浙江省宁波市2023-2024学年高三年级上册高考模拟考试数学试题 含解析

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宁波市2023学年第一学期高考模拟考试

高三数学试卷

全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1,已知4="T/2=1+4(a,6eR,i为虚数单位)，若马立?是实数，则()

A.ab-l=QB.ab+\=0

C.a-b=0D.a+b=0

【答案】A

【解析】

【分析】根据复数乘法及复数的虚部为0计算即可.

【详解】因为z/Z2=(a—i)(l+bi)=(a+b)+(ab—l)i是实数，

所以ab-1=0,

故选：A

2.设集合。=1<,集合"_={刘》2-2》20}1={刘卜=1082(1-》)},则{x[x<2}=()

A.MuNB.NU(”)

C.MU(4N)D,a(MON)

【答案】B

【解析】

【分析】化简集合根据集合的交集、并集、补集求解.

【详解】因为M={x|x2_2x20}=(—co,0]U[2,+co),N={x|y=log2(l-x}=(—oo,l),

所以〃DN=(—8/)U[2,+8),NU(务口)=(7,1)U(0,2)=(7,2)={X|X<2},

M&N)=(7,0]U[2,+8)U[L+S)=(7,0]U[1,+S),

因为M「N=(—8,0],所以务(九mN)=(0,+⑹，

故选：B

3.若a,b是夹角为60°的两个单位向量，/+否与-3Z+2B垂直，则％=（）

1177

A.—B.一C.-D.一

8484

【答案】B

【解析】

【分析】由题意先分别算出/，/）彳的值，然后将“4+B与—3）+2刃垂直”等价转换为

（2o+S）.（-3«+2S）=0,从而即可求解.

【详解】由题意有=11=忖=1,«•=|a|-1^1cos60°=lxlx^-=^,

又因为篇+5与-3Z+2B垂直，

所以（花+4（一32+2可=—3花2+（2%—3）Z/+2B2=-32+1X（22-3）+2=0,

整理得—2XH—=0,解得A=—.

24

故选：B

4.已知数列｛4｝为等比数列，且生=5,贝！I（）

A.的最小值为50B.%+。9的最大值为50

C.%+。9的最小值为1。D.%+。9的最大值为10

【答案】C

【解析】

【分析】写出q+。9的表达式，利用基本不等式即可得出结论.

【详解】由题意，

在等比数列｛%｝中，%=5，

设公比为/则q=〉。，佝=生/〉o，

+。9=«5^-4+=a5（qT+94）-5x2&T./=10，

当且仅当q~4=/即q=±1时等号成立，

%+为的最小值为I。，

故选：C.

<iY

5.已知函数/(x)=2"+log2x,g(x)二——log2%,〃(%)=1+log2。的零点分别为。，瓦c,则()

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】

【分析】根据指数函数、对数函数的性质可判断Q，。小于1,6大于1,再由数形结合判断生。即可.

【详解】令g(x)=［；］-log2x=0,可得=log2X>o,所以x>l,即6>1；

J

/(x)=2+log2x=0,可得2、=—log2》〉。，即log2X<0,所以0<x<l,

即0<a<1；

令Zz(X)=x3+log2X=0,可得x3=-log2X,由此可得lOgz^CO,所以O<X<1,

即0<c<l,

作y=2:y=—log2X,y=炉的图象，如图，

\

由图象可知，a<C,所以a<c<6.

故选：D

6.设。为坐标原点，耳鸟为椭圆。：二+匕=1的焦点，点P在。上，|。尸|=JL贝UcosN印第=

42

()

11272

333

【答案】C

【解析】

【分析】设|「用=叫尸阊="利用余弦定理可得cosNRPF?=〃厂+犷—8再由向量表示可知

2mn

西+丽=24，即可得力+“2+2加〃cos/耳Pg=12；联立即可求得cos/耳明=；.

【详解】如下图所示：

2a=4,闺g|=2°=2后；

m2+,722-8Q

由余弦定理可知cos/片PR=

2mn

又因为西+丽=24，所以（而+而『=（24『，又|。尸|=6,

即可得加2+/+2加〃cos/月尸鸟=12,解得加2+〃2=10；

乂加2+〃2=（加+_2nm_16-2加〃=10,即mn=3；

22_Q10-81

所以可得cos/^PE=〃'

一2mn6-3

故选：C

3兀

7.已知二面角尸-48-C的大小为一，球。与直线相切，且平面尸48、平面45C截球。的两个

4

截面圆的半径分别为1、亚,则球。半径的最大可能值为（）

A.V2B.2^/2C.3D.Vio

【答案】D

【解析】

【分析】设点。在平面PAB、平面ABC内的射影点分别为M、N,设球。切48于点E,连接ME、NE、

3兀71

MN,分析可知，。、M、E、N四点共圆，利用二面角的定义可得/MEN=一或一，利用余弦定理

44

求出九W的长，分析可知，球。半径的最大值即为△跖VE外接圆的直径，结合正弦定理求解即可.

【详解】设点。在平面尸48、平面45C内的射影点分别为M、N,

设球。切48于点E,连接ME、NE、MN,如下图所示：

因为平面尸48，平面尸48，则

由球的几何性质可知，0E1AB,

因为。攸n（9E=0,0M、0£u平面。WE7,则4S平面。WE,

同理可知，451平面ONE,

因为过点E作直线Z5的垂面，有且只有一个，所以，平面（WE、平面ONE重合，

因为（W_L平面尸48,"Eu平面尸48,则同理可知，ONLNE,

所以，0、M、E、N四点共圆，

由已知条件可知，ME=1,NE=&

因为481平面OME,NE、MEu平面OME,则48，,ABLNE,

所以，二面角尸-C的平面角为/MEN或其补角.

3兀

①当NMEN=——时，

4

3（五、

22

由余弦定理可得上加2=ME+NE-2ME-NEcos—=l+2-2xlx-—2

4IJ

=5,故MN=也，

易知，为AMVE外接圆的一条弦,

MN1

所以，球。半径OE的最大值即为△肱VE外接圆的直径，即为sin/MEN

2

22

由余弦定理可得〃乂2=ME+NE-2ME-NEcos-=l+2-2xlx&"x—=1

42

故MN=\,

易知，为AMVE外接圆的一条弦,

MN二二1叵

所以，球。半径的最大值即为AMVE外接圆的直径，即为sin/MEN一正一.

V

综上所述，球。的半径的最大可能值为亦L

故选：D.

8.已知函数/3=/+办+人，若不等式＜2在xe[1,5]上恒成立，则满足要求的有序数对3。）

有（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

【答案】B

【解析】

-2<l+a+/)<2,(l)

【分析】由题意有<-2W9+3a+b<2,(2),通过分析得到a=—6,6=7是满足题意的唯一解，注意检

-2<25+5o+6<2,(3)

验.

【详解】由题意若不等式|/(x)|42在xe［1,5］上恒成立,

-2"⑴<2-2<1+«+/)<2,(1)

则必须满足<—2W/(3)<2,即<-2<9+3«+6<2,(2),

-2</(5)<2-2<25+5a+6<2,(3)

-2<-1-tz-Z)<2,(1)

两式相加得-4<8+2a<4^-6<o<-2,(4),

-2<9+3«+&<2,(2)

再由<-2«25+5。+必2；3；'两式相加得"W16+2a"n-1。口"6,(5),

-2<-5+6<2,(1)

结合(4),(5)两式可知a=-6,代入不等式组得《-2<-9+6<2,(2),

-2<-5+6<2,(3)

解得6=7,

经检验，当a=—6,6=7时，/(X)=X2-6X+7=(X-3)2-2,

有［"HL=/⑴=/⑸=2，［/(x)L=/(3)=—2,满足,⑸<2在xe［1,5］上恒成立,

综上所述：满足要求的有序数对(生。)为：(-6,7),共一个.

故选：B.

-2</(1)<2

【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到2V/(3)<2,进一步由不等式的性质通过分析即可求解.

-2</(5)<2

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知(l-2x>=4+。环+出/+…+%/，则下列说法正确的是()

A.“0=1B.%——80

C.。］++。5=—1D.。0+。2+。4=121

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据二项展开式通式以及赋值法即可得到答案.

【详解】对于A,取x=0,贝1J%=1,则A正确；

对B,根据二项式展开通式得(1-2x)5的展开式通项为C；151_2xy,即C}(-2〉/,其中

0<r<5,reN

所以%=C；(—2)3=—80,故B正确；

对C,取X=l,则%+%+%+。3+。4+。5=-1，

则4+%+。3+%+=-1一%=-2,故C错误;

对D,取x=—1,则4—％+出一4+“4—。5=3，=243,

将其与4。+%+4+。3+“4+。5=-1作和得2(%)+。2+%)=242,

所以%)+。2+%=121,故D正确；

故选：ABD.

10.设。为坐标原点，直线x+加y—加一2=0过圆M：x2+y2—8x+6y=o的圆心且交圆于P,。两点,

则()

A.\PQ\=5B.m=—

C.△OP。的面积为5指D.OMLPQ

【答案】BC

【解析】

【分析】对于A,整理圆的方程为标准方程，明确圆心与半径，可得答案；

对于B,由题意，将圆心代入直线方程，求得参数，可得答案；

对于C,利用点到直线的距离公式求得三角形的高，结合三角形的面积公式，可得答案；

对于D,根据两点求得斜率，利用垂直直线斜率的关系，可得答案.

【详解】由圆的方程8x+6y=0,

则(x—4『+(y+3『=25,所以圆心/(4,—3),半径r=5,

易知怛9=10,故A错误；

将河(4,—3)代入直线方程x+帆y—加—2=0,则4—3掰—加—2=0,解得加=g,故B正确；

将加=g代入直线方程x+my-m-2=0,整理可得直线方程2x+y-5=0,

|2x0+0-5|厂A

原点到直线2x+y—5=0的距离d=।i-------।=V5,且此为△OPQ底尸。上的高,

V22+l2

所以「。「0=L/忸。|=,义指*10=5君,故C正确；

vu22

_3-03

由0(0,0)与M(4,—3),则直线0M的斜率左=不履=—“

由直线方程2x+y—5=0,则直线尸。斜率左2=-2,

3

由勺.左2=］WT，则。”与P。不垂直，故D错误.

故选：BC.

11.函数/(%)=5①妙(。〉0)在区间—I，］上为单调函数，且图象关于直线尤=与对称，贝!I()

2九

A,将函数/(x)的图象向右平移力-个单位长度，所得图象关于y轴对称

B.函数/(X)在［兀,2可上单调递减

C.若函数/(x)在区间伍,一)上没有最小值，则实数。的取值范围是(一卷二皆)

D,若函数/(x)在区间伍,一)上有且仅有2个零点，则实数。的取值范围是(-1,0)

【答案】AB

【解析】

【分析】根据函数单调性及对称轴求出函数解析式，由函数的平移判断A,根据单调性判断B,由函数的图

象与性质可判断CD.

【详解】由题意一色〈一百。，巴。W巴且女•<y=E+巴，左eZ,

222232

3k3—

可得0<GV1,CO----1—，左EZ,

24

3.3

故当左=0时，co=—,.\/(x)=sin—x.

44

27r32兀=sinlx-

对A,函数/(x)的图象向右平移T个单位长度可得^=5^^X--四…si故

1424

函数图象关于y轴对称，故A正确;

33兀3713

对B,当xe［兀,2兀］时,-xe,所以函数/(x)=sin单调递减，故B正确;

对C,当xe(义上包)时，[当,,函数/(x)在区间(a,也)上没有最小值，则需一巴<细<纭,

9446J9246

27114兀

即一一-<a<—,故C错误；

39

对D,由C,函数/(x)在区间伍,等)上有且仅有2个零点，则—兀<#■<(),即

4兀

——<«<0,故D错误.

3

故选：AB

12.已知函数：RfR,对任意满足x+y+z=O的实数x,y,z,均有/(x3)+/3(#+/3(z)=3xyz,

则()

A./(0)=0B./(2023)=2024

C./a)是奇函数D./(x)是周期函数

【答案】AC

【解析】

【分析】由条件等式通过赋值可判断AC选项；进而令y=z=—可得/(/)+2/31一gx]=

可设/(x)=x，满足/卜3)+2/31—；x]=：x3,进而验证BD选项是否满足，即可判断.

【详解】由/(/)+/3(田+/3(2)=3町2,

令X=y=Z=0,则/(O)+/3(O)+/3(O)=O,

即/⑼11+2/2(0)]=0,因为1+2/2(0)21,所以/(0)=0,故A正确；

令X=O,z=_九则/(o)+r3+/3(—y)=o,

即f(田+r㈠)=o,即/一尸⑴，

所以/(一力=-/。)，即〃=所以函数/(X)是奇函数，故C正确;

令y=z=_gx,则/(x3)+2/31_gx]=：x3,

由AC选项，不妨设/(x)=x,

则/13)二13,/'f——Xj=——X,满足/(1)+2/3[―鼻]]=工13,

而BD选项不满足/（%）=x,故BD错误.

故选：AC.

【点睛】方法点睛：涉及由抽象的函数关系求函数值，根据给定的函数关系，在对应的区间上赋值，再不

断变换求解即可.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知角0的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点尸（1,3）,贝!!

sin（（z+7t）=.

［答案］—独0

10

【解析】

【分析】由题意并结合三角函数定义、诱导公式直接计算即可.

33

【详解】由题意结合三角函数定义可知sina=〒==----

A/12+3210

)=-sina=-巫

从而由诱导公式有sin（a+n

)10

故答案为：—士何.

10

14兀

14.已知圆台的上、下底面半径分别为1和2,体积为——，则该圆台的侧面积为

3

【答案】3V57i

【解析】

【分析】利用圆台体积公式可得其高为〃=2,即可知母线长为君，利用侧面展开图面积求出圆台的侧面

积为3石兀.

【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为E=兀，下底面面积为E=4兀；

设圆台的高为〃，由体积可得:M4+S2+J有）=等，

解得〃=2,所以可得圆台母线长为/+（2-1）2=6,

根据侧面展开图可得圆台侧面积为g（2兀+4兀）/=3有兀.

故答案为：36兀

15.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米、200

米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为200米比赛未能站上领

31

奖台的概率为一，两项比赛都未能站上领奖台的概率为一，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则

1010

他在200米比赛中也站上领奖台的概率是.

3

【答案】-##0.6

5

【解析】

【分析】设出事件，根据事件的关系得到尸（Nu方）=P（］）+P（齐）—P（Nn月）=5，进而求出

0（/n8）=i—p（Nu5）=l，再利用条件概率公式求出答案.

【详解】设在200米比赛中站上领奖台为事件A,在100米比赛中站上领奖台为事件B,

则尸（司=\，尸⑻尸（舒珂='，尸⑻=1—P（可=；，

则叩U力尸⑶+P⑻一尸卬可得+/：磊,

则尸（如8）=1—耳=5，

3

尸(叫_10「3

故尸（幺忸）=

P(B)15

,'2

3

故答案为：—

5

16.已知抛物线"：>2=2x与直线/:>=-x+4围成的封闭区域中有矩形/BCD,点46在抛物线上,

点G〃在直线/上，则矩形对角线AD长度的最大值是.

【答案】4

【解析】

【分析】由题意首先画出图形，不妨设为8:y=—x+f,结合图形以及A=4+8f〉0分别算出参数/的范

围以及目标函数表达式，从而即可求解.

【详解】如图所示：

V

得抛物线厂与直线/的两个交点分别为尸（2,2）,。（8,-4）,

由题意四边形45CD是矩形，板AB/CD,且注意到/（C。）：y=—x+4

所以不妨设4§：y=—x+f,

2-0

又k°pXkcD=——x（-l）=-l,所以OP_LC。，

2—0

所以由图可知，《0,

y2=2x1

联立v=>y9+2y—2/=0,△=4+8%>0t>—,

y=-x+t2

因此/£,0,

而=1]+1[,仇_%）2="]卜厂+石—-6+石]=2A=8+16/,

1^ABJ1”

由两平行线间的距离公式可知=]崂1]=二—87+16

2

从而即2=时+呵=g+i2/+i6=»m+56/£12，°'

所以当且仅当，=0时，8。长度取最大值是忸。I=V16=4.

1Imax

故答案为：4.

【点睛】关键点点睛：本题的关键是合理设参，并通过数形结合求出参数的范围也是很重要的，至于求出

目标函数表达式只需仔细计算即可.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在中，角A、B、。所对的边分别为b、c,已知£=1+2COSZ.

b

(1)证明：A=2B；

3

(2)若sinB=—,c=13,求AT!8c的面积.

5

【答案】(1)证明见解析

(2)52

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理结合三角恒等变换可得出sin(Z-B)=sinS,求出Z-8的取值范围，可得出

A-B=B，即可证得结论成立；

(2)由£=1+2COSZ可求得6的值，再利用三角形的面积公式可求得“的面积.

b

【小问1详解】

证明：因为一=l+2cos/,由正弦定理得sinC—2siii8cos4=sin8，

b

即sin（4+B）-2sinScosZ=sinAcosB+cos^4sin5-2cosAsinB=sii15,

即sim4cos3-cos/sinS=sinS,故sin（4—3）=sinfi,

因为A、BG（0,7i）,所以4一5£（-兀,兀），则sin（4—B）=sinB>0,

所以，0<A-B〈冗,所以，A-B=B或4一B+B=7l（舍），因此才=2B.

【小问2详解】

解：因为cos/=cos2B'l-Zsin/B=1-2x［士］=—,

⑸25

故sim4=J1-cos2A=Jl-'

c143925

由一=1+2COST4=1H---=—,因为c=13,故6=—,

b25253

112524

所以,《一=52.

“BC=-2^CSUL4=2--13-3-•25

18.已知数列｛4｝满足q=1,且对任意正整数小，〃都有%,+“=%+%,+2mn.

（1）求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列｛(—1)"%｝的前〃项和S”.

【答案】(1)an=rr

2

n+〃

〃为偶数

2，

⑵S“=V

一〃2—YI

“为奇数

2

【解析】

【分析】(1)令m=1,可得4+1-4=1+2〃，用累加法即可求出数列｛%｝的通项公式.

(2)由题意分〃是偶数和奇数两种情况讨论，当〃为偶数时，可用分组求和以及等差数列前〃项和公式,

当〃为奇数时，利用n为偶数的结论即可求解.

【小问1详解】

由对任意整数加，〃均有%+〃加+2加〃，取加=1,得Q“+I+1+2〃，

+2

当〃22时，=%+(出—%)+(%—。2)+…+(""一。〃t)—1+3+5+…+2^7—1二

2~n

当〃=1时，符合上式，所以

【小问2详解】

222

当〃为偶数时，Sn=(一心+2^)+(-3+4^H----^]一(〃-1)2+/]

,,《3+2〃-1)+

=3+7+11+…+伽-1)=^——-----='2)

当〃为奇数时，若”=1,则E=(—1)2%=—1,

2

n-\\n2-n-n

若心2,则S,=S,T+(-1)%,=S,「%----------n------------

22

-I2-1

且当〃=1时，满足与=—］」=—1.

2

n+〃

〃为偶数

综上所述：s“=:

-n~-n

〃为奇数

19.如图，已知正方体48GD—481Gq的棱长为明点£满足诙=3面，点尸是CG的中点，点G满

--3——•

足£>G=1G〃

（1）求证：B,£,G,尸四点共面；

（2）求平面EWG与平面同£尸夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵巫

39

【解析】

【分析】（1）法1：取。2中点〃，分别连接/笈,,先证明四边形ABFH为平行四边形，则AH//BF，

再根据相似比可得EG//AH,则EG//BF，即可得出结论；

法2：以。为原点，建立空间直角坐标系。-町2,证明的〃砺即可；

（2）利用向量法求解即可.

【小问1详解】

法1：如图，取。A中点〃，分别连接2笈,切，因为尸为CG中点,

所以FH〃AB，且FH=AB,

所以四边形为平行四边形，所以Z笈//BF，

3

-DD

____DE—.3-DG21

由。E=3EN知.=3，由。G=£G£>I知示=苧----=3,

EA5GHLDD、

81

271FAz~»

所以一=—,所以EG〃AH,

EAGH

所以EGIIBF，所以8,£,G,厂四点共面;

法2：如图，以。为原点，建立空间直角坐标系型,

则8（4,4,0）,E（3,0,0）,E（0,4,2）,G[0,0，m]，4（4,0,4）,

因为8^=（—4,0,2）,EG=1—3,0,|"],所以EG=[BE,所以反〃丽,

所以反E,G,尸四点共面；

【小问2详解】

由（1）知，BE=（-l,-4,0）,A^E=（-l,0,-4）,EF=（-3,4,2）,

设平面EFG的法向量为成=(x,y,z),

m-BE=0工：]。’可取应=(18)，

由＜一，即〈

m-BF-0

平面AXEF的法向量〃=(Q,6,C),

in-A[E=-a-4c=0

则有《可取力=(8,7,—2),

m-EF=-3a+46+2c=0

设平面EFG与平面夹角为8,

\m-n\9V13

则30=丽

9x3而一39

V13

所以平面EFG与平面AXEF夹角的余弦值为

20.已知函数/(x)=ae2x+(a-4)e-2x(e为自然对数的底数，e=2.71828--■).

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)证明：当a>l时，/(x)>71na-a-4.

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)分类讨论，分别判断/(X)的符号，得出函数的单调区间；

4

(2)利用函数最值转化为求证6+。——51no-21n2>0,构造函数利用导数求最值即可得解.

a

【小问1详解】

/(x)=2ae2x+(«-4)ex-2=(aev-2)(2ev+1),

当a<0时，r(x)<0,/(x)在(―叫+⑹上单调递减；

222

当Q〉0时，由/'(x)=0可得x=ln—,故x<ln—时，/'(、)<0,x>ln—时，/'(%)>0,

aaa

所以/(x)在［一与In：］上单调递减，在1nj,+e］上单调递增.

【小问2详解】

由⑴知，f(x)min=/fin—|=2---21n2+21na,

<a)a

44

只需证2-----21n2+21n。>71na—a—4,即证6+a-------5Ina—21n2>0,

aa

设g(。)-6+。-----51ntz-21n2,a>1,

a

则g，(a)=l+——=1——今——L,

aaa

故1<Q<4时，g'(x)<0,4<a时，g'(x)>0,

所以g(a)在(1,4)上递减，在(4,+⑹上递增，

所以g(a"g(4)=9—121n2=3(3—lnl6),

又£>2.73>16，故g(a)>0,

4

即6+。——51na—21n2〉0成立，所以原不等式成立.

a

21.某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打

结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：

速度

性别合计

快慢

男生65

女生55

合计110200

(1)根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？

(2)现有根绳子，共有方个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头

打结完毕视为结束.

(i)当〃=3,记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；

22"-1'n'(n-l')'

(ii)求证：这〃根绳子恰好能围成一个圈的概率为———~L.

(2〃》

n(ad-be)2

附：K2—，n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k)0.1000.0500.0250.010

k2.7063.8415.0246.635

【答案】（1）有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关

23

（2）（i）分布列见解析，一；（ii）证明见解析

15

【解析】

【分析】（1）利用计算卡方进行检验即可；

（2）（i）依题意，先得到X的所有可能取值，再依次求得对应的概率即可得解；（ii）利用分步计数原理,

结合数列的累乘法与古典概型的概率公式即可得解.

【小问1详解】

依题意，完善2x2列联表如下，

速度

性别合计

快慢

男生6535100

女生4555100

合计11090200

故有99%的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.

【小问2详解】

（i）由题知，随机变量X的所有可能取值为1,2,3,

6__2

P（X=1）=9=—,P（X=2）=2c3产

I）C〉C1砥15I）砥15一5,

A；A；

所以X的分布列为

X123

821

P

15515

Q2i23

所以E（X）=lx—+2x—+3x—=—

v71551515

（ii）不妨令绳头编号为1,2,3,4,…,2〃，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1,2外有2〃-2种可

能，

假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下n-1根绳子进行打结,

令根绳子打结后可成圆的种数为%,

那么经过一次打结后，剩下n-1根绳子打结后可成圆的种数为,

由此可得，%=（2〃一2）%_],“»2,

所以二-==（2n-4）,...,—=2,

aa

„-2A

所以线=（2“—2）x（2“—4）x...x2=2“T•（“-1）!,

显然%=1,故％=2"L（〃_1）!；

另一方面，对2〃个绳头进行任意2个绳头打结，总共有

N=Cie；”?=色^

n\2n-n\T-n\'

21

_an_2"^.（«-l）!_2"--«!（n-l）!

所以尸一万一—西i——（2^）!

【点睛】关键点睛：本题第二小问第二步的解决关键是利用分步计数原理得到数列的递推式，从而利用数

列的累乘法求得结果.

22.已知双曲线C：「-*1（。＞0,6＞0）的焦距为6,其中一条渐近线4的斜率为日，过点&0）«＞。）

的直线/