新版【新整理】三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)12

三角形“四心〞向量形式的充要条件应用在学习了?平面向量?一章的根底内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关假设O是ABC的重心，那么SBOC=SAOC=SAOB=SABC故OA+OB+OC=0;O是ABC的外心|OA|=|OB|=|OC|(或OA2=OB2=OC2)OABC条件是是ABC内心的充要条件可以写成：OA.(e1+e3)=OB.(e1+e2)=OC.(e2+e3)=0OABC条件也可以是aOA+bOB+cOC=0．O是平面上的一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满ABABP〕HH解析：因为AB AB又编ABC中，AP平分三BAC，那么知选B. 、陌生〞，、陌生〞，首先是什么？没见过！想想，一个非AB量与三角形垂心结合考查“垂心定理〞A．外心B．内心C．重心D．垂心B此题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，那么两向量所在直线垂直〞、三角形垂心定直222222(HC+HC).BA=0BC：AB」HC同理AC」HB，BC」HA量与三角形重心结合考查“重心定理〞C.AAOEDCBOEDCB的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。(3〈|CF=_GC：AD+BE+CF=_3(GA+GB+GC)2假设P与O重合，那么上式变(四)．将平面向量与三角形外心合uu例7假设O为ABC内一点，OA=OB=OC，那么O是ABC的〔〕A．内心B．外心C．垂心D．重心角形四心结合考查PGHyyFH：AH=FH：AH=(x2,y4)，QF=(x2x1,y2y3)uuurEBC=(BC=(x2x1,y2)xB(x1,0xB(x1,0QDA：AH.BC=x2(x2x1)+y2y4=0AQQF」ACQQF」ACy+y+2y22=QH=QH3AEFCTBAEFCTB即QH=3QG，故Q、G、H三点共线，且QG：∴AD」AB，CD」BC.又垂心为H，AH」BC，CH」AB，著名的“欧拉定理〞讲的是锐角三角形的“三心〞——外〔2〕三角形的重心在“欧拉线〞上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距“欧拉定理〞的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.G是△ABC的重心一OG=(OA+OB+OC)OG=OH.OG=OH.3三、与三角形的“四心〞有关的高考连接题及其应用ABACACACAF=事实上如图设AE=,都是单位向量ABABABcosBACcosCABcosBACcosCDCBCAHBCCHABCHDADCBCAHBCCHABCHDAAH//DCP1．A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP=(OA+那么点P一定为三角形ABC的(B)A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心分析：取AB边的中点M，那么OA+OB=2OM，由OP=(OA+2OB+2OC)可得3OP由OP=(OA+2OB+2OC)可得3OP=3OM+2MC，∴=2，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。2．在同一个平面上有ABC及一点O满足关系式：OA2+BC2=OB2+CA22．在同一个平面上有ABC及一点O满足关系式：OA2+BC2=OB2+CA2＝OC2＋AB2，那么O为△ABCABCD心3．△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：PA+PB+PC=0，那么P为△ABC的(C)DOPOAABACPABCCCD5．△ABC，P为三角形所在平面上的动点，且满足：PAPC+PAPB+PBPC=0，那么P点为三角．△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a．△ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：a.PA+b.PB+cPC=0，那么P点为三角形的(B)CB9.