课时2 数列中的递推公式与性质 - 副本

.1课时2数列中的递推公式与性质【学习目标】1.理解递推公式的含义,能根据递推公式求出数列的前几项.(数学运算)2.理解数列的单调性,会判断数列的单调性,会求简单数列的最大项.(逻辑推理、直观想象)3.会利用数列的周期性解决简单的问题.(逻辑推理、数学建模)【自主预习】预学忆思1.什么是数列的递推公式?2.由数列的递推公式能否写出数列的前几项?3.数列的递推公式与数列的通项公式有什么区别与联系?4.数列是特殊的函数,我们知道函数有单调递增函数,单调递减函数,那么数列有单调性吗?若有,如何判断数列的单调性?自学检测1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)有些数列可能不存在最大项.()(2)所有的数列都有递推公式.()(3)所有数列都具有单调性.()(4)在数列{an}中,若an=n-3n+2,则{an}是递减数列.(2.数列1,12,14,18,…的递推公式可以是(A.an=12n(n∈N+) B.an=12n(C.an+1=12an(n∈N+) D.an+1=2an(n∈N+3.已知数列{an}的通项公式为an=log12(n+1),则数列{an}是数列.(填“递增”或“4.已知数列{an}满足an+2=an+1+2an,且a1=1,a2=2,写出该数列的前5项.【合作探究】探究1：数列的递推关系情境设置已知某冰雪项目看台有30排座位,第一排有20个座位,从第二排起,后一排都比前一排多2个座位.问题1:写出前五排的座位数.问题2:第n排与第n+1排的座位数有何关系?问题3:能用等式表示出第n排座位数an与第n+1排座位数an+1的关系吗?问题4:仅由数列{an}的关系式an=an-1+2(n≥2,n∈N+)就能确定这个数列吗?新知生成数列的递推公式如果数列{an}的任一项an+1与它的前一项an之间的关系可用一个公式来表示,即an+1=f(an),n≥1,那么这个公式就叫作数列{an}的递推公式,a1称为数列{an}的初始条件.微点评:由递推公式和初始条件可确定数列{an},这是表示数列的又一种重要方法.许多与数列有关的应用问题最后都归结为这种数学模型.新知运用一、利用数列的递推公式求数列的项例1若数列{an}满足a1=2,an+1=1+an1-an,n∈N+,求【方法总结】递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式,已知n的值即可得到相应的项,而对于递推公式,则要已知首项(或前几项),才可依次求得其他的项.若项数很大,则应考虑数列是否具有规律.二、利用递推公式求通项公式例2(1)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+1n-1n+1(n∈N+),则an=(A.1n B.2n-1n C.(2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=nn+1an(n∈N+),则an=(A.n+1 B.n C.1n+1 D【方法总结】由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法:根据数列的某项和递推公式,求出数列的前几项,归纳出通项公式.(2)迭代法、累加法或累乘法,递推公式对应的有以下几类:①an+1-an=常数,或an+1-an=f(n)(f(n)是可以求和的),使用累加法或迭代法;②an+1=pan(p为非零常数),或an+1=f(n)an(f(n)是可以求积的),使用累乘法或迭代法;③an+1=pan+q(p,q为非零常数),适当变形后转化为第②类解决.巩固训练1.(多选题)已知数列{an}中,a1=3,an+1=-1an+1,能使an=3的n可以为(A.22 B.24 C.26 D.282.已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an+1(n∈N+),则a5=,由此归纳出{an}的一个通项公式为,a8=.

3.(1)已知a1=1,an+1-an=2(n∈N+),求数列{an}的通项公式.(2)已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an(n∈N+),求数列{an}的通项公式.探究2：数列的单调性情境设置观察下面的数列,回答问题.(1)2,32,43,(2)-13,16,-19(3)0.8,0.88,0.888,….问题1:写出(1)(2)(3)的通项公式.问题2:观察(1)(2)(3)中数列,从第二项起每一项与它前一项有什么大小关系?新知生成数列的单调性一般地,对于一个数列{an},如果从第二项起,每一项都大于它的前一项,即an+1>an,n∈N+,那么这个数列叫作递增数列;如果从第二项起,每一项都小于它的前一项,即an+1<an,n∈N+,那么这个数列叫作递减数列;如果从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,那么这个数列叫作摆动数列;各项都相等的数列叫作常数列.新知运用一、判断数列的单调性例3判断数列an=n2n2【方法总结】判断数列单调性的方法(1)作差比较法:①若an+1-an>0恒成立,则数列{an}是递增数列;②若an+1-an<0恒成立,则数列{an}是递减数列;③若an+1-an=0恒成立,则数列{an}是常数列.(2)作商比较法:①若an>0,则当an+1an>1时,数列{a当an+1an<1时,数列{a当an+1an=1时,数列{a②若an<0,则当an+1an<1时,数列{a当an+1an>1时,数列{a当an+1an=1时,数列{a二、求数列的最大(小)项例4已知an=9n(n+1)10n(n∈N+),则数列{an}中有没有最大项?如果有,求出最大项;【方法总结】求数列最值的方法(1)函数的单调性法:令an=f(n),通过研究f(n)的单调性来研究数列的最大(小)项.(2)不等式组法:先假设有最大(小)项.不妨设an最大,则满足an≥an-1,an≥an+1(n≥2),解不等式组便可得到n的取值范围,从而确定n的值巩固训练已知数列{an}的通项公式为an=n-(1)讨论数列{an}的单调性;(2)求数列{an}的最大项和最小项.【随堂检测】1.已知数列{an}的第1项是1,第2项是2,且an=an-1+an-2(n≥3,n∈N+),则该数列的第5项为().A.6 B.7 C.8 D.92.已知数列{an}的通项公式为an=n·23n(n∈N+),则数列{an}中的最大项为().A.89 B.23 C.64813.设函数