第06讲 双曲线高频考点精练（解析版）备战2024年高考数学一轮复习精讲精练（艺考生基础版）

第第页第06讲双曲线(精练）A夯实基础一、单选题1．（2022·山东省郓城第一中学高二期中）若方程表示双曲线，则m的取值范围是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【详解】由题意，解得．故选：B.2．（2022·浙江·余姚中学高二期中）双曲线的焦距等于（

）A．1 B．2 C．3 D．6【答案】D【详解】由题意可知：，，，解得，即双曲线的焦距等于，故选：D.3．（2022·江苏·扬州中学高二期中）已知双曲线C：的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，则（

）A．－8 B．8 C．10 D．【答案】A【详解】由，得，得，因为双曲线C的左右焦点为，，点P在双曲线C的右支上，所以，故选：A4．（2022·河南安阳·高二期中）双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：由双曲线方程得，焦点在轴上，所以，.所以，双曲线的离心率为故选：A5．（2022·甘肃·靖远县第四中学高三阶段练习（文））若点在双曲线：（，）的一条渐近线上，则（

）A．2 B． C． D．【答案】C【详解】依题意得点在直线上，所以.故选：C.6．（2022·山东省桓台第二中学高二期中）2022年10月16日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂降重开幕，为了增强主席台的亮度，且为了避免主席台就坐人员面对强光的不适，灯光设计人员巧妙地通过双曲线镜面反射出发散光线达到了预期的效果.如图，从双曲线右焦点发出的光线的反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中P为入射点），（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，，不妨设双曲线的标准方程为，设，则，所以，解得（已舍去），所以.故选：D.7．（2022·黑龙江·高二期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，是双曲线上一点且，则双曲线的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设双曲线的方程为，半焦距为，则，，故，.所以双曲线的标准方程为.故选：D.8．（2022·辽宁·辽西育明高级中学高二期中）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线交双曲线的右支于，两点，若的周长为72，则双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题知，，所以直线为，设，，由，得，则，，所以，因为，，所以，因为的周长为72，所以，所以，得，所以双曲线方程为.故选：C.二、多选题9．（2022·江苏·南京外国语学校高二阶段练习）已知曲线，下列结论正确的是（

）A．若，则是椭圆，其焦点在轴上B．若，则是双曲线，其焦点在轴上C．若，则是圆D．若，，则是两条直线【答案】AB【详解】对于A，若，则可化为，因为，所以，即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确，对于B，因为，所以可化为，曲线C表示焦点在x轴上的双曲线，故B正确；对于C，若，则可化为，此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，若，不是圆，故C错误；对于D，若，，则可化为，当时，无意义，当时，，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D错误；故选：AB.10．（2022·江苏·扬州中学高二期中）设双曲线的左、右焦点分别为，点P在C的右支上，且不与C的顶点重合，则下列命题中正确的是（

）A．若，则C的两条渐近线的方程是B．若点P的坐标为，则C的离心率大于3C．若，则的面积等于D．若C为等轴双曲线，且，则【答案】BC【详解】解：由题意得：A选项：当时，双曲线的渐近线的斜率，A错误；B选项：因为点在C上，则，得，所以，故B正确；C选项：，若，则，即，即，得，所以，C正确；D选项：若C为等轴双曲线，则，从而．若，则，．在中，由余弦定理，得，D错误故选：BC11．（2022·江苏南通·高二期中）设双曲线：的焦点为，，若点在双曲线上，则（

）A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的渐近线方程为C． D．【答案】BC【详解】依题意，，解得，双曲线：的实半轴长，半焦距，双曲线的离心率，A不正确；双曲线的渐近线方程为，B正确；，C正确；，，则，有，D不正确.故选：BC12．（2022·安徽省泗县第一中学高二期中）如图，是椭圆与双曲线（）在第一象限的交点，且共焦点的离心率分别为，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则C．若，则的最小值为2D．【答案】AB【详解】对A：由椭圆和双曲线的定义：，故，故A正确；对B：在中，由余弦定理：即，故时，，故B正确；对C：时，，由（当且仅当时等号成立），，所以等号取不到，故C错误；对D：对△，将其视作是椭圆中的焦点三角形，则由余弦定理可得，解得，故，同理，将△视作双曲线中的焦点三角形，则，则，故D错误.故选：AB.三、填空题13．（2022·吉林吉林·高二期中）已知方程表示双曲线，则的取值范围是______．【答案】【详解】若方程表示在轴上的双曲线，则，解得；若方程表示在轴上的双曲线，则，此时.综上所述，.故答案为：.14．（2022·江苏·邵伯高级中学高二期中）已知双曲线C：的离心率为，且与椭圆有公共焦点则双曲线C的方程为_________．【答案】【详解】椭圆中，，，焦点坐标是因为双曲线与椭圆有公共焦点，所以，即，，所以双曲线C的方程为.故答案为：15．（2022·广西贵港·高三阶段练习（文））已知，点P满足，动点M，N满足，，则的最小值是____________．【答案】3【详解】以的中点O为坐标原点，的中垂线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，则，由双曲线定义可知，点P的轨迹是以，为焦点，实轴长为6的双曲线的左支，即点P的轨迹方程为．，由，可得．因为的最小值为，所以的最小值是3．故答案为：3.16．（2022·辽宁·辽西育明高级中学高二期中）已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线右支上，满足，，又直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，则双曲线的离心率的取值范围是______.【答案】【详解】因为，故，由双曲线定义可得，由勾股定理知：，整理得，，又，，，故，，解得，直线：与双曲线的左、右两支各交于一点，则直线的斜率，所以，所以.故答案为：.四、解答题17．（2022·江苏扬州·高二阶段练习）求满足下列条件的曲线标准方程：(1)两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程；(2)与双曲线有相同渐近线，且焦距为的双曲线标准方程.【答案】(1)(2)或（1）设所求椭圆的标准方程为两焦点分别为，，又椭圆过点，，又，，所以椭圆的标准方程为.（2）方法一：(i),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，因为与双曲线有相同渐近线，所以，设该双曲线的焦距为，又因为焦距所以，所以，联立解得则双曲线方程为，(ii),若焦点在轴上，设所求双曲线方程为，因为与双曲线有相同渐近线，所以，设该双曲线的焦距为，又因为焦距所以，所以，联立解得则双曲线方程为，双曲线的标准方程为：或方法二：设与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为：（）焦距为，，双曲线的标准方程为：或18．（2022·黑龙江·哈尔滨德强高级中学有限公司高二阶段练习）（1）已知椭圆的长轴长为6，一个焦点为，求该椭圆的标准方程．（2）已知双曲线过点，渐近线方程为，求该双曲线的标准方程．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由题设，长轴长为6即，焦点为即，∴，∴椭圆的标准方程为.（2）由题意，渐近线方程为，令，又在双曲线上，∴，即，B能力提升19．（2022·上海市建平中学高三阶段练习）已知双曲线的方程为，离心率为2，右顶点为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过的直线与双曲线的一支交于、两点，求的取值范围.【答案】(1)(2)【详解】（1）由离心率又,所以，又右顶点为，所以，所以，故双曲线的标准方程为.（2）设直线的方程为，设，则由得，因为直线与双曲线一支交于、两点，所以，解得，因此，因为，所以，所以，所以，故.20．（2022·浙江·高二期中）已知圆和定点为圆上的动点，线段的中垂线与直线交于点，设动点的轨迹为曲线.