27.1图形的相似(1)课件2023-2024学年人教版九年级数学下册

图形的相似定义:我们把

的图形叫做

.新知一：相似图形相似图形形状相同思考：相似图形与全等图形有什么关联？形状相同，大小相同.形状相同，大小可以不同.全等图形是特殊的相似图形.全等图形相似图形观察以下几组图形的变换过程，思考它们有什么关系？图形的放大图形的缩小相似图形的关系

两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.如图是一个女孩从平面镜和哈哈镜里看到的自己的形象,这些镜中的形象与自身相似吗?判断两个图形是否相似,就是看这两个图形的形状是否相同,这是相似图形定义的本质.相似不相似不相似思考：1.如图,从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?相似巩固新知两个图形是否相似与形状有关，与大小和位置无关.2.如图，图形（a）~（f）中，哪些与图形（1）或（2）相似？线段成比例例如：若a=8cm,b=2cm,c=12cm,d=3cm,

概念引入则线段a,b,c,d成比例.(或ad=bc=24)，

C2×5≠3×44×10≠6×81×4=2×2观察下面图形的变换，思考变换前后两组多边形边有什么关系、角有什么关系？变换前后它们的对应边比值相等，放大2倍探究发现对应角相等，且两个多边形相似.定义：两个边数相同的多边形,如果它们的

,

那么这两个多边形叫做

.

新知二:相似多边形相似多边形对应边的比叫做相似比.角分别相等,边成比例相似多边形两个多边形相似需满足条件：1.边数相同；2.对应角相等；3.对应边成比例；

DCBA

=k相似比为k.，所有的对应角相等.所有的对应边比值相等.DCBA

当k=1时，两个相似多边形全等.思考：1.两个大小不同的正方形相似吗？为什么？2.如果两个多边形仅有角分别相等，它们相似吗？3.如果两个多边形仅有边成比例，它们相似吗？相似，因为正方形内角都为90°，边成比例.不一定相似，例如两个矩形不一定相似.不一定相似，例如两个菱形不一定相似.因此要得出两个多边形相似，既要满足对应角相等，又要满足对应边成比例.例1

如图所示的两个三角形相似吗?为什么?解：相似，理由如下：因为ΔABC和ΔDEF都是等腰直角三角形,所以∠A=∠D=90°，所以ΔABC与ΔDEF相似.101055FEDCBA典例精析∠B=∠E=45°，∠C=∠F=45°.对应角相等对应边成比例思考：

是不是所有的等腰直角三角形都相似?为什么?解：相似，理由如下：所以ΔABC与ΔDEF相似.bbaaFEDCBA如图ΔABC和ΔDEF是任意的两个等腰直角三角形,则∠A=∠D=90°，∠B=∠E=45°，∠C=∠F=45°.思考：除了等腰直角三角形，还有哪些多边形一定都相似？所有的等边三角形相似.

所有的正方形相似.所有边数相同的正多边形相似.由相似多边形的定义可知：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.几何语言表述:∴DCBA

相似多边形的特征典例精析

DABC182178°83°β24GEFHα

118°在四边形ABCD中，β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.α＝∠C＝83°，解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应角相等，由此可得

DABC182178°83°β24GEFHα

118°∠A＝∠E＝118°.解：因为四边形ABCD和EFGH相似，所以它们的对应边成比例，由此可得解得

x＝

28.

DABC182178°83°β24GEFHα

118°相似对应角相等对应边成比例求未知角与未知边建立等式当堂检测1.如图，ΔABC与ΔDEF相似且相似比为k，∠A=∠D,∠F=∠C，

则x=

，y=

，k=

.

23.56分析：因为两个三角形相似，且=k.所以x=6,y=3.5,k=2.相等的角所对的边是对应边.xy4EDF1278CBA∠A=∠D,∠F=∠C，

（2）求证ΔADE和ΔABC相似.24392.55解：(1)由图可知：AB=AD+DB=6；AC=AE+EC=7.5，（2）证明：因为DE//BC,

所以所以ΔADE和ΔABC相似.∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.对应边不要找错.图（1）中的△A1B1C1是由正△ABC放大后得到的，观察这两个图形，它们的对应角有什么关系？对应边呢？对于图（2）中的两个相似的正六边形，你是否也能得到类似的结论？对应角相等对应边的比相等对应角相等对应边的比相等

图中两个四边形是相似形，仔细观察这两个图形，它们对应边之间存在怎样的关系？对应角之间又有什么关系？

再看看图中两个相似的五边形，是否与你观察所得到的结果一样？2.相似多边形的性质：

对应角相等,

对应边成比例（相似比相等).3.相似多边形的判定：如果两个多边形对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形相似1.两个相似多边形对应边的比也叫两个多边形的相似比.定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形．注意：两个多边形相似，必须同时具备三个条件：(1)边数相同；(2)角分别相等；(3)边成比例.定义：相似多边形对应边的比叫做相似比.

任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？a1a2a3an…已知等边三角形的每个角都为60°，三边都相等.所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.a1a2a3an任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？已知正方形的每个角都为90°，

四边都相等.所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.任意两个边数相等的正多边形都相似.…任意两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？角不相等！边不成比例！

ABCC′B′A′下图是两个相似三角形，找出图形中的成比例线段，并用比例式表示.

例题如图，四边形ABCD和EFGH相似，求∠α、∠β的大小和EH的长度x.24cmx解：∵四边形ABCD和EFGH相似∴∠α=∠C=83°，∠A=∠E=118°118°在四边形ABCD中∠β=360°-（78°+83°+118°）=81°∵四边形ABCD和EFGH相似∴即∴x=28(cm)1.如图，△ABC与△DEF相似，求未知边x,y的长度。

2.如图所示的两个五边形相似，求未知边a、b、c、d的长度。练一练

1.如图所示，已知四边形ABCD中，PQ//AD//BC，AD=2，BC=8，若PQ把四边形ABCD分成两个小四边形，且这两个小四边形相似，求PQ的长.分析：确定两个相似多边形的对应边时，如果边的大小明显，则“长边对长边，短边对短边”.随堂练习

相似多边形概念相似比性质对应角相等对应边成比例课堂小结对应边的比1.(莆田中考)下列四组图形中，一定相似的是()A．正方形与矩形B．正方形与菱形C．菱形与菱形D．正五边形与正五边形D对接中考任意两个边数相等的正多边形相似.2.(重庆中考)制作一块3

m×2

m的长方形广告牌的成本是120

元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的

3

倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是()A．360元

B．72