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文档简介
第十一讲二次函数的图像与性质
命题点1二次函数的基本性质
类型一开口方向、对称轴及顶点的确定(含解析式转化)
1.(2021•兰州)二次函数y=x2+4x+l的图象的对称轴是()
A.x=2B.x=4C.X=-2D∙X=-4
【答案】C
【解答】解:∙.∙二次函数y=∕+4x+l,
抛物线对称轴为直线X=---2.
2×1
故选:C.
2.(2020•哈尔滨)抛物线y=3(X-I)?+8的顶点坐标为.
【答案】(1,8)
【解答】解:Y抛物线y=3(X-I)2+8是顶点式,
,顶点坐标是(1,8).
故答案为:(1,8).
3.(2021•贵阳)二次函数y=x2的图象开口方向是—(填“向上”或“向下”).
【答案】向上
【解答】解:由y=/得:a>0,
二次函数图象开口向上.
故答案为:向上.
4.(2019•金昌)将二次函数y=x2-4x+5化成y=“(X-ZJ)?+/;的形式为.
[答案]V=(χ-2)2+1
【解答]解:>∙=x2-4.r+5=x2-4x+4+l=(x-2)2+l,
所以,y=(X-2)2+1.
故答案为:y=(x-2)2+I.
类型二与增减性、最值有关的问题
5.(2021•绍兴)关于二次函数y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列说法正确的是()
A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6
【答案】D
【解答】解:Y二次函数y=2(X-4)2+6,α=2>0,
.∙.该函数图象开口向匕有最小值,当x=4取得最小值6,
故选:D.
6.(2021•雅安)定义:〃””{“,%}=<aQ<b),若函数y=〃”〃{x+l,-/+2Λ+3},则该函
b(a>b)
数的最大值为()
A.0B.2C.3D.4
【答案】C
【解答】解:x+l=-X2+2X+3,
x+1(-1<x<2)
•*y=4o»
-*2+2乂+3(*〈-1或乂>2)
把X=2代入J=X+1得y=3,
二函数最大值为y=3.
故选:C.
7.(2021•泰州)在函数y=(X-I)2中,当Ql时,y随X的增大而.(填“增大
或“减小”)
【答案】增大
【解答】解:;函数y=(X-I)2,
Λα=l>0,抛物线开口向上,对称轴为直线x=l,
.∙.当x>l时,y随X的增大而增大.
故答案为:增大.
类型三二次函数图像上点的坐标特征
8.(2021•福建)二次函数y=0x2-2ax+c(α>0)的图象过A(-3,yι),C
(2,*),D(4,),4)四个点,下列说法一定正确的是()
A.若y∣”>0,贝!]y3y4>OB.若y1y4>O,贝∣Jj2y3>0
C.若y2y4<O,贝IJyIy3<0D.若*y4<0,则yi”<0
【答案】C
观察图象可知,y∣>y4>j2>y3,
若yι>,2>0,则y3,y4>O或γ3>,4<0,选项A不符合题意,
若yιy4>0,则或>'2>'3<0,选项B不符合题意,
若y2y4<0,则γι>,3<0,选项C符合题意,
若y3y4VO,则y1y2VO或y1y2>O,选项。不符合题意,
故选:C.
9.(2021•益阳)已知y是X的二次函数,如表给出了y与X的几对对应值:
X・•・-2-101234
y…11〃323611
由此判断,表中4=.
【答案】6
【解答】解:由上表可知函数图象经过点(0,3)和点(2,3),
•••对称轴为χ=62=∣,
2
.∙∙x=-1时的函数值等于x=3时的函数值,
:当x=3时,y=6,
・二当X=-1时,。=6・
故答案为:6.
10.(2021∙长春)如图,在平面直角坐标系中,点A(2,4)在抛物线y=Ο?上,过点A
作y轴的垂线,交抛物线于另一点8,点C、。在线段A3上,分别过点C、。作X轴的
垂线交抛物线于E、F两点.当四边形CQFE为正方形时,线段CQ的长为
【答案】-2+2√S
【解答】解:把A(2,4)代入y=αχ2中得4=4α,
解得a=∖,
.".y-x2,
设点C横坐标为m,则CD=CE=Im,
点E坐标为(M4-2m),
.,.〃/=4-2m,
解得m=-ɪ-ʌ/ʒ(舍)或“7=-∣+Vδ∙
:.CD=2m=-2+2√5∙
故答案为:-2+2Λ∕^∙
类型四与坐标轴交点有关的问题
11.(2021•湖北)若抛物线y=∕+bx+c与X轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x=2,
P为这条抛物线的顶点,则点P关于X轴的对称点的坐标是()
A.(2,4)B.(-2,4)C.(-2,-4)D.(2,-4)
【答案】A
【解答】解:设抛物线y=∕+fex+c与X轴两个交点坐标为(xι,0),(X2,0),
:抛物线y=x1+bx+c与X轴两个交点间的距离为4.对称轴为直线x=2,
二(XI-X2)2=(χι+%2)2-4xιx2=16,---——2,
2×1
Λ(-∙k)2-4Xq=I6,b=-4,
11
解得C=O,
抛物线的解析式为y=x2-4x=(χ-2)2-4,
顶点P的坐标为(2,-4),
.∙.点P关于X轴的对称点的坐标是(2,4),
故选:A.
12.(2021•铜仁市)已知抛物线y=4G-〃)2+左与X轴有两个交点A(-1,0),B(3,0),
抛物线y=α(X-/?-M2+后与X轴的一个交点是(%()),则烧的值是()
A.5B.-1C.5或1D.-5或-1
【答案】C
【解答】解:;抛物线),="(X-/?)2+A的对称轴为直线χ=∕z,抛物线y=α(X-∕L"?)
2+k的对称轴为直线x=∕z+m,
二当点A(-1.0)平移后的对应点为(4,0))则m=4-(-1)=5;
当点B(3,0)平移后的对应点为(4,0),则团=4-3=1,
即机的值为5或1.
故选:C.
13.(2021•成都)在平面直角坐标系Xoy中,若抛物线y=f+2x+%与X轴只有一个交点,
贝!]k=.
【答案】1
【解答】解:由题意得:△=/-4αc=4-4«=0,
解得k-∖,
故答案为1.
命题点2与二次函数图像有关的判段
14.(2021•深圳)二次函数y=αx2+bx+l的图象与一次函数y=2αr+b在同一平面直角坐标
系中的图象可能是()
【答案】A
【解答】解:A、由抛物线可知,a>0,b<0,C=I,对称轴为直线X=-且,由直线可
2a
知,a>0,b<0,直线经过点(-也,0),故本选项符合题意;
2a
B、由抛物线可知,对称轴为直线X=-且,直线不经过点(一旦,0),故本选项不符
2a2a
合题意;
C、由抛物线可知,对称轴为直线X=-*-,直线不经过点(-上,0),故本选项不符
2a2a
合题意;
D、由抛物线可知,对称轴为直线X=-旦,直线不经过点(一包,0),故本选项不符
2a2a
合题意;
故选:A.
15.(2019•葫芦岛)二次函数),=Or2+bX的图象如图所示,则一次函数y=αr+b的图象大致
【答案】D
【解答】解:由二次函数图象,得出α<0,--Lvθ,⅛<0,
2a
A、-次函数图象,得α>0,b>Q,故A错误;
8、一次函数图象,得“<0,b>0,故8错误;
C、一次函数图象,得α>0,⅛<0,故C错误;
。、一次函数图象,得“VO,⅛<0,故。正确;
故选:D.
16.(2019•阿坝州)二次函数y=-/+⅛v+c的图象如图所示,则直线y=∕>x+c不经过的象
限是()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解答】解:由图象可知:
:对称轴在y轴右侧,
,对称轴X=--L>0,
-2
Λ⅛>0,
抛物线与.y轴的交点为在),轴的正半轴上,
Λc>O,
.∙.一次函数y=bx+c的图象过一、二、三象限,不经过第四象限.
故选:D.
命题点3与系数a、b、C有关的判定
17.(2021•牡丹江)如图,抛物线y=αr2+⅛r+c(α≠o)的顶点为(1,”),与尤轴的一个交
点B(3,0),与y轴的交点在(0,-3)和(0,-2)之间.下列结论中:①月且>0;
②-2<b<-S;®(α+c)2-庐=0;@2c-a<2n,则正确的个数为()
【答案】B
【解答】解:①:函数图象开口向上,
.,.a>0,
:对称轴在y轴右侧,α与。异号,
:.b<0,
•••函数图象与y轴交负半轴,
.,.c<0.故-⅛L>0,正确
C
②;顶点坐标(1,〃),对称轴x=_L=l,
2a
'.b=-2a<0,a=-—,
2
:.B点、(3,0)关于对称轴x=l对称点为(-I,0),
当X--1时,y=α-b+c—O,得C=当,
2
;-3<c∙<-2,
,∙-3<∙∣∙b<-2,
-2<b<一1,错误.
3
③当X=-I时,y=a-⅛+c=0,(α+C)2~b2=(〃+。+C)Ca-h+c)=0,正确.
④当X=1,时,y=α+∕7+c=",
Va=--,c=^-b9
22
:・n=2b,
.*.2c-a=-γi.
2
V⅛<0,
即2c-a>2n1错误.
故选:B.
18.(202l∙烟台)如图,二次函数y=0?+法+c的图象经过点A(-I,0),B(3,0),与y
轴交于点C下列结论:
①αc>0;
②当戈>0时,y随X的增大而增大;
③3〃+C=0;
@a+b2Clrn2+bm.
其中正确的个数有()
B∖x
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】B
【解答】解:把点A(-LO),B(3,0)代入二次函数y=α√+∕zr+c∙,
可得二次函数的解析式为:y=aχ2_2"-3a,
该函数图象开口方向向下,
Λα<0,
:.b=-2α>0,C=-3α>0,
Λαc<0,3a+c=0,①错误,③正确;
;对称轴为直线:X=--L=ι,
∙∙.χ<l时,y随X的增大而增大,x>l时,y随X的增大而减小;②错误;
二当X=I时,函数取得最大值,即对于任意的m有a+b+c》aw?+/w?+c,
Λa+b^am2+bm,故④正确.
综上,正确的个数有2个,
故选:B.
19.(2021∙枣庄)二次函数y="x2+⅛r+c(α≠O)的部分图象如图所示,对称轴为直线x=2,
2
且经过点(2,0).下列说法:①HC<0;②-2HC=0;③4α+26+cV0;④若(-L
2
),1),y2)是抛物线上的两点,贝IJyl<》2;⑤j+c>w?(am+b)+c(其中mW」).正
242
确的结论有()
2∖X
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】B
【解答】解:••♦抛物线开口向下,且交y轴于正半轴,
.∙.α<0,c>O,
Y对称轴X=--A-=-l,即h=-a,
2a2
.∙.⅛>o,
∙.abc‹Oι
故①正确;
2
:二次函数y=αx+∕υf+c(α≠O)的图象过点(2,0),
.'.0=4a+2b+c,
故③不正确;
又可知b--a,
.∙.0=-4b+2b+c,即-2b+c=0,
故②正确;
Y抛物线开口向下,对称轴是直线x=∙l,且工-JL)=1,=2,
22,2,22
.'∙yι>j2,
故选④不正确;
:抛物线开口向下,对称轴是X=工,
2
.∙.当x=∙j∙时,抛物线y取得最大值y=(l)2a+lb+c=lb+c,
当X=W时,y>n—am2+bm+c-m(am+b)+c,且/"≠工,
2
•∙y∣nax^ymi
故⑤正确,
综上,结论①②⑤正确,
故选:B.
命题点4二次函数解析式的确定
20.(2021♦杭州)在“探索函数y=α√+fcv+c的系数”,b,C与图象的关系”活动中,老师
给出了直角坐标系中的四个点:A(0,2),B(1,0),C(3,1),D(2,3).同学们探
索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象,发现这些图象对应的函数表达式各不相
同,其中α的值最大为()
【答案】A
【解答】解:由图象知,A、B、。组成的点开口向上,«>0;
4、B、C组成的二次函数开口向上,a>0;
B、C、D三点组成的二次函数开口向下,fl<0;
A、D、C三点组成的二次函数开口向下,α<0;
即只需比较4、B、/)组成的二次函数和4、8、C组成的二次函数即可.
设A、B、C组成的二次函数为yι=m∕+4Λ∙+C[,
把A(0,2),B(1,O),C(3,I)代入上式得,
C1=2
a1+bj+cI=O
9aj+3bj÷Cj=l
解得G=旦;
6
设A、8、。组成的二次函数为y=αr2+∕λr+c,
把A(0,2),B(1,0),D(2,3)代入上式得,
c=2
a+b+c=O
4a÷2b+c=3
解得“=&,
2
即a最大的值为
2
也可以根据α的绝对值越大开口越小直接代入ABD三点计算,即可求求解.
故选:A.
命题点5二次函数与一元二次方程的关系
21.(2021•广州)抛物线y=α∕+bx+c经过点(-L0)、(3,0),且与y轴交于点(0,
5),则当x=2时,y的值为()
A.-5B.-3C.-1D.5
【答案】A
【解答】解:如图
•・・抛物线y=αr2+bx+c经过点(-1,0)、(3,0),且与y轴交于点(0,-5),
J可画出上图,
∙.∙抛物线对称轴X=土3=1,
2
二点(0,-5)的对称点是(2,-5),
.∙.当x=2时,y的值为-5.
故选:A.
22.(2020•杭州)设函数y=α(X-〃)2+攵(〃,〃,攵是实数,^≠0),当R=I时,y=l;
当X=S时,y=8,()
A.若"=4,则QVoB.若∕z=5,则α>0
C.若〃=6,贝IJQVOD.若力=7,则α>0
【答案】C
【解答】解:当X=I时,y=l;当x=8时,y=8;代入函数式得:,卜式卜卜)+k
,8=a(8-h)2+k
:.a(S-It)2-a(l-∕ι)2=7,
整理得:a(9-2∕1)=1,
若∕ι=4,则α=l,故A错误;
7fh=5,则a—-L故B错误;
若h=6,贝IJa=.1故C正确;
3
若h=7,则a=.—1>故。错误;
5
故选:C.
23.(2021•乐山)已知关于X的一元二次方程/+χ-zw=0.
(1)若方程有两个不相等的实数根,求,〃的取值范围;
(2)二次函数y=∕+χ-%的部分图象如图所示,求一元二次方程Λ2+X-胆=0的解.
y
X
【答案】⑴∣n>-ɪ(2)x2+x-ιn=O的解为xι=LX2=-2
4
【解答】解:(1)一元二次方程/+χ-〃?=0有两个不相等的实数根,
.,.Δ>0.即l+4∕π>0,
.".m>-A,
4
∙"∙m的取值范围为ιn>-A;
4
(2)二次函数y=x2+x-m图象的对称轴为直线X=-A,
2
二抛物线与X轴两个交点关于直线X=对称,
2
由图可知抛物线与X轴一个交点为(1,0),
,另一个交点为(-2,0),
,一元二次方程/+X-W=O的解为Xl=1,Xi=-2.
命题点6二次函数与不等式(组)
24.(2021•贺州)如图,已知抛物线y=0x2+c与直线y=Ax+/交于A(-3,yι),B(1,
32)两点,则关于X的不等式Or2+c∖-fcr+"7的解集是()
A.x≤-3或B.x≤-l或x23C.-3≤x≤lD.-l≤x≤3
【答案】D
【解答】解:∙.∙y=G+"?与y=-kx+m的图象关于y轴对称,
直线y=-日+m与抛物线y=αr2+c的交点A'、B'与点4、B也关于y轴对称,
如图所示:
.∙.A'(3,yι),B'(-1,y2),
根据函数图象得:不等式αχ2+ce-kx+m的解集是-IWXW3,
故选:D
25.(2021•宿迁)已知二次函数y=0x2+云+c的图象如图所示,有下列结论:①。>0;②/
-4«c>0;③4α+6=l;④不等式Or?+(匕-])jc+c<o的解集为ι<χ<3,正确的结论个
数是()
【答案】C
【解答】解:①抛物线开口向上,则”>0,故正确;
②由图象可知:抛物线与X轴无交点,即△<()
ΛΔ-bλ-4ac<0,故错误;
③由图象可知:抛物线过点(1,1),(3,3),即当X=I时,y=α+b+c=l,
当尤=3时,ax1+bx+c=9a+3b+c=3,
.∙.8α+2h=2,HP6=1-4a,
.'.4a+b-l,故正确;
④・:点(1,1),(3,3)在直线y=x上,
由图象可知,当l<χV3时,抛物线在直线y=x的下方,
.".ax2+(/?-1)x+c<O的解集为l<x<3,故正确;
故选:C.
26.(2021•大庆)已知函数y=θr2-(«+1)x+∖,则下列说法不正确的个数是()
①若该函数图象与X轴只有一个交点,则α=l;
②方程0x2-(a+])x+1=O至少有一个整数根;
③若JL<X<1,则y=αχ2-(α+l)x+1的函数值都是负数;
a
④不存在实数m使得以2-(。+1)x+l≤0对任意实数X都成立.
A.OB.1C.2D.3
【答案】C
【解答】解:①当〃=O时,y=-χ+l,此时函数图象与X轴交点为(I,0),故①错误;
②当4=0时,-χ+l=O,解得X=1;
当a≠0时,αr2-(α+l)x+l=(X-I)(ax-1)=0,
解得X=I或X=工,
a
故②正确;
③当”>0时,函数图象开口向上,若』VXV1,则y<0;
a
当“<0时,函数图象开口向下,若∙1<X<1,则y>0;
a
故③错误;
④当a≠0时,y-ax2-(α+l)x+1,ʌ=(α-ɪ)2>0,
此时“x2-(α+I)X+1WO函数与X至少有一个交点,
不能使苏-(«+1)x+l≤O对任意实数X都成立;
当α=0时,-χ+lW0,不能使ɑ/-(α+I)X+IWO对任意实数X都成立;
故④正确;
故选:C.
命题点7二次函数图像的变换
类型一平移
27.(2021•徐州)在平面直角坐标系中,将二次函数>=/的图象向左平移2个单位长度,
再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为()
A.y=(X-2)2+lB.y=(x+2)2+lC.y=(x+2)2-1D.y≈(χ-2)2-1
【答案】B
【解答】解:将二次函数y=/的图象向左平移2个单位长度,得到:y=(x+2)2,
再向上平移1个单位长度得到:y=(x+2)2+l.
故选:B.
28.(2021•苏州)已知抛物线y=∕+fcr-严的对称轴在y轴右侧,现将该抛物线先向右平移
3个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到的抛物线正好经过坐标原点,则发的值
是()
A.-5或2B.-5C.2D.-2
【答案】B
【解答】解:•;抛物线y=x1+kx-O的对称轴在),轴右侧,
.∙.x=-K>0,
2
Λ⅛<0.
2
:抛物线y=x2+fcv-⅛2=(x+-)2-——.
24
.∙.将该抛物线先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到的抛物线的
2
表达式是:y=(%+—-3)2-5k+],
24
2
...将(0,0)代入,得O=(0+K-3)2-1⅛-+1,
24
解得Zι=2(舍去),&2=-5.
故选:B.
29.(2020•百色)将抛物线y=(Al#+1平移,使平移后得到抛物线y=∕+6x+6.则需将
原抛物线()
A.先向左平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度
B.先向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度
C.先向右平移1个单位长度,再向上平移5个单位长度
D.先向右平移2个单位长度,再向上平移4个单位长度
【答案】D
【解答】解:抛物线y=(x+l)2+l的顶点坐标是(-1,1),抛物线y=∕+6x+6=(X+3)
2-3的顶点坐标是(-3,-3).
所以将点(-1,1)向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度,得到点(-3,
-3).
所以需要将原抛物线先向左平移2个单位长度,再向下平移4个单位长度得到抛物线y
=X2+6Λ∙+6.
故选:B.
≠0)的图象向下平移两个单位,与y轴的交点也向下平移两个单位,故符合题意.
故选:D.
30.(2021•黔东南州)如图,抛物线£”y^ax1+bx+c(a≠ω与X轴只有一个公共点A(1,
0),与y轴交于点8(0,2),虚线为其对称轴,若将抛物线向下平移两个单位长度得抛
物线上,则图中两个阴影部分的面积和为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】B
【解答】解:如图所示,
过抛物线L2的顶点D作C4〃X轴,与),轴交于点C,
则四动形OCDA是矩形,
;抛物线Zu:y^axl+bx+c(a≠0)与X轴只有一个公共点A(1,0),与),轴交于点B
(0,2),
.∙.OB=2,OA=I,
将抛物线L向下平移两个单位长度得抛物线Li,则Az)=OC=2,
根据平移的性质及抛物线的对称性得到阴影部分的面积等于矩形OCD4的面积,
,SM彩部分=SOCDAOA*AD=1X2—2.
故选:B.
31.(2021•安徽)设抛物线y=x2+(α+l)x+a,其中α为实数.
(1)若抛物线经过点(-1,m),则m=;
(2)将抛物线y=x2+(«+1)x+”向上平移2个单位,所得抛物线顶点的纵坐标的最大
值是•
【答案】0,2
【解答】解:(1)点(-1,m)代入抛物线解析式y=f+(α+I)X+〃,
得(-1)(〃+1)×(-1)+α=nz,解得胴=0.
故答案为:0.
2z
(2)y=x+(α+l)%+〃向上平移2个单位可得,y=x+(a+l)x+a+2f
2
:.y=(JV+.≥±1.)-A((j-ɪ)2+2,
24
.∙.抛物线顶点的纵坐标n=-l(«-1)2+2,
4
;-A<0,
4
:.n的最大值为2.
故答案为:2.
类型二轴对称(折叠)
3
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