中考数学知识点练习真题-二次函数的图像与性质（解析版）

第十一讲二次函数的图像与性质

命题点1二次函数的基本性质

类型一开口方向、对称轴及顶点的确定（含解析式转化）

1.（2021•兰州）二次函数y=x2+4x+l的图象的对称轴是（）

A.x=2B.x=4C.X=-2D∙X=-4

【答案】C

【解答】解：∙.∙二次函数y=∕+4x+l,

抛物线对称轴为直线X=---2.

2×1

故选：C.

2.（2020•哈尔滨）抛物线y=3（X-I）?+8的顶点坐标为.

【答案】（1,8）

【解答】解：Y抛物线y=3（X-I）2+8是顶点式，

，顶点坐标是（1,8）.

故答案为：（1,8）.

3.（2021•贵阳）二次函数y=x2的图象开口方向是—（填“向上”或“向下”）.

【答案】向上

【解答】解：由y=/得：a>0,

二次函数图象开口向上.

故答案为：向上.

4.（2019•金昌）将二次函数y=x2-4x+5化成y=“（X-ZJ）?+/；的形式为.

［答案］V=（χ-2）2+1

【解答］解：>∙=x2-4.r+5=x2-4x+4+l=（x-2）2+l,

所以，y=（X-2）2+1.

故答案为：y=（x-2）2+I.

类型二与增减性、最值有关的问题

5.（2021•绍兴）关于二次函数y=2（x-4）2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是（）

A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6

【答案】D

【解答】解：Y二次函数y=2（X-4）2+6,α=2>0,

.∙.该函数图象开口向匕有最小值，当x=4取得最小值6,

故选：D.

6.（2021•雅安）定义：〃””{“，％}=<aQ<b）,若函数y=〃”〃{x+l,-/+2Λ+3},则该函

b（a>b）

数的最大值为（）

A.0B.2C.3D.4

【答案】C

【解答】解：x+l=-X2+2X+3,

x+1(-1<x<2)

•*y=4o»

-*2+2乂+3(*〈-1或乂>2)

把X=2代入J=X+1得y=3,

二函数最大值为y=3.

故选：C.

7.(2021•泰州)在函数y=(X-I)2中，当Ql时，y随X的增大而.(填“增大

或“减小”)

【答案】增大

【解答】解：；函数y=(X-I)2,

Λα=l>0,抛物线开口向上，对称轴为直线x=l,

.∙.当x>l时，y随X的增大而增大.

故答案为：增大.

类型三二次函数图像上点的坐标特征

8.(2021•福建)二次函数y=0x2-2ax+c(α>0)的图象过A(-3,yι),C

(2,*),D(4,)，4)四个点，下列说法一定正确的是()

A.若y∣”>0,贝!]y3y4>OB.若y1y4>O,贝∣Jj2y3>0

C.若y2y4<O,贝IJyIy3<0D.若*y4<0,则yi”<0

【答案】C

观察图象可知，y∣>y4>j2>y3,

若yι>,2>0,则y3,y4>O或γ3>,4<0,选项A不符合题意,

若yιy4>0,则或>'2>'3<0,选项B不符合题意,

若y2y4<0,则γι>,3<0,选项C符合题意，

若y3y4VO,则y1y2VO或y1y2>O,选项。不符合题意,

故选：C.

9.（2021•益阳）已知y是X的二次函数，如表给出了y与X的几对对应值：

X・•・-2-101234

y…11〃323611

由此判断，表中4=.

【答案】6

【解答】解：由上表可知函数图象经过点（0,3）和点（2,3）,

•••对称轴为χ=62=∣,

2

.∙∙x=-1时的函数值等于x=3时的函数值，

：当x=3时，y=6,

・二当X=-1时,。=6・

故答案为：6.

10.（2021∙长春）如图，在平面直角坐标系中，点A（2,4）在抛物线y=Ο?上，过点A

作y轴的垂线，交抛物线于另一点8,点C、。在线段A3上，分别过点C、。作X轴的

垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CQFE为正方形时，线段CQ的长为

【答案】-2+2√S

【解答】解：把A（2,4）代入y=αχ2中得4=4α,

解得a=∖,

.".y-x2,

设点C横坐标为m,则CD=CE=Im,

点E坐标为（M4-2m）,

.,.〃/=4-2m,

解得m=-ɪ-ʌ/ʒ（舍）或“7=-∣+Vδ∙

：.CD=2m=-2+2√5∙

故答案为：-2+2Λ∕^∙

类型四与坐标轴交点有关的问题

11.(2021•湖北)若抛物线y=∕+bx+c与X轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x=2,

P为这条抛物线的顶点，则点P关于X轴的对称点的坐标是()

A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,-4)D.(2,-4)

【答案】A

【解答】解：设抛物线y=∕+fex+c与X轴两个交点坐标为(xι,0),(X2,0),

：抛物线y=x1+bx+c与X轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x=2,

二(XI-X2)2=(χι+%2)2-4xιx2=16,---——2,

2×1

Λ(-∙k)2-4Xq=I6,b=-4,

11

解得C=O,

抛物线的解析式为y=x2-4x=(χ-2)2-4,

顶点P的坐标为(2,-4),

.∙.点P关于X轴的对称点的坐标是(2,4),

故选：A.

12.(2021•铜仁市)已知抛物线y=4G-〃)2+左与X轴有两个交点A(-1,0),B(3,0),

抛物线y=α(X-/?-M2+后与X轴的一个交点是(%()),则烧的值是()

A.5B.-1C.5或1D.-5或-1

【答案】C

【解答】解：；抛物线），="（X-/?）2+A的对称轴为直线χ=∕z,抛物线y=α（X-∕L"?）

2+k的对称轴为直线x=∕z+m,

二当点A（-1.0）平移后的对应点为（4,0））则m=4-（-1）=5；

当点B（3,0）平移后的对应点为（4,0）,则团=4-3=1,

即机的值为5或1.

故选：C.

13.（2021•成都）在平面直角坐标系Xoy中，若抛物线y=f+2x+%与X轴只有一个交点，

贝!]k=.

【答案】1

【解答】解：由题意得：△=/-4αc=4-4«=0,

解得k-∖,

故答案为1.

命题点2与二次函数图像有关的判段

14.（2021•深圳）二次函数y=αx2+bx+l的图象与一次函数y=2αr+b在同一平面直角坐标

系中的图象可能是（）

【答案】A

【解答】解：A、由抛物线可知，a>0,b<0,C=I,对称轴为直线X=-且，由直线可

2a

知，a>0,b<0,直线经过点（-也，0）,故本选项符合题意；

2a

B、由抛物线可知，对称轴为直线X=-且，直线不经过点（一旦，0）,故本选项不符

2a2a

合题意;

C、由抛物线可知，对称轴为直线X=-*-,直线不经过点（-上，0）,故本选项不符

2a2a

合题意；

D、由抛物线可知，对称轴为直线X=-旦，直线不经过点（一包，0）,故本选项不符

2a2a

合题意；

故选：A.

15.（2019•葫芦岛）二次函数），=Or2+bX的图象如图所示，则一次函数y=αr+b的图象大致

【答案】D

【解答】解：由二次函数图象，得出α<0,--Lvθ,⅛<0,

2a

A、-次函数图象，得α>0,b>Q,故A错误;

8、一次函数图象，得“<0,b>0,故8错误;

C、一次函数图象，得α>0,⅛<0,故C错误;

。、一次函数图象，得“VO,⅛<0,故。正确;

故选：D.

16.（2019•阿坝州）二次函数y=-/+⅛v+c的图象如图所示，则直线y=∕>x+c不经过的象

限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解答】解：由图象可知：

：对称轴在y轴右侧，

，对称轴X=--L>0,

-2

Λ⅛>0,

抛物线与.y轴的交点为在），轴的正半轴上，

Λc>O,

.∙.一次函数y=bx+c的图象过一、二、三象限，不经过第四象限.

故选：D.

命题点3与系数a、b、C有关的判定

17.（2021•牡丹江）如图，抛物线y=αr2+⅛r+c（α≠o）的顶点为（1,”），与尤轴的一个交

点B（3,0）,与y轴的交点在（0,-3）和（0,-2）之间.下列结论中：①月且>0；

②-2<b<-S;®（α+c）2-庐=0；@2c-a<2n,则正确的个数为（）

【答案】B

【解答】解：①：函数图象开口向上,

.,.a>0,

:对称轴在y轴右侧，α与。异号，

：.b<0,

•••函数图象与y轴交负半轴，

.,.c<0.故-⅛L>0,正确

C

②；顶点坐标（1,〃），对称轴x=_L=l,

2a

'.b=-2a<0,a=-—,

2

：.B点、（3,0）关于对称轴x=l对称点为（-I,0）,

当X--1时，y=α-b+c—O,得C=当，

2

；-3<c∙<-2,

,∙-3<∙∣∙b<-2,

-2<b<一1,错误.

3

③当X=-I时，y=a-⅛+c=0,（α+C）2~b2=（〃+。+C）Ca-h+c）=0,正确.

④当X=1,时，y=α+∕7+c=",

Va=--,c=^-b9

22

：・n=2b,

.*.2c-a=-γi.

2

V⅛<0,

即2c-a>2n1错误.

故选：B.

18.（202l∙烟台）如图，二次函数y=0?+法+c的图象经过点A（-I,0）,B（3,0）,与y

轴交于点C下列结论：

①αc>0;

②当戈>0时，y随X的增大而增大；

③3〃+C=0；

@a+b2Clrn2+bm.

其中正确的个数有（）

B∖x

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【解答】解：把点A（-LO）,B（3,0）代入二次函数y=α√+∕zr+c∙,

可得二次函数的解析式为：y=aχ2_2"-3a,

该函数图象开口方向向下，

Λα<0,

：.b=-2α>0,C=-3α>0,

Λαc<0,3a+c=0,①错误，③正确；

；对称轴为直线：X=--L=ι,

∙∙.χ<l时，y随X的增大而增大，x>l时，y随X的增大而减小；②错误；

二当X=I时，函数取得最大值，即对于任意的m有a+b+c》aw?+/w?+c,

Λa+b^am2+bm,故④正确.

综上，正确的个数有2个，

故选：B.

19.（2021∙枣庄）二次函数y="x2+⅛r+c（α≠O）的部分图象如图所示，对称轴为直线x=2，

2

且经过点（2,0）.下列说法：①HC<0；②-2HC=0；③4α+26+cV0;④若（-L

2

），1）,y2）是抛物线上的两点，贝IJyl<》2;⑤j+c>w?（am+b）+c（其中mW」）.正

242

确的结论有（）

2∖X

A.2个B.3个C.4个D.5个

【答案】B

【解答】解：••♦抛物线开口向下，且交y轴于正半轴，

.∙.α<0,c>O,

Y对称轴X=--A-=-l,即h=-a,

2a2

.∙.⅛>o,

∙.abc‹Oι

故①正确；

2

：二次函数y=αx+∕υf+c(α≠O)的图象过点(2,0),

.'.0=4a+2b+c,

故③不正确；

又可知b--a,

.∙.0=-4b+2b+c,即-2b+c=0,

故②正确；

Y抛物线开口向下，对称轴是直线x=∙l,且工-JL)=1,=2,

22,2，22

.'∙yι>j2,

故选④不正确；

：抛物线开口向下，对称轴是X=工，

2

.∙.当x=∙j∙时，抛物线y取得最大值y=(l)2a+lb+c=lb+c,

当X=W时，y>n—am2+bm+c-m(am+b)+c,且/"≠工，

2

•∙y∣nax^ymi

故⑤正确，

综上，结论①②⑤正确，

故选：B.

命题点4二次函数解析式的确定

20.(2021♦杭州)在“探索函数y=α√+fcv+c的系数”，b,C与图象的关系”活动中，老师

给出了直角坐标系中的四个点：A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探

索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相

同，其中α的值最大为()

【答案】A

【解答】解：由图象知，A、B、。组成的点开口向上，«>0；

4、B、C组成的二次函数开口向上，a>0;

B、C、D三点组成的二次函数开口向下，fl<0；

A、D、C三点组成的二次函数开口向下，α<0;

即只需比较4、B、/)组成的二次函数和4、8、C组成的二次函数即可.

设A、B、C组成的二次函数为yι=m∕+4Λ∙+C[,

把A(0,2),B(1,O),C(3,I)代入上式得，

C1=2

a1+bj+cI=O

9aj+3bj÷Cj=l

解得G=旦；

6

设A、8、。组成的二次函数为y=αr2+∕λr+c,

把A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入上式得,

c=2

a+b+c=O

4a÷2b+c=3

解得“=&,

2

即a最大的值为

2

也可以根据α的绝对值越大开口越小直接代入ABD三点计算，即可求求解.

故选：A.

命题点5二次函数与一元二次方程的关系

21.(2021•广州)抛物线y=α∕+bx+c经过点(-L0)、(3,0),且与y轴交于点(0,

5),则当x=2时，y的值为()

A.-5B.-3C.-1D.5

【答案】A

【解答】解：如图

•・・抛物线y=αr2+bx+c经过点(-1,0)、(3,0),且与y轴交于点(0,-5),

J可画出上图，

∙.∙抛物线对称轴X=土3=1,

2

二点(0,-5)的对称点是(2,-5),

.∙.当x=2时，y的值为-5.

故选:A.

22.(2020•杭州)设函数y=α(X-〃)2+攵(〃，〃，攵是实数，^≠0),当R=I时，y=l；

当X=S时，y=8,()

A.若"=4,则QVoB.若∕z=5,则α>0

C.若〃=6,贝IJQVOD.若力=7,则α>0

【答案】C

【解答】解：当X=I时，y=l；当x=8时，y=8；代入函数式得：，卜式卜卜)+k

,8=a(8-h)2+k

：.a(S-It)2-a(l-∕ι)2=7,

整理得：a(9-2∕1)=1,

若∕ι=4,则α=l,故A错误；

7fh=5,则a—-L故B错误；

若h=6,贝IJa=.1故C正确;

3

若h=7,则a=.—1>故。错误;

5

故选：C.

23.(2021•乐山)已知关于X的一元二次方程/+χ-zw=0.

(1)若方程有两个不相等的实数根，求，〃的取值范围；

(2)二次函数y=∕+χ-%的部分图象如图所示，求一元二次方程Λ2+X-胆=0的解.

y

X

【答案】⑴∣n>-ɪ（2）x2+x-ιn=O的解为xι=LX2=-2

4

【解答】解：（1）一元二次方程/+χ-〃?=0有两个不相等的实数根，

.,.Δ>0.即l+4∕π>0,

.".m>-A,

4

∙"∙m的取值范围为ιn>-A；

4

（2）二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为直线X=-A,

2

二抛物线与X轴两个交点关于直线X=对称，

2

由图可知抛物线与X轴一个交点为（1，0）,

,另一个交点为（-2,0）,

，一元二次方程/+X-W=O的解为Xl=1,Xi=-2.

命题点6二次函数与不等式（组）

24.（2021•贺州）如图，已知抛物线y=0x2+c与直线y=Ax+/交于A（-3,yι）,B(1,

32）两点，则关于X的不等式Or2+c∖-fcr+"7的解集是（）

A.x≤-3或B.x≤-l或x23C.-3≤x≤lD.-l≤x≤3

【答案】D

【解答】解：∙.∙y=G+"?与y=-kx+m的图象关于y轴对称，

直线y=-日+m与抛物线y=αr2+c的交点A'、B'与点4、B也关于y轴对称,

如图所示：

.∙.A'(3,yι),B'(-1,y2),

根据函数图象得：不等式αχ2+ce-kx+m的解集是-IWXW3,

故选：D

25.(2021•宿迁)已知二次函数y=0x2+云+c的图象如图所示，有下列结论：①。>0；②/

-4«c>0；③4α+6=l;④不等式Or?+(匕-])jc+c<o的解集为ι<χ<3,正确的结论个

数是()

【答案】C

【解答】解：①抛物线开口向上，则”>0,故正确；

②由图象可知：抛物线与X轴无交点，即△<()

ΛΔ-bλ-4ac<0,故错误;

③由图象可知：抛物线过点(1,1),(3,3),即当X=I时，y=α+b+c=l,

当尤=3时，ax1+bx+c=9a+3b+c=3,

.∙.8α+2h=2,HP6=1-4a,

.'.4a+b-l,故正确；

④・：点(1,1),(3,3)在直线y=x上，

由图象可知，当l<χV3时，抛物线在直线y=x的下方，

.".ax2+(/?-1)x+c<O的解集为l<x<3,故正确；

故选：C.

26.(2021•大庆)已知函数y=θr2-(«+1)x+∖,则下列说法不正确的个数是()

①若该函数图象与X轴只有一个交点，则α=l;

②方程0x2-(a+])x+1=O至少有一个整数根；

③若JL<X<1,则y=αχ2-(α+l)x+1的函数值都是负数；

a

④不存在实数m使得以2-(。+1)x+l≤0对任意实数X都成立.

A.OB.1C.2D.3

【答案】C

【解答】解：①当〃=O时，y=-χ+l,此时函数图象与X轴交点为(I,0),故①错误；

②当4=0时，-χ+l=O,解得X=1；

当a≠0时,αr2-(α+l)x+l=(X-I)(ax-1)=0,

解得X=I或X=工，

a

故②正确；

③当”>0时，函数图象开口向上，若』VXV1,则y<0;

a

当“<0时，函数图象开口向下，若∙1<X<1,则y>0；

a

故③错误；

④当a≠0时，y-ax2-(α+l)x+1,ʌ=(α-ɪ)2>0,

此时“x2-(α+I)X+1WO函数与X至少有一个交点，

不能使苏-(«+1)x+l≤O对任意实数X都成立；

当α=0时，-χ+lW0,不能使ɑ/-(α+I)X+IWO对任意实数X都成立；

故④正确；

故选：C.

命题点7二次函数图像的变换

类型一平移

27.(2021•徐州)在平面直角坐标系中，将二次函数>=/的图象向左平移2个单位长度,

再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为()

A.y=(X-2)2+lB.y=(x+2)2+lC.y=(x+2)2-1D.y≈(χ-2)2-1

【答案】B

【解答】解：将二次函数y=/的图象向左平移2个单位长度，得到：y=(x+2)2,

再向上平移1个单位长度得到：y=(x+2)2+l.

故选:B.

28.(2021•苏州)已知抛物线y=∕+fcr-严的对称轴在y轴右侧，现将该抛物线先向右平移

3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线正好经过坐标原点，则发的值

是()

A.-5或2B.-5C.2D.-2

【答案】B

【解答】解：•；抛物线y=x1+kx-O的对称轴在），轴右侧，

.∙.x=-K>0,

2

Λ⅛<0.

2

：抛物线y=x2+fcv-⅛2=（x+-）2-——.

24

.∙.将该抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的抛物线的

2

表达式是：y=（%+—-3）2-5k+],

24

2

...将（0,0）代入，得O=（0+K-3）2-1⅛-+1,

24

解得Zι=2（舍去），&2=-5.

故选：B.

29.（2020•百色）将抛物线y=（Al#+1平移，使平移后得到抛物线y=∕+6x+6.则需将

原抛物线（）

A.先向左平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度

B.先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度

C.先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度

D.先向右平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度

【答案】D

【解答】解：抛物线y=（x+l）2+l的顶点坐标是（-1,1）,抛物线y=∕+6x+6=（X+3）

2-3的顶点坐标是（-3,-3）.

所以将点（-1,1）向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到点（-3,

-3）.

所以需要将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到抛物线y

=X2+6Λ∙+6.

故选：B.

≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意.

故选：D.

30.（2021•黔东南州）如图，抛物线£”y^ax1+bx+c（a≠ω与X轴只有一个公共点A（1,

0）,与y轴交于点8（0,2）,虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛

物线上，则图中两个阴影部分的面积和为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解答】解：如图所示，

过抛物线L2的顶点D作C4〃X轴，与)，轴交于点C,

则四动形OCDA是矩形，

；抛物线Zu：y^axl+bx+c(a≠0)与X轴只有一个公共点A(1,0),与)，轴交于点B

(0,2),

.∙.OB=2,OA=I,

将抛物线L向下平移两个单位长度得抛物线Li,则Az)=OC=2,

根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCD4的面积，

,SM彩部分=SOCDAOA*AD=1X2—2.

故选：B.

31.(2021•安徽)设抛物线y=x2+(α+l)x+a,其中α为实数.

(1)若抛物线经过点(-1,m),则m=；

(2)将抛物线y=x2+(«+1)x+”向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大

值是•

【答案】0,2

【解答】解：（1）点（-1,m）代入抛物线解析式y=f+（α+I）X+〃，

得（-1）（〃+1）×（-1）+α=nz,解得胴=0.

故答案为：0.

2z

（2）y=x+（α+l）%+〃向上平移2个单位可得,y=x+（a+l）x+a+2f

2

：.y=（JV+.≥±1.）-A（（j-ɪ）2+2,

24

.∙.抛物线顶点的纵坐标n=-l（«-1）2+2,

4

；-A<0,

4

：.n的最大值为2.

故答案为：2.

类型二轴对称（折叠）

3