专题4.2 三角函数的图象与性质【八大题型】（举一反三）（新高考专用）（解析版）2024年高考数学二轮复习

第第页专题4.2三角函数的图象与性质【八大题型】【新高考专用】TOC\o"1-3"\h\u【题型1三角函数的定义域、值域问题】 2【题型2三角函数的图象识别与应用】 4【题型3由部分图象求函数的解析式】 6【题型4三角函数图象变换问题】 10【题型5三角函数的单调性问题】 12【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】 15【题型7三角函数的零点问题】 18【题型8三角函数的图象与性质的综合应用】 201、三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质是高考的热点内容，其中函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、奇偶性与单调性之间的关系则是高考考察的重心.从近几年的高考情况来看，比较注重对三角函数的几大性质之间的逻辑关系的考查，试题多以选择题、填空题的形式呈现，难度中等或偏下.【知识点1三角函数的定义域与值域的求解策略】1.三角函数的定义域的求解思路求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y=asinx+bcosx+c的三角函数化为y=Asin(ωx+φ)+c的形式，再求值域(最值)；(2)形如y=asin2x+bsinx+c的三角函数，可先设sinx=t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；(3)形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数，可先设t=sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值).【知识点2三角函数的周期性、对称性、奇偶性的求解思路】1.三角函数周期的一般求法(1)公式法；(2)不能用公式求函数的周期时，可考虑用图象法或定义法求周期.2.三角函数的对称轴、对称中心的求解策略

(1)对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)（或f(x)=Acos(ωx+φ)）形式的函数，如果求f(x)的对称轴，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可；如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)（或令ωx+φ=kπ(k∈Z)），求x即可.(2)对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数，如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx+φ=(k∈Z)），求x即可.3.三角函数的奇偶性的判断方法

三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y=Asin(ωx+φ)中代入x=0，若y=0则为奇函数，若y为最大或最小值则为偶函数.若y=Asin(ωx+φ)为奇函数，则φ=kπ(k∈Z)；若y=Asin(ωx+φ)为偶函数，则φ=kπ(k∈Z).【知识点3三角函数的单调性问题的解题思路】1.三角函数的单调区间的求解方法求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(ωx+φ)形式，再求y=Asin(ωx+φ)的单调区间，只需把ωx+φ看作一个整体代入y=sinx的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.已知三角函数的单调性求参数的解题思路对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.【知识点4三角函数的图象变换问题】1.三角函数的图象变换问题的求解方法解决三角函数图象变换问题的两种方法分别为先平移后伸缩和先伸缩后平移.破解此类题的关键如下：(1)定函数：一定要看准是将哪个函数的图象变换得到另一个函数的图象；(2)变同名：函数的名称要变得一样；(3)选方法：即选择变换方法.【题型1三角函数的定义域、值域问题】【例1】（2023上·湖南株洲·高一校考阶段练习）函数y=tanx的定义域为（）A．R B．x|x≠C．x|x≠π2+k【解题思路】根据正切函数图象与性质，列出不等式，即可求解.【解答过程】根据正切函数的性质，可得函数y=tanx有意义，则满足所以函数y=tanx的定义域为故选：C.【变式1-1】（2023上·陕西咸阳·高三校考阶段练习）函数fx=sin2x+πA．−32,1 B．−32,【解题思路】根据x∈0,π2【解答过程】解：由x∈0,π2则fx故选：A.【变式1-2】（2023·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数f(x)=2sinωx−π6(ω>0)在0,π2A．43,2 B．43,83【解题思路】根据题意可得ωx−π6∈−π6,【解答过程】由x∈0,π2及ω>0根据其值域为−1,2，且2sin由正弦函数图象性质可得π2即可得23≤ω故选：B.【变式1-3】（2023·四川成都·四川省校考模拟预测）当x∈π6,m时，函数f(x)=cos3x+π3A．π9,7C．π9,5【解题思路】解法一：画出函数的图象，由x的范围求出3x+π3的范围，根据解法二：由x的范围求出3x+π3的范围，根据y=cos【解答过程】解法一：由题意，画出函数的图象，由x∈π6,m因为fπ6=要使fx的值域是−1,−32即m∈2解法二：由题x∈π6,m由y=cosx的图象性质知，要使fx则π≤3m+π3故选：D.【题型2三角函数的图象识别与应用】【例2】（2023·全国·模拟预测）函数fx=xA．

B．

C．

D．

【解题思路】根据函数的奇偶性，并用特值法可判断函数图像.【解答过程】易知fx=x又f−x所以函数fx又f0fπ故选：C.【变式2-1】（2023·高一课时练习）如图所示，函数y=cosxtanx（0≤x<3A．

B．

C．

D．

【解题思路】取绝对值符号，再根据正弦函数的图象即可得解.【解答过程】y=cos根据正弦函数的图象，作出函数图象如下图所示，

故选：C.【变式2-2】（2023·四川南充·模拟预测）函数fx=xA．

B．

C．

D．

【解题思路】根据偶函数排除C、D，再计算fπ【解答过程】fx的定义域为R因为f−x所以fx在R又fπ故选：A.【变式2-3】（2023·广东·统考模拟预测）已知函数y=fx部分图象如图所示，则函数fx的解析式可能为（A．fx=xsin2x B．fx=x【解题思路】利用函数零点排除B,C两个选项，再由奇偶性排除A后可得正确选项．【解答过程】由图像知f(x)=0，x∈0,A中函数满足f(−x)=−xsinD中函数满足f(−x)=2而图像关于原点对称，函数为奇函数，排除A，选D．故选：D．【题型3由部分图象求函数的解析式】【例3】（2023·河南郑州·统考模拟预测）已知函数fx=2sinωx+φ（其中ω>0，0<φ<π）的图象如图所示，且满足f

A．2sin2x+πC．2sin3x+π【解题思路】根据题意得到函数的最小正周期，然后利用三角函数的周期公式得到ω=3，再结合f0=1可得到【解答过程】设fx的最小正周期为T，根据fx0=−fx0+由f0=1，得sin3×0+φ由图知φ=π6，故故选：C．【变式3-1】（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）函数fx=3sin

A．fB．fx图象的一条对称轴方程是C．fx图象的对称中心是kπD．函数y=fx+【解题思路】根据图象可求得函数fx的解析式为fx=3sin2x+3π4，可判断A错误；将x=−5π【解答过程】由函数fx=3sinωx+φ的图象知即2πω=π，解得又因为f−π8=3sinφ−π4=3又0<φ<π，可得φ=3π对选项B，f−对选项C，令2x+3π4=kπ，k∈Z因此fx的对称中心是12k对选项D，设gx则gx的定义域为R，g−x=3故选：B.【变式3-2】（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）函数fx=Asin

A．点5π12,0B．直线x=7π6C．fx的图象向右平移7π12D．fx在区间π【解题思路】根据三角函数部分图象求出解析式，利用三角函数的性质即可求解.【解答过程】由题意可知，A=1,34T=11所以T=π=2将π6,0代入fx=sin2x+φ中，得因为φ<π2当k=0时，φ=−π所以fx的解析式为f对于A，f5π12=sin对于B，f7π6=sin对于C，fx=sin2x−π对于D，当x∈π2,2π3时，故选：D.【变式3-3】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=3sin

A．fB．fC．不等式fx≥D．将fx的图象向右平移π12个单位长度后所得函数的图象在【解题思路】由图象求出fx【解答过程】由函数图象可知，最小正周期为T=411π4将点5π4,3代入f又φ<π2，所以φ=所以f3令fx≥32，则sin13x+π12所以不等式fx≥3将fx=3sin13x+π12的图象向右平移解得6kπ−5令k=1得13π3≤x≤故选：C.【题型4三角函数图象变换问题】【例4】（2023·四川甘孜·统考一模）为了得到函数y=sin2x+cos2x的图象，可以将函数A．向右平移π8个单位长 B．向右平移πC．向左平移π8个单位长 D．向左平移π【解题思路】逆用三角函数的和差公式化简y=sin【解答过程】因为y=sin则y=2cos2x向右平移π故选：A.【变式4-1】（2023·四川甘孜·统考一模）已知函数fx=Acos2x+φ(A>0,φ<π)是奇函数，且fA．gx=sinC．gx=cos【解题思路】根据题设有φ=±π2，再结合f3π4【解答过程】由fx是奇函数，则φ=kπ+π2，k∈当φ=π2，fx当φ=−π2，fx=Acos所以fx将fx的图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，故故选：A.【变式4-2】（2023·四川·校联考模拟预测）函数fx=Asinωx+φ（其中A>0,ω>0,φ<πA．向右平移π6个单位长度 B．向右平移πC．向左平移π6个单位长度 D．向左平移π【解题思路】根据给定的函数图象，求出fx【解答过程】由图知，A=1，函数f(x)的最小正周期T=4(7π12−即f(x)=sin(2x+φ)，显然f(7而|φ|<π2，则k=0,φ=π对于A，将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得y=此函数图象与y=g(x)图象不重合，A错误；对于B，将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得y=此函数图象与y=g(x)图象不重合，B错误；对于C，将f(x)的图象向左平移π6个单位长度，得y=此函数图象与y=g(x)图象不重合，C错误；对于D，将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得y=故选：D.【变式4-3】（2023·四川成都·统考二模）将最小正周期为π的函数fx=2sin2ωx−π6+1ω>0的图象向左平移A．对称轴为x=−π6+kπ2C．对称中心为−π6+kπ2,1【解题思路】根据周期可得ω=1，再通过平移变换可得gx【解答过程】因为fx=2sin所以2π2ω=则由平移变换可得gxA选项：令2x+π3=B选项：由−π2≤2x+π3≤π由π2≤2x+π3≤3π2C选项：令2x+π3=kπ得x=−πD选项：因为g0=2sin所以结合B中分析可得gx在0,π2故选：C.【题型5三角函数的单调性问题】【例5】（2023·青海·校联考模拟预测）下列区间中，函数fx=3sinA．0,π2 C．5π4,【解题思路】首先求函数的单调递增区间，再根据选项判断.【解答过程】令2kπ−π2≤x+π4当k=0时，增区间是−3π4,π其中只有5π故选：C.【变式5-1】（2023上·内蒙古包头·高三校考阶段练习）函数fx=cosωx+φ的部分图象如图所示，则

A．kπ−14,kπ+C．k−14,k+34，k∈【解题思路】根据图象可得fx【解答过程】设fx的最小正周期为T可知T2=5且当x=54+由周期性可知：与x=34最近的最大值点为

所以fx的单调递减区间为2k−14故选：D.【变式5-2】（2023·山东烟台·统考二模）已知函数fx=cos2x+φ0≤φ<2π在A．π≤φ≤4πC．4π3≤φ≤2【解题思路】由x的取值范围求出2x+φ的取值范围，结合余弦函数的性质得到不等式组，解得即可.【解答过程】由x∈−π6又0≤φ<2π，所以π且函数fx在−所以π2+φ≤2π−π3+φ≥故选：D.【变式5-3】（2023·四川泸州·统考一模）已知函数fx=2sinωx−π6(ω>0)在0,A．0,23 B．1,53 C．【解题思路】利用整体法，结合三角函数图像性质对x∈0,π3【解答过程】当0<x<π3时，因为ω>0，则因为函数fx在0,π3上存在最值，则ω当2π3<x<因为函数fx在2则2π所以2πω3−π所以32k−1又因为ω>0，则k∈0,1,2当k=0时，0<ω≤2当k=1时，1≤ω≤5当k=2时，52又因为ω>2，因此ω的取值范围是52故选：C．【题型6三角函数的周期性、对称性与奇偶性的灵活运用】【例6】（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知函数f(x)=sin(ωx+φ)−π2<φ<π2在3π8,A．−32 B．−1 C．12【解题思路】利用正弦型函数的对称性、奇偶性、单调性进行求解即可.【解答过程】因为函数f(x)在3π8,7π所以有7π所以ω⋅3因为y=fx+所以ωπ8+φ=mπm∈而ω≤2，所以ω当ω=2时，2π因为−π2<φ<即f(x)=sin当x∈3π8所以f(7当ω=−2时，−2因为−π2<φ<即f(x)=sin当x∈3π8故选：D.【变式6-1】（2023·河南·开封高中校考模拟预测）已知函数f(x)=tan2x+πA．fx为奇函数 B．fx在区间C．fx图象的一个对称中心为π12,0 【解题思路】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.【解答过程】因为f(x)=tan2x+π3，所以2x+即函数的定义域不关于原点对称，所以fx当x=π12时，2x+π3=π2当x=π12时，2x+π因为f(x+π2)=故选：C.【变式6-2】（2023·河南新乡·统考三模）已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(0<ω<10,0<φ<π)图象的一个对称中心是Aπ8,0A．f(x)=cos2x+π4 B．直线C．f(x)在7π8,11π【解题思路】由f0=22可得φ=π4，由对称中心【解答过程】因为点B0,22在f(x)的图象上，所以f(0)=cosφ=因为f(x)图象的一个对称中心是Aπ8,0，所以ω则ω=2+8k，k∈Z.又0<ω<10，所以ω=2，则f(x)=cosf5π8=cos当x∈7π8,11fx+故选：B.【变式6-3】（2023·山东·统考二模）已知函数fx=asin2x+bcosA．fx−π6是偶函数 C．fx在区间−π3,π6上单调递增【解题思路】利用赋值法可求a,b的关系，从而可得fx=2bsin2x+π6，利用公式可判断B的正误，结合【解答过程】因为fx的图象关于直线x=π6所以b=asin2π所以fx此时fπ6=2bfx−令gx则gπ12=2b故gxfx的最小正周期为2因为b的正负无法确定，故fx在−令fx=2b,x∈0,2π，因因为x∈0,2π，故2x+π6∈故方程fx故选：D.【题型7三角函数的零点问题】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知函数fx=sinωx+3cosωx−2ω>0A．512,76 B．512,【解题思路】由辅助角公式、化简函数式，然后求得整体ωx+π【解答过程】由题意得：fx因为x∈0,π，所以π3<ωx+π因为fx在区间0,π内恰有一个零点，则则ωx+π3=π2故选：A.【变式7-1】（2023·安徽·芜湖一中校联考模拟预测）已知函数f(x)=cos|x|−2|sinA．π是f(x)的一个周期 B．函数在0,2C．函数f(x)的值域为[−5,1] D．函数f(x)在【解题思路】对于A，根据fπ4+π≠fπ4即可判断；对于B，当x∈0,2π3将fx化简，然后检验即可；对于C，求出函数【解答过程】因为fπ当x∈0,2π3，f(x)=cosx−2sinx=515cos因为2π是函数f(x)的一个周期，可取一个周期[0,2π]f(x)=cosx−2sinx=515cosx−25sinx=5cos(x+φ)，φ≤x+φ≤π+φ因为函数f(x)为偶函数，所以在区间[−2π,2π]上零点个数可通过区间[0,2π]上零点个数，由y=sin故选:C.【变式7-2】（2023·四川雅安·统考一模）已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)（ω>0且−π2<φ<π2），设T为函数f(x)的最小正周期，fT4A．17π6,23π6 B．17【解题思路】根据题意可确定T为函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，结合fT4=−1求出φ【解答过程】由题意知T为函数f(x)=2cos(ωx+φ)的最小正周期，故由fT4=−1得2由于−π2<φ<f(x)在区间[0,1]有且只有三个零点，故ωx+π且由于y=cosx在(0,+∞)上使得cosx=0故5π2≤ω+π6<故选：D.【变式7-3】（2023·江西·统考模拟预测）已知函数fx=2sinωx+φω>0的最小正周期T<π，f(π5)=1，且fx在x=π10处取得最大值．现有下列四个结论：①sinφ=22；②ω的最小值为15A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】根据给定条件，利用对称性计算判断①；探讨出ω值的表达式及范围判断②；对ω的取值验证判断③④即可作答.【解答过程】因为函数fx在x=π10处取得最大值，即函数f因此f(0)=f(π5)=1，即2因为函数fx在x=π10处取得最大值，则π有sinφ=sin(又ω>0,T=2πω<π，即ω>2，因此ω=20n+当k∈Z时，f(x)=当ω=52时，f(x)=2cos(52当ω=352时，由x∈(π20,π4)得当ω=20n±52,n∈N∗时，T=即当ω=20n±52,n∈N∗时，函数f(x)当ω=52时，f(x)=2cos(显然当52x−π4=3π2当ω=20n±52,n∈N∗时，T=函数f(x)在(13π20,11所以结论正确的个数是3.故选：C.【题型8三角函数的图象与性质的综合应用】【例8】（2023·辽宁辽阳·统考一模）已知函数fx=4sin(1)求ω的最大值；(2)若fx的图象关于点3π2,0中心对称，且fx在−【解题思路】（1）将ωx+π（2）根据正弦型函数的对称中心及第一问可得fx【解答过程】（1）由条件知x∈π6,由正弦函数的性质可知：π又有π−当k=0时，1≤ω≤7当k≥1时，不等式13≤ω≤7所以ω的最大值为76（2）因为fx的图象关于点3π2即ω=2k由（1）得：1≤ω≤76，所以ω=10当x∈−9π因为fx在−9π20,m则π2≤10所以m的取值范围是3π【变式8-1】（2023上·山东泰安·高一校考期末）已知函数fx(1)求函数fx(2)当x∈−π2(3)求fx在区间π【解题思路】（1）整体法求出函数单调递增区间，进而利用T=2（2）x∈−π2（3）整体法求解函数最值.【解答过程】（1）令−π解得−π故函数fx的单调递增区间为−最小正周期为T=2（2）x∈−π2fx故2x−π3∈（3）x∈π12,由于y=sint在t∈−故当2x−π3=π2当2x−π3=−π6，即x=故fx在区间π12,【变式8-2】（2023上·广东江门·高一校考期末）已知函数fx=Asinωx+φ（A>0，ω>0，φ<(1)求函数fx(2)求函数fx在区间0,(3)若函数gx=fx−6【解题思路】（1）根据对称轴可得周期T=2πω=2×π2，由最大值可得（2）根据正弦函数的图象与性质即可求最值；（3）由题意可得sin2x0【解答过程】（1）因为图象的相邻两条对称轴的距离是π2，所以fx的最小正周期为所以ω=2因为在x=π6时取得最大值2，所以A=2，且可得φ=π因为φ<π2所以fx（2）x∈0,π2所以，当2x+π6=7π6当2x+π6=π2所以函数fx在区间0,π2（3）因为函数gx=fx所以2sin2x因为π3所以cosπ【变式8-3】（2023·江苏常州·江苏校考模拟预测）已知函数f(x)=2sin(1)若fx1≤fx≤f(2)已知0<ω<5，函数f(x)图象向右平移π6个单位，得到函数gx的图象，x=π3是gx的一个零点，若函数gx在[m,n]（(3)已知函数ℎ(x)=acos(2x−π6)−2a+3(a>0)，在第（2）问条件下，若对任意x1∈[0,【解题思路】（1）由fx1≤fx≤fx2，x1−x2min=π2可求得函数f【解答过程】（1）∵f(x)=2sin(2ωx+π又∵fx1≤fx≤fx2故T=2π2ω当ω=1时，fx=2sin2x+π6+1当ω=−1时，fx=2sin−2x+π6+1综上所述，fx的对称中心为−π12（2）∵函数fx图象向右平移π6个单位，得到函数∴g(x)=2sin又∵x=π3是g(π3)=2∴π3ω+π解得ω=3+6kk∈Z或由0<ω<5可得ω=3∴g(x)=2sin6x−5π令gx=0即6x−5π6=−π6+2k1π若函数gx在[m,n]（m,n∈R且m<n）上恰好有10个零点，故要使n−m最小，须m、n恰好为gx的零点，故n−m（3）由（2）知g(x)=2sin6x−5π6+1，对任意x1∈[0,当x2∈[0,π当x1∈[0,π由{y|y=ℎ(x)}⊆{y|y=g(x)故实数a的取值范围为0,81．（2023·天津·统考高考真题）函数fx的图象如下图所示，则fx的解析式可能为（

A．5ex−C．5ex+【解题思路】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在(0,+∞【解答过程】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(−2)=f(2)<0，由5sin当x>0时5(ex−e−x)故选：D.2．（2023·天津·统考高考真题）已知函数fx的一条对称轴为直线x=2，一个周期为4，则fx的解析式可能为（A．sinπ2xC．sinπ4x【解题思路】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在x=2处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足题意的函数解析式.【解答过程】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T=2ππ2C选项中T=2ππ4排除选项CD，对于A选项，当x=2时，函数值sinπ2×2对于B选项，当x=2时，函数值cosπ2×2故选：B.3．（2023·全国·统考高考真题）函数y=fx的图象由函数y=cos2x+π6的图象向左平移π6个单位长度得到，则A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】先利用三角函数平移的性质求得fx=−sin2x，再作出fx与y=【解答过程】因为y=cos2x+π6向左平移π6而y=12x−12作出fx与y=

考虑2x=−3π2,2x=3π2当x=−3π4时，f当x=3π4时，f当x=7π4时，f7π所以由图可知，fx与y=12故选：C.4．（2023·全国·统考高考真题）已知函数f(x)=sin(ωx+φ),ω>0在区间π6,2π3单调递增，直线x=πA．−32 B．−1