（2）利用点M到平面a的距离d”=可得答案.

【详解】

（1）由已知可得：

AB=（O,l,—2）,AC=（-2,4,-3）,AM=（0,3,-3）

假设A,B,C三点共线，则存在使得A8=2AC，

0=-22

即（0,1,-2）=4（—2,4,一3）,所以1=42

-2=-32

此方程组无解，所以AB，AC不共线，

所以A,B,C不共线，

所以过点A,B,C的平面a是唯一的，

若点A,B,C,〃共面，则存在x,ye/?,使得AM=xAB+），AC,

即（0,3,-3）=x（0,1,—2）+y（—2,4,-3）,

0=-2y

即,3=x+4y,此方程组无解，

-3=-2x-3y

即不存在实数x,九使得AM=xAB+yAC,

所以点4，B,C,A/不共面.

（2）设平面a的法向量为n?=（a,b,c）,

m-AB=OJb-2c=0

m-AC=0f।j-2a+4。-3c=0

令c=2,则1=4,a=5,所以机二（5,4,2）,

14M•词2J5

所以点M到平面a的距离dM==T-.

H5

练真题

1.（2021全国高考真题）在正三棱柱ABC-ABC中，AB=",=1,点p满足BP=4BC+〃3耳，其中4e[0,1],

440,1],则（）

A.当；1=1时，△AB『的周长为定值

B.当〃=1时，三棱锥P-ABC的体积为定值

C.当/=3时，有且仅有一个点P,使得AP丄8P

D.当〃=g时，有且仅有一个点P,使得AB丄平面AB/

【答案】BD

【解析】

对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；

对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；

对于C,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；

对于D,考虑借助向量的平移将P点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解户点的个数.

【详解】

易知，点P在矩形BCC円内部（含边界）.

对于A,当2=1时，BP=BC+RBBI=BC+RCG，即此时Pe线段CC-与P周长不是定值，故A错误;

对于B,当〃=1时，BP=ABC+BB]=BB,+ABtCl,故此时尸点轨迹为线段Bg,而4G〃BC,用G〃平面

\BC,则有？到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确.

对于C,当久=；时，BP=；BC+〃呢,取BC,耳£中点分别为。，H,则8P=8Q+〃Q4,所以P点

轨迹为线段。冃，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，A乎，°，1，P（0,0，〃），贝lj

4P=-冬0屮-1,8尸=（0,-；,〃），4尸・8尸=〃（4_1）=0,所以〃=0或〃=1.故”,Q均满足，故C

错误；

对于D,当〃=；时，BP=4BC+；BB,,取84，附中点为〃,*.BP=BM+,N，所以尸点轨迹为线

段MN.设因为A与0,0,所以AP=_,，%，；AB=-与。T，所以

k）

3111

-+-%--=0^>^=--,此时尸与N重合，故D正确.

故选：BD.

2.（湖北卷）在如图所示的空间直角坐标系。一孙z中，一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2）,（2,2,0）,

（1,2,1）,（2,2,2）,给出编号①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（）

【答案】D

【解析】设A(0,0,2),5(2,2,0),C(l,2,l),D(2,2,2),在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则

判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②，故选D.

3.(2018年理数全国卷II)在长方体厶BCD-aB1C1D1中，AB=BC=1,=遅，则异面直线力劣与。

所成角的余弦值为()

A.iB.更C.叵D.W

5652

【答案】C

【解析】

以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则。(0,0,0),4(1,0,0),8式1,1,8),。式0,0,e),

所以和=(-1,0,b)，西=(1,1,73),因为cos<和，西>=爲譯=訣=鼻所以异面直线厶。1与

\Au-i|\DDI|2XV55

DBi所成角的余弦值为?，选C.

4.(2019年高考浙江卷)如图，已知三棱柱ABC—AqG，平面AACG丄平面ABC,NABC=90°,

NA4c=30。,AA=AC=AC,E,F分别是4a45的中点.

(1)证明：EF丄BC；

(2)求直线跖与平面4%所成角的余弦值.

3

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】方法一：

(1)连接4反因为44=4，，硯｛冰I中点，所以4£丄4c.

又平面44匕丄平面46G4CU平面44s,

平面4/CGn平面川%NC,

所以，46丄平面46C,则4瓦丄6c

又因为4尸〃4?,NABC=90°,故比丄

所以外丄平面4硏

因此小丄阳

(2)取比中点G,连接比,GF,则£跖41是平行四边形.

由于4石丄平面4%故4区L£G,所以平行四边形况払为矩形.

由(1)得比1丄平面的述，则平面48。丄平面瓦物,

所以所在平面48。匕的射影在直线4G上.

连接4皎灯于0,则/£%是直线用与平面46C所成的角（或其补角）.

不妨设4e4,则在RtZ\4£6中，4后26，E伉6

由于妫4G的中点，故EO=OG=42=15,

22

EO?+0G2-EG?3

所以cos/EOG=

2EOOG5