高考化学一轮复习讲练测（全国通用） 专题讲座（十二） 晶胞参数、坐标参数的分析与应用（讲）（原卷版+答案解析）

专题讲座（十二）晶胞参数、坐标参数的分析与应用目录第一部分：网络构建（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：典型例题剖析高频考点1晶胞参数与晶体密度间的互算高频考点2原子空间利用率的计算高频考点3晶胞中原子坐标的确定正文第一部分：网络构建（总览全局）第二部分：知识点精准记忆【知识梳理】知识点一、常见晶体结构分析1．常见原子晶体结构分析晶体晶体结构结构分析金刚石(1)每个C与相邻4个C以共价键结合，形成正四面体结构(2)键角均为109°28′(3)最小碳环由6个C组成且6个C不在同一平面内(4)每个C参与4个C—C键的形成，C原子数与C—C键数之比为1∶2(5)密度＝eq\f(8×12g·mol－1,NA×a3)(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)SiO2(1)每个Si与4个O以共价键结合，形成正四面体结构(2)每个正四面体占有1个Si,4个“eq\f(1,2)O”，因此二氧化硅晶体中Si与O的个数比为1∶2(3)最小环上有12个原子，即6个O,6个Si(4)密度＝eq\f(8×60g·mol－1,NA×a3)(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)SiC、BP、AlN(1)每个原子与另外4个不同种类的原子形成正四面体结构(2)密度：ρ(SiC)＝eq\f(4×40g·mol－1,NA×a3)；ρ(BP)＝eq\f(4×42g·mol－1,NA×a3)；ρ(AlN)＝eq\f(4×41g·mol－1,NA×a3)(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)2.常见分子晶体结构分析晶体晶体结构结构分析干冰(1)每8个CO2构成1个立方体且在6个面的面心又各有1个CO2(2)每个CO2分子周围紧邻的CO2分子有12个(3)密度＝eq\f(4×44g·mol－1,NA×a3)(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)白磷(1)面心立方最密堆积(2)密度＝eq\f(4×124g·mol－1,NA×a3)(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)3．常见金属晶体结构分析(1)金属晶体的四种堆积模型分析堆积模型简单立方堆积体心立方堆积六方最密堆积面心立方最密堆积晶胞配位数681212原子半径(r)和晶胞边长(a)的关系2r＝a2r＝eq\f(\r(3)a,2)2r＝eq\f(\r(2)a,2)一个晶胞内原子数目1224原子空间利用率52%68%74%74%(2)金属晶胞中原子空间利用率计算空间利用率＝eq\f(球体积,晶胞体积)×100%，球体积为金属原子的总体积。①简单立方堆积如图所示，原子的半径为r，立方体的棱长为2r，则V球＝eq\f(4,3)πr3，V晶胞＝(2r)3＝8r3，空间利用率＝eq\f(V球,V晶胞)×100%＝eq\f(\f(4,3)πr3,8r3)×100%≈52%。②体心立方堆积如图所示，原子的半径为r，体对角线c为4r，面对角线b为eq\r(2)a，由(4r)2＝a2＋b2得a＝eq\f(4,\r(3))r。1个晶胞中有2个原子，故空间利用率＝eq\f(V球,V晶胞)×100%＝eq\f(2×\f(4,3)πr3,a3)×100%＝eq\f(2×\f(4,3)πr3,\f(4,\r(3))r3)×100%≈68%。③六方最密堆积如图所示，原子的半径为r，底面为菱形(棱长为2r，其中一个角为60°)，则底面面积S＝2r×eq\r(3)r＝2eq\r(3)r2，h＝eq\f(2\r(6),3)r，V晶胞＝S×2h＝2eq\r(3)r2×2×eq\f(2\r(6),3)r＝8eq\r(2)r3,1个晶胞中有2个原子，则空间利用率＝eq\f(V球,V晶胞)×100%＝eq\f(2×\f(4,3)πr3,8\r(2)r3)×100%≈74%。④面心立方最密堆积如图所示，原子的半径为r，面对角线为4r，a＝2eq\r(2)r，V晶胞＝a3＝(2eq\r(2)r)3＝16eq\r(2)r3,1个晶胞中有4个原子，则空间利用率＝eq\f(V球,V晶胞)×100%＝eq\f(4×\f(4,3)πr3,16\r(2)r3)×100%≈74%。(3)晶体微粒与M、ρ之间的关系若1个晶胞中含有x个微粒，则1mol该晶胞中含有xmol微粒，其质量为xMg(M为微粒的相对分子质量)；若该晶胞的质量为ρa3g(a3为晶胞的体积)，则1mol晶胞的质量为ρa3NAg，因此有xM＝ρa3NA。4．常见离子晶体结构分析NaCl型CsCl型ZnS型CaF2型晶胞配位数及影响因素配位数684F－：4；Ca2＋：8影响因素阳离子与阴离子的半径比值越大，配位数越多，另外配位数还与阴、阳离子的电荷比有关等密度的计算(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)eq\f(4×58.5g·mol－1,NA×a3)eq\f(168.5g·mol－1,NA×a3)eq\f(4×97g·mol－1,NA×a3)eq\f(4×78g·mol－1,NA×a3)知识点二、原子分数坐标参数1．概念原子分数坐标参数，表示晶胞内部各原子的相对位置。2．原子分数坐标的确定方法(1)依据已知原子的坐标确定坐标系取向。(2)一般以坐标轴所在正方体的棱长为1个单位。(3)从原子所在位置分别向x、y、z轴作垂线，所得坐标轴上的截距即为该原子的分数坐标。3.金刚石晶胞中碳原子坐标的确定以金刚石晶胞结构为例，金刚石晶体整体上是正四面体立体网状结构。每个碳原子L能层的4个电子采用sp3杂化，形成4个等同的杂化轨道，相邻的两个碳原子之间形成σ键。这样每个碳原子与周围4个碳原子形成4个σ键，每个碳原子都是直接相连的4个碳原子的重心。在一个金刚石晶胞中有8个碳原子位于立方体的顶点，6个碳原子位于面心，4个碳原子位于晶胞内部。每个晶胞中8个顶点中有4个顶点、6个面心和4个晶胞内部的碳原子形成4个正四面体，每个正四面体的4个顶点分别是一个晶胞顶点和这个顶点所在平面的面心，正四面体中心是晶胞内的1个碳原子。用解析几何知识研究晶体中各个微粒间的位置关系更具体更直接。以底面一个顶点的碳原子(通常取后左下)为原点建立一个三维坐标系。原点上的原子坐标为(0，0，0)，晶胞边长参数看作1，并据此分析坐标参数。在晶胞进行“无隙并置”时，可以看出，8个顶点的原子都可以作为原点，注意看清楚，与这个原点原子重合的是晶胞上哪一个顶点的碳原子。所以顶点上的8个原子坐标都是(0，0，0)，这与纯粹立体几何不同，所以高中阶段我们只标注顶点以外的晶胞内和晶胞上点的坐标；棱心和面心坐标点中数据中不会出现“1”。以下是晶胞中各点碳原子对应的三维坐标和晶体中坐标的对应关系。(1)6个面心坐标上面心下面心左面心右面心前面心后面心三维坐标晶体中坐标(2)12个棱中心坐标上面四条棱三维坐标晶体中坐标下面四条棱三维坐标晶体中坐标垂直底面四条棱三维坐标晶体中坐标(3)晶胞内部4个碳原子的坐标金刚石晶胞有两种取向，由于金刚石晶胞内部有4个碳原子，在空间分布是不对称的，所以从不同方向观察晶胞时，内部的4个碳原子的位置是不相同的。我们把左边的图叫作取向1，右边的图叫作取向2它们各自绕竖直中心轴旋转90°，就能够变为对方。金刚石晶胞内4个碳原子坐标：取向1：取向2：所以金刚石晶胞的取向不同时，晶胞内部不对称的4个原子的坐标会发生改变。4.常见晶胞的原子坐标1）金刚石晶胞的原子坐标（1）取向一：金刚石晶胞中碳原子的坐标：8个顶点碳原子的坐标：0，0，0；6个面中心碳原子的坐标：1/2，0，1/2；1/2，1/2，0；0，1/2，1/2；4个内部碳原子的坐标：1/4，1/4，3/4；3/4，1/4，1/4；3/4，3/4，3/4；1/4，3/4，1/4；（2）取向二：金刚石晶胞中碳原子的坐标：8个顶点碳原子的坐标：0，0，0；6个面中心碳原子的坐标：1/2，0，1/2；1/2，1/2，0；0，1/2，1/2；4个内部碳原子的坐标：1/4，1/4，1/4；3/4，3/4，1/4；3/4，1/4，3/4；1/4，3/4，3/4；注：金刚石晶胞的取向不同时，即使都是取前左下的顶点原子作原点，晶胞内部不对称的4个碳原子的坐标，也会发生改变。2）氟化钙晶体：每个CaF2晶胞有4个Ca2＋和8个F－原子分数坐标如下：Ca2＋：0，0，01/2，1/2，01/2，0，1/20，1/2，1/2F－：1/4，1/4，1/43/4，1/4，1/41/4，3/4，1/41/4，1/4，3/43/4，3/4，1/43/4，1/4，3/41/4，3/4，3/43/4，3/4，3/43）氯化钠晶胞：每个晶胞含有4个Cl－和4个Na＋，它们的原子分数坐标为：Na＋：1/2，1/2，1/21/2，0，00，1/2，00，0，1/2Cl－：0，0，01/2，1/2，00，1/2，1/21/2，0，1/2注：碱金属的卤化物、氢化物，碱土金属的氧化物、硫化物、硒化物、碲化物，过渡金属的氧化物、硫化物，以及间隙型碳化物、氮化物都属NaCl型结构。知识点三、宏观晶体密度与微观晶胞参数的关系1.密度的计算式：2.计算类型晶体的密度有两种计算形式，一种是知道晶胞边长和晶胞结构进行的计算，一种是知道原子或离子半径和晶胞结构进行的计算。1）知道晶胞边长和晶胞结构进行的计算若晶胞为正方体，边长为a

pm，含有b个分子，分子的相对分子质量为M，则密度的计算过程为(别记结论，学会计算过程)晶胞的体积为：(a×10－12m)3=a3×10－36m3晶胞中分子的总质量为：m=nM=(b/NA)M=

bM/6.02×1023gρ=M/V=(bM/6.02×1023g)/(a3×10－36m3)=(bM×1013)/(6.02×a3)g/m3(1)CO2分子晶体的密度计算：已知CO2分子晶体的结构如下图(面心立方)，晶胞边长为572pm(计算数据)。①晶胞中的分子数目计算：8×1/8＋6×1/2=4一个晶胞中有4个CO2。②晶体密度计算：m=nM=[4/(6.02×1023/mol)]×44g/mol=2.9236×10－22gV=(572×10－12)3m3=1.8715×10－28m3ρ=m/V=2.9236×10－22g/1.8715×10－28m3=1.562×106g/m3=1.562g/cm3。(2)Po(钋)，相对原子质量为209，晶胞边长为336pm。①晶胞中原子数目计算：8×1/8=1。②密度计算：m=nM=[1/(6.02×1023/mol)]×209g/mol=3.472×10－22gV=(336×10－12)3m3=3.7933×10－29m3ρ=m/V=3.472×10－22g/3.7933×10－29m3=9.153×106g/m3=9.153g/cm32）知道原子或离子半径和晶胞结构进行的计算先用原子或离子的半径计算出晶胞的边长，然后再进行密度计算。(1)Na的体心立方Na的原子半径r=186pm。①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋1=2。②密度计算：先计算晶胞的边长a：根据体对角线=√3a=4r，边长a=4r/√3=4×186pm/√3=429.56pm。m=nM=[2/(6.02×1023/mol)]×23g/mol=7.6412×10－23gV=(429.56×10－12)3m3=7.9263×10－29m3ρ=m/V=7.6412×10－23g/7.9263×10－29m3=9.64×105g/m3=0.964g/cm3(2)Zn的六方堆积：Zn的范德华半径为139pm。①正六棱柱中原子数目计算：12×1/6＋2×1/2＋3=6②密度计算：六方最密堆积不是正方体晶胞，不能用正方体的公式计算。用上面的正六棱柱计算，正六棱柱的边长为278pm。若边长为r，体积为24√2r3。(计算式见空间利用率计算的(3))V=24√2r3=24√2×(139×10－12m)3=9.1153×10－29m3m=nM=[6/(6.02×1023/mol)]×65.38g/mol=6.5163×10－22gρ=m/V=6.5163×10－22g/9.1153×10－29m3=7.15×106g/m3=7.15g/cm3(3)金刚石原子晶体的结构①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2＋4=8②密度计算：以金刚石结构为例，C的共价半径为77pm。大立方体的边长为8r/√3，即355.65pm。(计算式见空间利用率计算的(4))m=nM=[8/(6.02×1023/mol)]×12g/mol=1.5947×10－22gV=(355.65×10－12)3m3=4.4985×10－29m3ρ=m/V=1.5947×10－22g/4.4985×10－29m3=3.545×106g/m3=3.545g/cm3(4)离子晶体的密度计算：①NaCl：Na＋的离子半径为95pm，Cl－的离子半径为181pm晶胞边长的计算：2r(Na＋)＋2r(Cl－)=552pm。其中含Na＋4个，Cl－4个。m=nM=[4/(6.02×1023/mol)]×23g/mol＋[4/(6.02×1023/mol)]×35.45g/mol=3.8837×10－22gV=(552×10－12)3m3=1.682×10－28m3ρ=m/V=3.8837×10－22g/1.682×10－28m3=2.309×106g/m3=2.309g/cm3②CsCl：Cs＋的离子半径为169pm，Cl－的离子半径为181pm。晶胞边长的计算：[2r(Cs＋)＋2r(Cl－)]/√3=404.15pm。其中含Cs＋1个，Cl－1个。m=nM=[1/(6.02×1023/mol)]×132.9g/mol＋[1/(6.02×1023/mol)]×35.45g/mol=2.7965×10－22gV=(404.15×10－12)3m3=6.6013×10－29m3ρ=m/V=2.7965×10－22g/6.6013×10－29m3=4.236×106g/m3=4.236g/cm3③CaF2：Ca2＋的离子半径为99pm，F－的离子半径为136pm。右侧为晶胞的八分之一晶胞边长计算为2{[2r(Ca2＋)＋2r(F－)]/√3}=542.71pm。其中含Ca2＋4个，F－8个，则密度为M=nm=[4/(6.02×1023/mol)]×40g/mol＋[8/(6.02×1023/mol)]×19g/mol=5.1827×10－22gV=(542.71×10－12)3m3=1.5985×10－28m3ρ=m/V=5.1827×10－22g/1.5985×10－28m3=3.242×106g/m3=3.242g/cm3知能点四晶体中堆积方式不同的棱长与原子半径的关系1.面心立方最密堆积，金属原子之间的距离为面对角线的一半，r为金属原子的直径。如果边长为acm，半径r=（／4）acm,2.体心立方最密堆积，金属原子之间的距离为体心对角线的一半，为金属原子的直径。如果边长为acm，则半径r=（／4）acm3.六方最密堆积4.简单立方堆积立方体的边长为acm,则r=a／2cm。5.金刚石

图中原子均为碳原子，这种表示为更直观。如边长为acm,碳原子的半径为（／8）acm。知识点五空间利用率的计算1、空间利用率的计算式若原子的半径为R，晶胞中原子有n个，立方晶胞的边长为a：单个原子的体积为4πr3/3，立方晶胞的体积为a3。则空间利用率为2、各种晶胞的空间利用率计算(1)金属晶体的简单立方①晶胞中原子数目计算：8×1/8=1。②空间利用率计算：设球的半径为r，则正方体的边长为2r。原子的总体积为4πr3/3。正方体的体积为8r3。空间利用率为(4πr3/3)/(8r3)=π/6=52.36%(2)金属晶体的体心立方①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋1=2。②空间利用率计算：在体心立方中，设为球半径为r，则正方体的体对角线为4r。又因为正方体的体对角线是边长的√3倍，则边长为4r/√3。原子的总体积为2×4πr3/3，正方体的体积为64r3/3√3。空间利用率为(2×4πr3/3)/(64r3/3√3)=π√3/8=68.02%(3)金属晶体的六方堆积左图的粉色区域代表一个晶胞由于1个正六棱柱相当于3个晶胞，所以用六棱柱的1/3进行计算。①正六棱柱中原子数目计算：12×1/6＋2×1/2＋3=6。则晶胞中的原子数目为6×1/3=2。②空间利用率计算：设球的半径为r，则面上正六边形的边长为2r。正六棱柱的高的计算：正六棱柱的高为两个边长为2r的正四面体的高。边长2r的正四面体的体高为2√6r/3，则正六棱柱的高为4√6r/3。正六边形的面积为6×√3r2=6√3r2。正六棱柱的体积为(6√3r2)×(4√6r/3)=24√2r3。晶胞体积为正六棱柱的1/3，为8√2r3。原子的总体积为2×4πr3/3=8πr3/3。空间利用率为(8πr3/3)/(8√2r3)=π/3√2=74.05%(4)金刚石原子晶体的结构①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2＋4=8②空间利用率计算：根据两个C之间紧密相邻，若C的原子半径为r，则C－C为2r。大立方体切8个小立方体，其中一个如右图。中间球位于小立方体的中心。小立方体的体对角线为4r(自己思考一下)，则小立方体的边长为4r/√3。求得大立方体的边长为8r/√3，体积为512r3/3√3。大立方体内的碳原子数为8，碳原子的总体积为8×4πr3/3=32πr3/3。所以空间利用率为(32πr3/3)/(512r3/3√3)=π√3/16=34.01%第三部分：典型例题剖析高频考点1晶胞参数与晶体密度间的互算例1.(2023·辽宁辽阳·二模）在普通铝中加入少量和后，形成一种称为拉维斯相的(结构如图)微小晶粒，其分散在中可使得铝材的硬度增加、延展性减小，形成所谓“坚铝”，“坚铝”是制造飞机的主要材料。已知：该结构中以金刚石方式堆积，八面体空隙和半数的四面体空隙中填入以四面体方式排列的。则晶体结构中镁原子之间的最短距离为A． B． C． D．【名师点睛】计算晶体的密度关键在于计算晶胞的体积和晶胞中的粒子数。【变式训练】(2023·辽宁·二模）具有型晶体结构，其晶胞如图所示，晶胞边长为，为下列说法正确的是A．熔点：B．位于构成的八面体空隙中C．距离最近的有8个D．阿伏加德罗常数数值为，则晶胞密度为高频考点2原子空间利用率的计算例2.(2023·湖北·华中师大一附中模拟预测）金刚石和C60都是由碳元素组成的重要单质，金刚石和C60分子及它们的晶胞如图所示(已知≈1.732、π≈3.14)：下列说法正确的是A．每个金刚石晶胞中含有4个碳原子B．每个C60分子含有90个σ键C．金刚石和C60晶胞中微粒间的作用力均只有共价键D．每个金刚石晶胞原子的空间利用率为74.05%【名师点睛】解答原子空间利用率的计算问题要掌握以下四方面知识：①四种堆积的切割模型；②晶胞参数（边长）与金属原子半径的关系；③六方最密堆积晶胞所含原子数及晶胞体积；④空间利用率计算方法；【变式训练】(2023·全国·高三专题练习）有四种不同堆积方式的金属晶体的晶胞如图所示(原子半径为rcm)，下列叙述错误的是A．晶胞中原子的配位数分别为：①6，②8，③12，④12B．晶胞①的空间利用率：C．晶胞中含有的原子数分别为：③2，④4，D．金属晶体是一种“巨分子”，可能存在分子间作用力高频考点3晶胞中原子坐标的确定例3.(2023·辽宁·二模）锗(Ge)是典型的半导体元素，在电子、材料等领域应用广泛。Ge与碳是同族元素，碳原子之间可以形成双键、三键，但Ge原子之间难以形成双键或三键。Ge单晶的晶胞结构类似于金刚石，如图。(=1.732，π=3.14)(注：晶胞中所有的球是等径硬球，且A球和D球相切)下列说法错误的是A．原子坐标参数表示晶胞内部各原子的相对位置，其中原子坐标参数A为(0，0，0)，则C(，，0)，D()，B(，0，)B．碳原子之间可以形成双键、三键，但Ge原子之间不能形成的原因是Ge原子的半径大，原子间形成的σ单键长，p-p轨道肩并肩的重叠程度小C．若Ge原子半径为r，Ge单晶晶胞边长为a，Ge原子在晶胞中的空间占有率为34%(一个晶胞中构成晶体粒子在整个晶体空间中所占的体积百分比)D．两个最近的Ge原子之间的距离为(Ge单晶晶胞边长为a)【名师点拨】原子分数坐标的确定方法(1)依据已知原子的坐标确定坐标系取向。(2)一般以坐标轴所在正方体的棱长为1个单位。(3)从原子所在位置分别向x、y、z轴作垂线，所得坐标轴上的截距即为该原子的分数坐标。【变式训练】(2023·湖南·高三开学考试）氯化亚铜(CuCl)广泛应用于冶金工业，也用作催化剂和杀菌剂。CuCl的晶胞如图1所示，图2为晶胞沿y轴的投影1∶1平面图，注：apm表示两个原子在投影平面上的核间距离，而非实际距离。下列说法不正确的是A．CuCl晶胞中Cl原子的配位数为4B．晶胞中最近的两个Cu原子之间的距离为2aC．图中b位置原子的坐标参数为(，，)，则d位置原子的坐标参数为(，，)D．CuCl的熔点为426℃，熔化时几乎不导电；CuF的熔点为908℃，密度为7.1g•cm-3，CuF比CuCl熔点高的原因是CuF的稳定性比CuCl强专题讲座（十二）晶胞参数、坐标参数的分析与应用目录第一部分：网络构建（总览全局）第二部分：知识点精准记忆第三部分：典型例题剖析高频考点1晶胞参数与晶体密度间的互算高频考点2原子空间利用率的计算高频考点3晶胞中原子坐标的确定正文第一部分：网络构建（总览全局）第二部分：知识点精准记忆【知识梳理】知识点一、常见晶体结构分析1．常见原子晶体结构分析晶体晶体结构结构分析金刚石(1)每个C与相邻4个C以共价键结合，形成正四面体结构(2)键角均为109°28′(3)最小碳环由6个C组成且6个C不在同一平面内(4)每个C参与4个C—C键的形成，C原子数与C—C键数之比为1∶2(5)密度＝eq\f(8×12g·mol－1,NA×a3)(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)SiO2(1)每个Si与4个O以共价键结合，形成正四面体结构(2)每个正四面体占有1个Si,4个“eq\f(1,2)O”，因此二氧化硅晶体中Si与O的个数比为1∶2(3)最小环上有12个原子，即6个O,6个Si(4)密度＝eq\f(8×60g·mol－1,NA×a3)(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)SiC、BP、AlN(1)每个原子与另外4个不同种类的原子形成正四面体结构(2)密度：ρ(SiC)＝eq\f(4×40g·mol－1,NA×a3)；ρ(BP)＝eq\f(4×42g·mol－1,NA×a3)；ρ(AlN)＝eq\f(4×41g·mol－1,NA×a3)(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)2.常见分子晶体结构分析晶体晶体结构结构分析干冰(1)每8个CO2构成1个立方体且在6个面的面心又各有1个CO2(2)每个CO2分子周围紧邻的CO2分子有12个(3)密度＝eq\f(4×44g·mol－1,NA×a3)(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)白磷(1)面心立方最密堆积(2)密度＝eq\f(4×124g·mol－1,NA×a3)(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)3．常见金属晶体结构分析(1)金属晶体的四种堆积模型分析堆积模型简单立方堆积体心立方堆积六方最密堆积面心立方最密堆积晶胞配位数681212原子半径(r)和晶胞边长(a)的关系2r＝a2r＝eq\f(\r(3)a,2)2r＝eq\f(\r(2)a,2)一个晶胞内原子数目1224原子空间利用率52%68%74%74%(2)金属晶胞中原子空间利用率计算空间利用率＝eq\f(球体积,晶胞体积)×100%，球体积为金属原子的总体积。①简单立方堆积如图所示，原子的半径为r，立方体的棱长为2r，则V球＝eq\f(4,3)πr3，V晶胞＝(2r)3＝8r3，空间利用率＝eq\f(V球,V晶胞)×100%＝eq\f(\f(4,3)πr3,8r3)×100%≈52%。②体心立方堆积如图所示，原子的半径为r，体对角线c为4r，面对角线b为eq\r(2)a，由(4r)2＝a2＋b2得a＝eq\f(4,\r(3))r。1个晶胞中有2个原子，故空间利用率＝eq\f(V球,V晶胞)×100%＝eq\f(2×\f(4,3)πr3,a3)×100%＝eq\f(2×\f(4,3)πr3,\f(4,\r(3))r3)×100%≈68%。③六方最密堆积如图所示，原子的半径为r，底面为菱形(棱长为2r，其中一个角为60°)，则底面面积S＝2r×eq\r(3)r＝2eq\r(3)r2，h＝eq\f(2\r(6),3)r，V晶胞＝S×2h＝2eq\r(3)r2×2×eq\f(2\r(6),3)r＝8eq\r(2)r3,1个晶胞中有2个原子，则空间利用率＝eq\f(V球,V晶胞)×100%＝eq\f(2×\f(4,3)πr3,8\r(2)r3)×100%≈74%。④面心立方最密堆积如图所示，原子的半径为r，面对角线为4r，a＝2eq\r(2)r，V晶胞＝a3＝(2eq\r(2)r)3＝16eq\r(2)r3,1个晶胞中有4个原子，则空间利用率＝eq\f(V球,V晶胞)×100%＝eq\f(4×\f(4,3)πr3,16\r(2)r3)×100%≈74%。(3)晶体微粒与M、ρ之间的关系若1个晶胞中含有x个微粒，则1mol该晶胞中含有xmol微粒，其质量为xMg(M为微粒的相对分子质量)；若该晶胞的质量为ρa3g(a3为晶胞的体积)，则1mol晶胞的质量为ρa3NAg，因此有xM＝ρa3NA。4．常见离子晶体结构分析NaCl型CsCl型ZnS型CaF2型晶胞配位数及影响因素配位数684F－：4；Ca2＋：8影响因素阳离子与阴离子的半径比值越大，配位数越多，另外配位数还与阴、阳离子的电荷比有关等密度的计算(a为晶胞边长，NA为阿伏加德罗常数)eq\f(4×58.5g·mol－1,NA×a3)eq\f(168.5g·mol－1,NA×a3)eq\f(4×97g·mol－1,NA×a3)eq\f(4×78g·mol－1,NA×a3)知识点二、原子分数坐标参数1．概念原子分数坐标参数，表示晶胞内部各原子的相对位置。2．原子分数坐标的确定方法(1)依据已知原子的坐标确定坐标系取向。(2)一般以坐标轴所在正方体的棱长为1个单位。(3)从原子所在位置分别向x、y、z轴作垂线，所得坐标轴上的截距即为该原子的分数坐标。3.金刚石晶胞中碳原子坐标的确定以金刚石晶胞结构为例，金刚石晶体整体上是正四面体立体网状结构。每个碳原子L能层的4个电子采用sp3杂化，形成4个等同的杂化轨道，相邻的两个碳原子之间形成σ键。这样每个碳原子与周围4个碳原子形成4个σ键，每个碳原子都是直接相连的4个碳原子的重心。在一个金刚石晶胞中有8个碳原子位于立方体的顶点，6个碳原子位于面心，4个碳原子位于晶胞内部。每个晶胞中8个顶点中有4个顶点、6个面心和4个晶胞内部的碳原子形成4个正四面体，每个正四面体的4个顶点分别是一个晶胞顶点和这个顶点所在平面的面心，正四面体中心是晶胞内的1个碳原子。用解析几何知识研究晶体中各个微粒间的位置关系更具体更直接。以底面一个顶点的碳原子(通常取后左下)为原点建立一个三维坐标系。原点上的原子坐标为(0，0，0)，晶胞边长参数看作1，并据此分析坐标参数。在晶胞进行“无隙并置”时，可以看出，8个顶点的原子都可以作为原点，注意看清楚，与这个原点原子重合的是晶胞上哪一个顶点的碳原子。所以顶点上的8个原子坐标都是(0，0，0)，这与纯粹立体几何不同，所以高中阶段我们只标注顶点以外的晶胞内和晶胞上点的坐标；棱心和面心坐标点中数据中不会出现“1”。以下是晶胞中各点碳原子对应的三维坐标和晶体中坐标的对应关系。(1)6个面心坐标上面心下面心左面心右面心前面心后面心三维坐标晶体中坐标(2)12个棱中心坐标上面四条棱三维坐标晶体中坐标下面四条棱三维坐标晶体中坐标垂直底面四条棱三维坐标晶体中坐标(3)晶胞内部4个碳原子的坐标金刚石晶胞有两种取向，由于金刚石晶胞内部有4个碳原子，在空间分布是不对称的，所以从不同方向观察晶胞时，内部的4个碳原子的位置是不相同的。我们把左边的图叫作取向1，右边的图叫作取向2它们各自绕竖直中心轴旋转90°，就能够变为对方。金刚石晶胞内4个碳原子坐标：取向1：取向2：所以金刚石晶胞的取向不同时，晶胞内部不对称的4个原子的坐标会发生改变。4.常见晶胞的原子坐标1）金刚石晶胞的原子坐标（1）取向一：金刚石晶胞中碳原子的坐标：8个顶点碳原子的坐标：0，0，0；6个面中心碳原子的坐标：1/2，0，1/2；1/2，1/2，0；0，1/2，1/2；4个内部碳原子的坐标：1/4，1/4，3/4；3/4，1/4，1/4；3/4，3/4，3/4；1/4，3/4，1/4；（2）取向二：金刚石晶胞中碳原子的坐标：8个顶点碳原子的坐标：0，0，0；6个面中心碳原子的坐标：1/2，0，1/2；1/2，1/2，0；0，1/2，1/2；4个内部碳原子的坐标：1/4，1/4，1/4；3/4，3/4，1/4；3/4，1/4，3/4；1/4，3/4，3/4；注：金刚石晶胞的取向不同时，即使都是取前左下的顶点原子作原点，晶胞内部不对称的4个碳原子的坐标，也会发生改变。2）氟化钙晶体：每个CaF2晶胞有4个Ca2＋和8个F－原子分数坐标如下：Ca2＋：0，0，01/2，1/2，01/2，0，1/20，1/2，1/2F－：1/4，1/4，1/43/4，1/4，1/41/4，3/4，1/41/4，1/4，3/43/4，3/4，1/43/4，1/4，3/41/4，3/4，3/43/4，3/4，3/43）氯化钠晶胞：每个晶胞含有4个Cl－和4个Na＋，它们的原子分数坐标为：Na＋：1/2，1/2，1/21/2，0，00，1/2，00，0，1/2Cl－：0，0，01/2，1/2，00，1/2，1/21/2，0，1/2注：碱金属的卤化物、氢化物，碱土金属的氧化物、硫化物、硒化物、碲化物，过渡金属的氧化物、硫化物，以及间隙型碳化物、氮化物都属NaCl型结构。知识点三、宏观晶体密度与微观晶胞参数的关系1.密度的计算式：2.计算类型晶体的密度有两种计算形式，一种是知道晶胞边长和晶胞结构进行的计算，一种是知道原子或离子半径和晶胞结构进行的计算。1）知道晶胞边长和晶胞结构进行的计算若晶胞为正方体，边长为a

pm，含有b个分子，分子的相对分子质量为M，则密度的计算过程为(别记结论，学会计算过程)晶胞的体积为：(a×10－12m)3=a3×10－36m3晶胞中分子的总质量为：m=nM=(b/NA)M=

bM/6.02×1023gρ=M/V=(bM/6.02×1023g)/(a3×10－36m3)=(bM×1013)/(6.02×a3)g/m3(1)CO2分子晶体的密度计算：已知CO2分子晶体的结构如下图(面心立方)，晶胞边长为572pm(计算数据)。①晶胞中的分子数目计算：8×1/8＋6×1/2=4一个晶胞中有4个CO2。②晶体密度计算：m=nM=[4/(6.02×1023/mol)]×44g/mol=2.9236×10－22gV=(572×10－12)3m3=1.8715×10－28m3ρ=m/V=2.9236×10－22g/1.8715×10－28m3=1.562×106g/m3=1.562g/cm3。(2)Po(钋)，相对原子质量为209，晶胞边长为336pm。①晶胞中原子数目计算：8×1/8=1。②密度计算：m=nM=[1/(6.02×1023/mol)]×209g/mol=3.472×10－22gV=(336×10－12)3m3=3.7933×10－29m3ρ=m/V=3.472×10－22g/3.7933×10－29m3=9.153×106g/m3=9.153g/cm32）知道原子或离子半径和晶胞结构进行的计算先用原子或离子的半径计算出晶胞的边长，然后再进行密度计算。(1)Na的体心立方Na的原子半径r=186pm。①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋1=2。②密度计算：先计算晶胞的边长a：根据体对角线=√3a=4r，边长a=4r/√3=4×186pm/√3=429.56pm。m=nM=[2/(6.02×1023/mol)]×23g/mol=7.6412×10－23gV=(429.56×10－12)3m3=7.9263×10－29m3ρ=m/V=7.6412×10－23g/7.9263×10－29m3=9.64×105g/m3=0.964g/cm3(2)Zn的六方堆积：Zn的范德华半径为139pm。①正六棱柱中原子数目计算：12×1/6＋2×1/2＋3=6②密度计算：六方最密堆积不是正方体晶胞，不能用正方体的公式计算。用上面的正六棱柱计算，正六棱柱的边长为278pm。若边长为r，体积为24√2r3。(计算式见空间利用率计算的(3))V=24√2r3=24√2×(139×10－12m)3=9.1153×10－29m3m=nM=[6/(6.02×1023/mol)]×65.38g/mol=6.5163×10－22gρ=m/V=6.5163×10－22g/9.1153×10－29m3=7.15×106g/m3=7.15g/cm3(3)金刚石原子晶体的结构①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2＋4=8②密度计算：以金刚石结构为例，C的共价半径为77pm。大立方体的边长为8r/√3，即355.65pm。(计算式见空间利用率计算的(4))m=nM=[8/(6.02×1023/mol)]×12g/mol=1.5947×10－22gV=(355.65×10－12)3m3=4.4985×10－29m3ρ=m/V=1.5947×10－22g/4.4985×10－29m3=3.545×106g/m3=3.545g/cm3(4)离子晶体的密度计算：①NaCl：Na＋的离子半径为95pm，Cl－的离子半径为181pm晶胞边长的计算：2r(Na＋)＋2r(Cl－)=552pm。其中含Na＋4个，Cl－4个。m=nM=[4/(6.02×1023/mol)]×23g/mol＋[4/(6.02×1023/mol)]×35.45g/mol=3.8837×10－22gV=(552×10－12)3m3=1.682×10－28m3ρ=m/V=3.8837×10－22g/1.682×10－28m3=2.309×106g/m3=2.309g/cm3②CsCl：Cs＋的离子半径为169pm，Cl－的离子半径为181pm。晶胞边长的计算：[2r(Cs＋)＋2r(Cl－)]/√3=404.15pm。其中含Cs＋1个，Cl－1个。m=nM=[1/(6.02×1023/mol)]×132.9g/mol＋[1/(6.02×1023/mol)]×35.45g/mol=2.7965×10－22gV=(404.15×10－12)3m3=6.6013×10－29m3ρ=m/V=2.7965×10－22g/6.6013×10－29m3=4.236×106g/m3=4.236g/cm3③CaF2：Ca2＋的离子半径为99pm，F－的离子半径为136pm。右侧为晶胞的八分之一晶胞边长计算为2{[2r(Ca2＋)＋2r(F－)]/√3}=542.71pm。其中含Ca2＋4个，F－8个，则密度为M=nm=[4/(6.02×1023/mol)]×40g/mol＋[8/(6.02×1023/mol)]×19g/mol=5.1827×10－22gV=(542.71×10－12)3m3=1.5985×10－28m3ρ=m/V=5.1827×10－22g/1.5985×10－28m3=3.242×106g/m3=3.242g/cm3知能点四晶体中堆积方式不同的棱长与原子半径的关系1.面心立方最密堆积，金属原子之间的距离为面对角线的一半，r为金属原子的直径。如果边长为acm，半径r=（／4）acm,2.体心立方最密堆积，金属原子之间的距离为体心对角线的一半，为金属原子的直径。如果边长为acm，则半径r=（／4）acm3.六方最密堆积4.简单立方堆积立方体的边长为acm,则r=a／2cm。5.金刚石

图中原子均为碳原子，这种表示为更直观。如边长为acm,碳原子的半径为（／8）acm。知识点五空间利用率的计算1、空间利用率的计算式若原子的半径为R，晶胞中原子有n个，立方晶胞的边长为a：单个原子的体积为4πr3/3，立方晶胞的体积为a3。则空间利用率为2、各种晶胞的空间利用率计算(1)金属晶体的简单立方①晶胞中原子数目计算：8×1/8=1。②空间利用率计算：设球的半径为r，则正方体的边长为2r。原子的总体积为4πr3/3。正方体的体积为8r3。空间利用率为(4πr3/3)/(8r3)=π/6=52.36%(2)金属晶体的体心立方①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋1=2。②空间利用率计算：在体心立方中，设为球半径为r，则正方体的体对角线为4r。又因为正方体的体对角线是边长的√3倍，则边长为4r/√3。原子的总体积为2×4πr3/3，正方体的体积为64r3/3√3。空间利用率为(2×4πr3/3)/(64r3/3√3)=π√3/8=68.02%(3)金属晶体的六方堆积左图的粉色区域代表一个晶胞由于1个正六棱柱相当于3个晶胞，所以用六棱柱的1/3进行计算。①正六棱柱中原子数目计算：12×1/6＋2×1/2＋3=6。则晶胞中的原子数目为6×1/3=2。②空间利用率计算：设球的半径为r，则面上正六边形的边长为2r。正六棱柱的高的计算：正六棱柱的高为两个边长为2r的正四面体的高。边长2r的正四面体的体高为2√6r/3，则正六棱柱的高为4√6r/3。正六边形的面积为6×√3r2=6√3r2。正六棱柱的体积为(6√3r2)×(4√6r/3)=24√2r3。晶胞体积为正六棱柱的1/3，为8√2r3。原子的总体积为2×4πr3/3=8πr3/3。空间利用率为(8πr3/3)/(8√2r3)=π/3√2=74.05%(4)金刚石原子晶体的结构①晶胞中的原子数目计算：8×1/8＋6×1/2＋4=8②空间利用率计算：根据两个C之间紧密相邻，若C的原子半径为r，则C－C为2r。大立方体切8个小立方体，其中一个如右图。中间球位于小立方体的中心。小立方体的体对角线为4r(自己思考一下)，则小立方体的边长为4r/√3。求得大立方体的边长为8r/√3，体积为512r3/3√3。大立方体内的碳原子数为8，碳原子的总体积为8×4πr3/3=32πr3/3。所以空间利用率为(32πr3/3)/(512r3/3√3)=π√3/16=34.01%第三部分：典型例题剖析高频考点1晶胞参数与晶体密度间的互算例1.(2023·辽宁辽阳·二模）在普通铝中加入少量和后，形成一种称为拉维斯相的(结构如图)微小晶粒，其分散在中可使得铝材的硬度增加、延展性减小，形成所谓“坚铝”，“坚铝”是制造飞机的主要材料。已知：该结构中以金刚石方式堆积，八面体空隙和半数的四面体空隙中填入以四面体方式排列的。则晶体结构中镁原子之间的最短距离为A． B． C． D．【解析】根据晶胞结构可知Mg原子之间的最短距离为体对角线的，由于棱长为apm，则体对角线是，则Mg原子之间的最短距离为，故B正确；故选B。【答案】B【名师点睛】计算晶体的密度关键在于计算晶胞的体积和晶胞中的粒子数。【变式训练】(2023·辽宁·二模）具有型晶体结构，其晶胞如图所示，晶胞边长为，为下列说法正确的是A．熔点：B．位于构成的八面体空隙中C．距离最近的有8个D．阿伏加德罗常数数值为，则晶胞密度为【解析】A．MgO和CaO均是离子晶体，离子所带电荷数相等，Mg2+半径比Ca2+小，MgO的晶格能更大，熔点：，A错误；B．由图可知，Mg2+位于晶胞的体心，O2-位于面心，位于六个构成的八面体空隙中，B正确；C．以顶点为例，距离最近的位于晶胞的面心，共有个，C错误；D．该晶胞含有个数，含有个数，晶胞质量为，晶胞边长为则其体积是，则晶胞密度为=，D错误；故选B。【答案】B高频考点2原子空间利用率的计算例2.(2023·湖北·华中师大一附中模拟预测）金刚石和C60都是由碳元素组成的重要单质，金刚石和C60分子及它们的晶胞如图所示(已知≈1.732、π≈3.14)：下列说法正确的是A．每个金刚石晶胞中含有4个碳原子B．每个C60分子含有90个σ键C．金刚石和C60晶胞中微粒间的作用力均只有共价键D．每个金刚石晶胞原子的空间利用率为74.05%【解析】A．根据均摊原则，每个金刚