4卷积积分及其性质

§2.3卷积积分

信号的时域分解与卷积积分

卷积的图解法第一页，共三十页。2.3卷积积分2.3卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1.信号的时域分解(1)预备知识问

f1(t)=?

p(t)直观看出第二页，共三十页。2.3卷积积分(2)任意信号分解“0”号脉冲高度f(0),宽度为△，用p(t)表示为：f(0)△p(t)“1”号脉冲高度f(△),宽度为△，用p(t-△)表示为：

f(△)△p(t-△)“-1”号脉冲高度f(-△)、宽度为△，用p(t+△)表示为：f(-△)△p(t+△)第三页，共三十页。2.3卷积积分2.任意信号作用下的零状态响应yzs(t)f(t)根据h(t)的定义：δ(t)

h(t)由时不变性：δ(t

-τ)h(t-τ)f(τ)δ(t

-τ)由齐次性：f(τ)h(t-τ)由叠加性：‖f(t)‖yzs(t)卷积积分第四页，共三十页。2.3卷积积分3.卷积积分的定义已知定义在区间（–∞，∞）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为

f(t)=f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量τ下进行的，τ为积分变量，t为参变量。结果仍为t的函数。第五页，共三十页。2.3卷积积分例：f(t)=et,（-∞<t<∞)，h(t)=(6e-2t–1)ε(t)，求yzs(t)。解：采用定义法卷积。当t<τ，即τ>t时，ε(t-τ)=0第六页，共三十页。2.3卷积积分用定义法计算卷积积分步骤：（1）换元：f1(t)

→f1(τ)，f2(t)→f2(t－τ)（2）视情况变积分限：

f1(τ)f2(t-τ)中是否含有ε(τ

)

或ε

(t－τ)，如果有ε(τ

)

，则将积分下限换为0，如果有ε

(t－τ)，则将积分上限换为t(注意：t为参变量，τ为自变量)。（3）积分：与普通函数积分一致。第七页，共三十页。2.3卷积积分二、卷积的图解法（1）换元：t换为τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反转平移：由f2(τ)反转→f2(–τ)，然后右移t→f2(t-τ)（3）乘积：f1(τ)f2(t-τ)（4）积分：τ从–∞到∞对乘积项积分。

注意：t为参变量。用图解法计算卷积积分步骤：第八页，共三十页。2.3卷积积分例：f(t),h(t)

如图，求yzs(t)=f(t)*h(t)。解：采用图解法卷积。h(t-τ)h(τ)反折h(-τ)平移t①t<0时,h(t-τ)向左移h(t-τ)f(τ)=0，故

yzs(t)=0②0≤t≤1

时,h(t-τ)向右移③1≤t≤2时⑤3≤t时h(t-τ)f(τ)=0，故

yzs(t)=0f(t)函数形式复杂换元为f(τ)。

h(t)换元h(τ)④2≤t≤3

时0h(t－τ)h(－τ)f(τ)h(t－τ)第九页，共三十页。2.3卷积积分图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。例：f1(t)、f2(t)如图所示，已知f(t)=f2(t)*f1(t)，求f(2)=？f1(-τ)f1(2-τ)解：（1）换元（2）f1(τ)得f1(–τ)（3）f1(–τ)右移2得f1(2–τ)（4）f1(2–τ)乘f2(τ)（5）积分，得f(2)=0（面积为0）第十页，共三十页。§2.4卷积积分的性质

卷积代数运算与冲激函数或阶跃函数的卷积微分积分性质卷积的时移特性

卷积积分是一种数学运算，它有许多重要的性质（或运算规则），灵活地运用它们能简化卷积运算。第十一页，共三十页。2.4卷积积分的性质下面讨论均设卷积积分是收敛的（或存在的）。一、卷积代数满足乘法的三律：交换律：2.分配律：系统并联运算结合律：系统级联运算证明：第十二页，共三十页。系统并联系统并联，框图表示：

结论：子系统并联时，总系统的冲激响应等于各子系统冲激响应之和。2.4卷积积分的性质第十三页，共三十页。系统级联系统级联，框图表示：

结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。

2.4卷积积分的性质第十四页，共三十页。2.4卷积积分的性质二、函数与冲激函数的卷积1.f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t)=f(t)证：f(t)*δ(t–t0)=f(t–t0)2.f(t)*δ’(t)=f’(t)证：f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)第十五页，共三十页。3.f(t)*ε(t)ε(t)*ε(t)=？2.4卷积积分的性质注意区分：tε(t)特例：第十六页，共三十页。2.4卷积积分的性质三、卷积的微积分性质1.证：上式=δ(n)(t)*[f1(t)*f2(t)]=[δ(n)(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(n)(t)*f2(t)2.证：上式=ε(t)*[f1(t)*f2(t)]=[ε(t)*f1(t)]*f2(t)=f1(–1)(t)*f2(t)3.在f1(–∞)=0和f2

(–∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)第十七页，共三十页。2.4卷积积分的性质例1：f1(t)=1，f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)

解：通常复杂函数放前面，代入定义式得

f2(t)*f1(t)=

注意：套用f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)=0*f2(–1)(t)=0显然是错误的。例2：f1(t)如图,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)解法一：f1(t)*f2(t)=f1’(t)*f2(–1)(t)f1’(t)=δ

(t)–δ

(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)第十八页，共三十页。例2:图(a)系统由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应如图(b)所示。求复合系统的冲激响应，并画出它的波形。(a)(b)解：如图（c）所示

(c)第十九页，共三十页。2.4卷积积分的性质解：f1(t)=ε

(t)–ε

(t–2)f1(t)*f2(t)=ε

(t)*f2(t)–ε

(t–2)*f2(t)

ε

(t)*f2(t)=f2(-1)(t)四、卷积的时移特性若f(t)=f1(t)*f2(t)，则f1(t–t1)*f2(t–t2)=f1(t–t1–t2)*f2(t)=f1(t)*f2(t–t1–t2)=f(t–t1–t2)前例：f1(t)如图,f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t)利用时移特性，有ε

(t–2)*f2(t)=f2(-1)(t–2)f1(t)*f2(t)=(1-e–t)ε(t)–[1-e–(t-2)]ε(t-2)第二十页，共三十页。2.4卷积积分的性质例：f1(t),f2(t)如图，求f1(t)*f2(t)解：f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)*f2(t)=2

ε

(t)*ε

(t+1)–2

ε

(t)*ε

(t–1)–2ε

(t–1)*ε

(t+1)+2ε

(t–1)*ε

(t–1)由于ε

(t)*ε

(t)=tε

(t)据时移特性，有f1(t)*f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)-2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)+2(t–2)ε

(t–2)第二十一页，共三十页。2.4卷积积分的性质求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。第二十二页，共三十页。

相关函数是研究一个函数和另一个函数经过一个延时τ后的相似程度，它被广泛应用于雷达回波的识别、通信同步信号的识别等领域，是鉴别信号的有力工具。相关是一种与卷积类似的运算。与卷积不同的是没有一个函数的反转。

相关函数的定义相关与卷积的关系相关函数的图解五、相关函数2.4卷积积分的性质第二十三页，共三十页。1.实能量有限信号相关函数的定义两个实能量有限函数f1(t)和f2(t)的互相关函数定义为

由上式可得，R12(τ)=R21(–τ)。（2）自相关函数：显然，R(-τ)=R(τ)

，R(τ)为偶函数。2.4卷积积分的性质在上式中若f1(t)=f2(t)=f(t)，得自相关函数（1）互相关函数：第二十四页，共三十页。2.相关与卷积的关系可见，R12(t)=f1(t)*f2(–t)，同理，R21(t)=f1(–t)*f2(t)。特别地，若f1(t)和f2(t)均为实偶函数，则卷积与相关完全相同。2.4卷积积分的性质第二十五页，共三十页。PPT内容概述§2.3卷积积分。§2.3卷积积分。2.3卷积积分。2.3卷积积分。f(△)△p(t-△)。f(-△)△p(t+△)。h(t-τ)。①t<0时,h(t-τ)向左移。②0≤t