复数的三角表示教案 高一下学期数学湘教版（2019）必修第二册

《复数的三角表示》教案课题3.3复数的三角表示单元第三单元学科数学年级高一教学目标与核心素养1.数学抽象：了解复数的三角表示；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.3.数学建模：掌握复数的相关知识，为复数的学习打好基础的同时，也能学习利用复数解决实际问题。4.直观想象：了解复数的旋转任意角以及复数的三角表示方法；5.数学运算:能够正确表示复数的三角形式；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。重点难点重点：i2=−1难点：i2教学过程教学环节教师活动新课导入情境导入：上节课我们学习了复数的几何表示，那复数可以用三角表示吗？新知探究新知探究（一）：i2如图，设平面向量OP=(x,y)对应复数z=x+yi，则OQ=(-x,-y)对应复数-z=(-1)z。由于OQ=-OP=(-1)OP，因此OQ可由OP绕起点O逆时针旋转180°得到。于是，由(-1)z=-z可知，-1乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP绕起点旋转180°变成OQ。按照这样的思路，将z连乘两个-1得到(-1)2z，就是将OP连续旋转两个180°，也就是旋转360°，仍得到OP自己。这就是说(-1)2OP=OP，(-1)2z=z，(-1)2=1.既然用(-1)2乘复数z的几何意义是将复数z对应的向量OP旋转连个180°，很自然会猜测：用-1的一个平方根i乘z的几何意义应该是将OP旋转半个180°，也就是旋转90°，得到的向量OP与复数iz对应。下面我们来验证上述猜测是否正确：由于每个虚数z=x+yi(x,y∈R,y≠0)可以分解为实数x与纯虚数yi之和，因而我们先来讨论实数或纯虚数乘i的几何意义。练一练将正实数a连续4次乘i得到ai,-a,-ai,a,并将这些数用复平面上的点B、C、D、A表示。观察这些点的相互位置，你发现了什么？解：由于ai,-a,-ai,a的模都等于a，且它们在复平面上对应的向量OA,OB,OC,OD的模都等于a，方向分别为x轴正方向、y轴正方向、x轴负方向、y轴负方向，如图，将OA依次旋转90°，旋转4次，则依次得到OB、OC、OD、OA。于是，可发现向量每旋转90°，其所对应的复数就相应乘i。如图，设复平面上的点P表示复数z=a+bi，将点P绕原点O旋转90°得到的点P´表示哪一个复数？解：设向量OA、OB分别表示a、bi，由z=将矩形OAPB绕原点O旋转90°，则OA、OB分别变为OA´、OB´，矩形OAPB变成OA´PB´。于是OA´、OB´所对应的复数应分别由OA、OB所对应的复数乘i得到，即OA´对应的复数为i∙a=ai.OB´对应的复数为i(bi)=-b.因此，矩形OA´PB´的对角线表示的向量OP´=OA´+OB´所对应的复数为ai-b=-b+ai,即点P´表示复数-b+ai.由此可得：虚数单位i乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转90°.新知探究（二）：旋转任意角前面已经知道，把复数z对应的向量OP分别旋转90°和180°，相当于将复数z分别乘复数i和一1，如果要将向量OP旋转任意角度，又是用哪个复数乘z呢?当OP=0时，OP对应的复数是0，无论乘哪个复数仍是0。因而以下只考虑OP≠0的情形。如图，把复数z对应的向量OP旋转角α得到OP´，把OP旋转90°得到OQ，则由平面向量基本定理可知，OP´可写成OP，OQ方向上的单位向量e1，e2的实数倍之和，即OP´=ae1设r=|OP|，则|OP´|=|OQ|=r,OP=re1,OQ=re所以cosα=ar,sinα=即a=rcosα,b=rsinα.于是OP´=(rcosα)e1+(rsinα)=cosα·OP+sinα·OQ所以OP´对应的复数为cosα·z+sinα·iz,可看作是由cosα+isinα由此可得：用cosα+isinα乘任意复数z的几何意义是：将复数z对应的平面向量旋转角α.新知探究（三）：复数的三角表示如图，将任意复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内用对应的向量OP表示出来，则|OP|=r=a2我们将以x轴的正半轴为始边，以OP为终边的角θ,称为复数z=a+bi的辐角，记作argz=θ,如图。从图中可以看出，a=rcosθ所以a+bi=rcosθ+irsinθ=r(cosθ+isinθ)其中r=a2+b2，cosθ=ar，我们将r(cosθ+isinθ)称为复数a+bi的三角形式。如果z=0，则|z|=0，辐角θ可以取任意值，对每个值仍有z=r(cosθ+isinθ)。因此，两个复数z1=|z1|(cosθ1+isinθ1)，z2=|z2|z1|=|z2|=0，或|z1|=|z2|>0且θ2=新知探究（四）：复数三角形式的运算复数z1=r1(cosθ1+isinθ1)，z2=r2

(cosz1·z2上式表明，两个复数乘积的模等于它们模的乘积，乘积的辐角等于它们的辐角之和。复数z1=r1

(cosθ1+isinθ1)，z2=r2

(cosθ2+z上式表明，两个复数相除（除数不为0），商的模等于它们模的商，商的辐角等于它们的辐角之差。典型例题典型例题1、计算：4(cos解：原式=4(cos=2=2=2(0+i)=2i2、求(解：先将z=3+i化为三角形式，得z=2(cos原式=2=2100(cos=299(3、把下列复数的代数形式化成三角形式：（1）3+i（2）i.解：（1）因为r=3+1=2,所以cosθ=32又3+i因而θ=π6所以3+i=2(cosπ6+isin（2）因为r=1,而θ=π2所以i=cosπ2+isinπ拓展提高解方程x3解：设x=r(cosθ+isinθ)，r>0，则x3=r3

(cos3θ+isin3θ)=1=cos2k↔r3=1且3θ↔r=1且θ=2kπ3(由于正弦、余弦函数的周期均是2π，为避免复数根重复，θ只在[0，2π)范围内取值，于是k取0