新人教版九年级数学上册一元二次方程解法导学案

九年级数学第一章22.2.1直接开平方法解一元二次方程教学目标1、理解一元二次方程“降次”──转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题．2、提出问题，列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程，然后知识迁移到解a〔ex+f〕2+c=0型的一元二次方程．重点：运用开平方法解形如〔x+m〕2=n〔n≥0〕的方程；领会降次──转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解形如〔x+m〕2=n〔n≥0〕的方程．【课前预习】导学过程阅读教材第30页至第31页的局部，完成以下问题一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2,李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表，你能算出盒子的棱长吗？我们知道x2=25，根据平方根的意义，直接开平方得x=±5，如果x换元为2t+1，即〔2t+1〕2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？计算：用直接开平方法解以下方程：〔1〕x2=8〔2〕(2x-1)2=5〔3〕x2+6x+9=2〔4〕4m2-9=0〔5〕x2+4x+4=1〔6〕3(x-1)2-9=108解一元二次方程的实质是:把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”．归纳：如果方程能化成的形式，那么可得【课堂活动】活动1、预习反应活动2、例习题分析例1用直接开平方法解以下方程：〔1〕(3x+1)2=7〔2〕y2+2y+1=24〔3〕9n2-24n+16=11练习：〔1〕2x2-8=0〔2〕9x2-5=3〔3〕(x+6)2-9=0【课堂练习】：活动3、知识运用1、用直接开平方法解以下方程：〔1〕3(x-1)2-6=0〔2〕x2-4x+4=5〔3〕9x2+6x+1=4〔4〕36x2-1=0〔5〕4x2=81〔6〕(x+5)2=25〔7〕x2+2x+1=4归纳小结应用直接开平方法解形如，那么可得到达降次转化之目的．【课后稳固】一、选择题1．假设x2-4x+p=〔x+q〕2，那么p、q的值分别是〔〕．A．p=4，q=2B．p=4，q=-2C．p=-4，q=2D．p=-4，q=-22．方程3x2+9=0的根为〔〕．A．3B．-3C．±3D．无实数根3．用配方法解方程x2-x+1=0正确的解法是〔〕．A．〔x-〕2=，x=±B．〔x-〕2=-，原方程无解C．〔x-〕2=，x1=+，x2=D．〔x-〕2=1，x1=，x2=-二、填空题1．假设8x2-16=0，那么x的值是_________．2．如果方程2〔x-3〕2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________．3．如果a、b为实数，满足+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______．4．用直接开平方法解以下方程：〔1〕〔2-x〕2-81＝0〔2〕2〔1-x〕2-18＝0〔3〕〔2-x〕2＝45．解关于x的方程〔x+m〕2=n．6、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙〔墙长25m〕，另三边用木栏围成，木栏长40m．〔1〕鸡场的面积能到达180m2吗？能到达200m吗？〔2〕鸡场的面积能到达210m2吗？配方法解一元二次方程〔1〕教学目标1、理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程，并能熟练应用它解决一些具体问题．2、通过复习可直接化成x2=p〔p≥0〕或〔mx+n〕2=p〔p≥0〕的一元二次方程的解法，引入不能直接化成上面两种形式的解题步骤．重点：讲清“直接降次有困难”，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解题步骤．难点：不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的“化为”的转化方法与技巧．【课前预习】导学过程阅读教材第31页至第34页的局部，完成以下问题解以下方程〔1〕3x2-1=5〔2〕4〔x-1〕2-9=0〔3〕4x2+16x+16=9填空：〔1〕x2+6x+______=〔x+______〕2；〔2〕x2-x+_____=〔x-_____〕2〔3〕4x2+4x+_____=〔2x+______〕2．〔4〕x2-x+_____=〔x-_____〕2问题：要使一块长方形场地的长比宽多6cm，并且面积为16cm2,场地的长和宽应各是多少？思考？1、以上解法中，为什么在方程x2+6x=16两边加9？加其他数行吗？2、什么叫配方法？3、配方法的目的是什么？这也是配方法的根本4、配方法的关键是什么？用配方法解以下关于x的方程〔1〕2x2-4x-8=0〔2〕x2-4x+2=0〔3〕x2-x-1=0〔4〕2x2+2=5总结：用配方法解一元二次方程的步骤：【课堂活动】活动1、预习反应活动2、例习题分析例1用配方法解以下关于x的方程：〔1〕x2-8x+1=0〔2〕2x2+1=3x〔3〕3x2-6x+4=0练习：〔1〕x2+10x+9=0〔2〕x2-x-=0〔3〕3x2+6x-4=0〔4〕4x2-6x-3=0〔5〕x24x-9=2x-11〔6〕x(x+4)=8x+12【课堂练习】：活动3、知识运用填空：〔1〕x2+10x+______=〔x+______〕2；〔2〕x2-12x+_____=〔x-_____〕2〔3〕x2+5x+_____=〔x+______〕2．〔4〕x2-x+_____=〔x-_____〕22．用配方法解以下关于x的方程〔1〕x2-36x+70=0．〔2〕x2+2x-35=0〔3〕2x2-4x-1=0〔4〕x2-8x+7=0〔5〕x2+4x+1=0〔6〕x2+6x+5=0〔7〕2x2+6x-2=0〔8〕9y2-18y-4=0〔9〕x2+3=2x归纳小结：用配方法解一元二次方程的步骤：【课后稳固】一、选择题1．将二次三项式x2-4x+1配方后得〔〕．A．〔x-2〕2+3B．〔x-2〕2-3C．〔x+2〕2+3D．〔x+2〕2-32．x2-8x+15=0，左边化成含有x的完全平方形式，其中正确的选项是〔〕．A．x2-8x+〔-4〕2=31B．x2-8x+〔-4〕2=1C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-113．如果mx2+2〔3-2m〕x+3m-2=0〔m≠0〕的左边是一个关于x的完全平方式，那么m等于〔〕．A．1B．-1C．1或9D．-1或9二、填空题

1．〔1〕x2-8x+______=〔x-______〕2；〔2〕9x2+12x+_____=〔3x+_____〕2〔3〕x2+px+_____=〔x+______〕2．2、方程x2+4x-5=0的解是________．3．代数式的值为0，那么x的值为________．三、计算：〔1〕x2+10x+16=0〔2〕x2-x-=0〔3〕3x2+6x-5=0〔4〕4x2-x-9=0四、综合提高题1．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长．2．如果x2-4x+y2+6y++13=0，求〔xy〕z的值．公式法解一元二次方程教学目标1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，会熟练应用公式法解一元二次方程．2、复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0〔a≠0〕的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．【课前预习】导学过程阅读教材第34页至第37页的局部，完成以下问题1、用配方法解以下方程〔1〕6x2-7x+1=0〔2〕4x2-3x=52总结用配方法解一元二次方程的步骤：2、如果这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：ax2+bx+c=0〔a≠0〕试推导它的两个根x1=x2=分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项，得：，二次项系数化为1，得配方，得：即∵a≠0，∴4a2>0，式子b2-4ac的值有以下三种情况：b2-4ac＞0，那么＞0直接开平方，得：即x=∴x1=，x2=b2-4ac=0，那么=0此时方程的根为即一元二次程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有两个的实根。b2-4ac＜0，那么＜0，此时〔x+〕2＜0，而x取任何实数都不能使〔x+〕2＜0，因此方程实数根。由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根由方程的系数a、b、c而定，因此：〔1〕解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=就得到方程的根，当b2-4ac＜0，方程没有实数根。〔2〕x=叫做一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的求根公式．〔3〕利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．〔4〕由求根公式可知，一元二次方程最多有实数根，也可能有实根或者实根。〔5〕一般地，式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ=b2-4ac用公式法解以下方程．〔1〕2x2-4x-1=0〔2〕5x+2=3x2〔3〕〔x-2〕〔3x-5〕=0〔4〕4x2-3x+1=0【课堂活动】活动1、预习反应活动2、例习题分析例2、用公式法解以下方程．x2-4x-7=0〔2〕2x2-x+1=0〔3〕5x2-3x=x+1〔4〕x2+17=8x练习：1、在什么情况下，一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？2、写出一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0，b2-4ac≥0〕的求根公式。3、方程x2-4x+4=0的根的情况是〔〕A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C有一个实数根D没有实数根4、用公式法解以下方程．〔1〕2x2-4x-1=0〔2〕5x+2=3x2〔3〕〔x-2〕〔3x-5〕=0〔4〕4x2-3x+1=0〔5〕x2+x-6=0〔6〕x2-x-=0〔7〕3x2-6x-2=0〔8〕4x2-6=0〔9〕x2+4x+8=4x+11(10)x〔2x-4〕=5-8x【课堂练习】：活动3、知识运用1、利用判别式判定以下方程的根的情况：〔1〕2x2-3x-=0〔2〕16x2-24x+9=0〔3〕x2-x+9=0〔4〕3x2+10x=2x2+8x2、用公式法解以下方程．〔1〕x2+x-12=0〔2〕x2-x-=0〔3〕x2+4x+8=2x+11〔4〕x〔x-4〕=2-8x〔5〕x2+2x=0(6)x2+x+10=0归纳小结本节课应掌握：〔1〕求根公式的概念及其推导过程；〔2〕公式法的概念；〔3〕应用公式法解一元二次方程；〔4〕初步了解一元二次方程根的情况．【课后稳固】一、选择题1．用公式法解方程4x2-12x=3，得到〔〕．A．x=B．x=C．x=D．x=2．方程x2+4x+6=0的根是〔〕．A.x1=，x2=B.x1=6，x2=C.x1=2，x2=D.x1=x2=-3．〔m2-n2〕〔m2-n2-2〕-8=0，那么m2-n2的值是〔〕．A．4B．-2C．4或-2D．-4或2二、填空题1．一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的求根公式是________，条件是________．2．当x=______时，代数式x2-8x+12的值是-4．3．假设关于x的一元二次方程〔m-1〕x2+x+m2+2m-3=0有一根为0，那么m的值是_____．三、综合提高题1．用公式法解关于x的方程：x2-2ax-b2+a2=0．2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的两根，〔1〕试推导x1+x2=-，x1·x2=；〔2〕求代数式a〔x13+x23〕+b〔x12+x22〕+c〔x1+x2〕的值．3、某数学兴趣小组对关于x的方程〔m+1〕+〔m-2〕x-1=0提出了以下问题．〔1〕假设使方程为一元二次方程，m是否存在？假设存在，求出m并解此方程．〔2〕假设使方程为一元二次方程m是否存在？假设存在，请求出．你能解决这个问题吗？学习目标：1．会用因式分解法〔提公因式法、公式法〕法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。重点、难点重点：应用分解因式法解一元二次方程难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.【课前预习】阅读教材P38—40,完成课前预习1：知识准备将以下各题因式分解am+bm+cm=;a2-b2=;a2±2ab+b2=因式分解的方法：解以下方程．〔1〕2x2+x=0〔用配方法〕〔2〕3x2+6x=0〔用公式法〕2：探究仔细观察方程特征，除配方法或公式法，你能找到其它的解法吗？3、归纳：〔1〕对于一元二次方程，先因式分解使方程化为_________________的形式，再使_________________________，从而实现_________________，这种解法叫做__________________。〔2〕如果，那么或，这是因式分解法的根据。如：如果，那么或_______，即或________。练习1、说出以下方程的根：〔1〕〔2〕练习2、用因式分解法解以下方程：(1)x2-4x=0(2)4x2-49=0(3)5x2-20x+20=0【课堂活动】活动1：预习反应活动2：典型例题用因式分解法解以下方程(1)(2)〔3〕(4)用因式分解法解以下方程〔1〕4x2-144=0〔2〕(2x-1)2=(3-x)2〔3〕〔4〕3x2-12x=-12活动3：随堂训练用因式分解法解以下方程〔1〕x2+x=0〔2〕x2-2x=0〔3〕3x2-6x=-3〔4〕4x2-121=0〔5〕3x(2x+1)=4x+2〔6〕(x-4)2=(5-2x)22、把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。活动4：课堂小结因式分解法解一元二次方程的一般步骤将方程右边化为将方程左边分解成两个一次因式的令每个因式分别为，得两个一元一次方程解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解【课后稳固】1．方程的根是2．方程的根是________________3．方程2x〔x-2〕=3〔x-2〕的解是_________4．方程〔x-1〕〔x-2〕=0的两根为x1、x2，且x1>x2，那么x1-2x2的值等于___5．假设〔2x+3y〕2+4〔2x+3y〕+4=0，那么2x+3y的值为_________．6．y=x2-6x+9，当x=______时，y的值为0；当x=_____时，y的值等于9．7．方程x〔x+1〕〔x-2〕=0的根是〔〕A．-1，2B．1，-2C．0，-1，2D．0，1，28．假设关于x的一元二次方程的根分别为-5，7，那么该方程可以为〔〕A．〔x+5〕〔x-7〕=0B．〔x-5〕〔x+7〕=0C．〔x+5〕〔x+7〕=0D．〔x-5〕〔x-7〕=09．方程〔x+4〕〔x-5〕=1的根为〔〕A．x=-4B．x=5C．x1=-4，x2=5D．以上结论都不对10、用因式分解法解以下方程：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)3x(x-1)=2(x-1)(8)x2+x〔x-5〕=0学习目标：1、理解并掌握用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一