17.2 第1课时 勾股定理的逆定理及应用 课件 2023--2024学年八年级数学人教版

第十七章

勾股定理17.2第1课时

勾股定理的逆定理及应用新知探索——直角三角形的判定【操作】用13个等距的结,把一根绳子分成等长的12段,然后以3个结、

4个结、5个结的长度为边长,用木桩钉成的三角形是

三角形.直角【思考】(1)这组数是否满足a2+b2=c2呢?(2)这个三角形是直角三角形吗？【归纳】三边满足“a2+b2=c2”的三角形是直角三角形,

这个规律叫做勾股定理的逆定理.如果三角形的三边长a、b、c满足:a2+b2=c2那么,这个三角形是直角三角形.1.勾股定理的逆定理:如几组常见的勾股数:①5,12,13;②7,24,25;③8,15,17.2.勾股数:

满足勾股定理的逆定理的一组整数叫做勾股数.事先不知道三角形是否为直角三角形已知直角三角形→勾股定理→a2+b2=c2;已知a2+b2=c2

→勾股定理的逆定理→直角三角形.∵∠C’=900∴A’B’2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A’B’2=c2∴A’B’=c(A’B’>0,c>0)在△ABC和△A’B’C’中BC=a=B’C’CA=b=C’A’AB=c=A’B’abB'C'A'已知:在△ABC中,AB=c,BC=a,CA=b,且a2+b2=c2.求证:△ABC是直角三角形.证明:画一个△A’B’C’,使∠C’=900,B’C’=a,C’A’=b3.勾股定理逆定理的证明cabBCA∴△ABC≌△A’B’C’(SSS)∴∠C=∠C’=900∴△ABC是直角三角形(1)判断一件事情的句子叫做命题(注意:命题有假之分);

真命题是题设和结论都正确的命题;

假命题是题设和结论相矛盾的命题.(2)条件和结论正好相反的两个命题叫做互逆命题,其中的一个叫做原命题,则另一个叫做它的逆命题.【思考】一个命题一定有逆命题吗?一个定理有是逆定理吗?(2)互逆定理:如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为互逆定理,其中一个定理称为另一个定理的逆定理.5.定理与互逆定理4.命题:(1)定理:用推理的方法得到的真命题叫做“定理”;【注意】一个命题一定有逆命题,但一个定理不一定有逆定理.(1)两条直线平行,内错角相等.(2)如果两个实数相等,那么它们的平方也相等.(3)如果两个实数相等,那么它们的绝对值相等.(4)全等三角形的对应角相等.1.说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?逆命题:

内错角相等，两条直线平行.成立逆命题:

如果两个实数的平方相等,那么这两个实数相等.不成立逆命题:如果两个实数的绝对值相等,那么这两个实数相等.不成立逆命题:对应角相等的两个三角形是全等三角形.不成立新知巩固练习它们是互逆定理(2)a=1,b=2,c=.

,

.2.下面以a、b、c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,请指出哪一个角是直角.(1)a=25,b=20,c=15.

,;(3)a:b:c=3:4:5.

,

.是是是∠A=900∠B=900∠C=900注意:(1)和(2)中的数据都满足勾股定理的逆定理,只有(1)中的数据是勾股数,因为勾股数都是整数,但(2)中的数据不是勾股数,因为3个数不都是整数.例1.判断由a、b、c组成的三角形是不是直角三角形：(1)a=15,b=8,

c=17;(2)a=13,b=15,c=14;(3)a:b:c=3:4:5.解:(1)∵152+82=225+64=289=172

即a2+b2=c2∴这个三角形是直角三角形.(2)∵132+142=169+196=365≠152

即a2+b2≠c2∴这个三角形不是直角三角形.(3)设a=3x,则b=4x,c=5x∵(3x)2+(4x)2=25x2=(5x)2

即a2+b2=c2∴这个三角形是直角三角形.四、新知应用举例【分析】先由含m,n的代数式判断出a,b,c中最长的边是c,再利用勾股定理的逆定理作出判定.例2.已知△ABC的三边分别是a,b,c,且a=m2-n2,b=2mn,

c=m2+n2(m>n,m,n都是正整数).△ABC是什么三角形？请说明理由.解:△ABC是直角三角形.理由是:∵(m2-n2)2+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4=(m2+n2)2

即a2+b2=c2∴△ABC是直角三角形.解:连结AC,∵∠B=900,AB=3,BC=4∴在Rt△ABC中由勾股定理得

∵在△ACD中

AC2+CD2=52+122=169=132

即AC2+CD2=

AD2∴由勾股定理的逆定理得△ACD是直角三角形例3.已知:如图,四边形ABCD中,∠B=900,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13.求四边形ABCD的面积?

互逆定理的典型应用DCBA1213341.一个零件的形状如下图所示,按规定这个零件中∠A和∠DBC

都应为直角.请根据工人师傅量出的这个零件各边的尺寸,判断这个零件符合要求.思考：这个四边形ABCD的面积是多少?五、能力提升1312543DCBA解:∵在△ABC中,AB=3,AD=4,BD=5

则32+42=52,即AB2+AD2=BD2∴由勾股定理的逆定理得：△ABD是直角三角形,且∠A=900;∵在△ABC中,BD=5,BC=12,CD=13

则52+122=132,即AB2+AD2=BD2∴由勾股定理逆定理得：△BCD是直角三角形,且∠DBC=900∴这个零件符合要求.2.已知a,b,c为△ABC的三边,且满足

a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状.解:△ABC是直角三角形.理由是:∵a2+b2+c2+338=10a+24b+26c∴a2+b2+c2+338-10a-24b-26c

=0

则a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0∴(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0∴a-5=0,b-12=0,c-13=0∴a=5,b=12=,c=13∵52+122=25+144=169=132

即a2+b2=c2∴由勾股定理的逆定理得△ABC是直角三角形.3.以△ABC三边a,b,c为边分别向外作正三角形,正方形;

以三边为直径作半圆,若S1+S2=S3成立.则△ABC是直角三角形吗?为什么？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3ABCabcS1S2S3BYYUSHENAC32.51BC461AB如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²。bacABC∵△ABC是直角三角形∴三边之间的关系为：a²+b²=c²勾股定理的内容：几何描述：练一练（已知Rt△ABC,求AB）：56.25

勾股定理知识点回顾知识回顾BYYUSHEN据说古埃及人用图1的方法画直角：把一根长绳打上13个等距离的结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（13）（12）（11）（10）（9）

新知探究BYYUSHENAB32.51BC461AC56.25∠A∠B∠CABC尝试画出满足表格数据的三角形，测量它的三个角度数，你发现了什么？约36.5°约22.5°45°

约53.5°约67.5°

如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.新知探究BYYUSHEN已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．分析：1.要证明△ABC是直角三角形，即要证明∠C=______°2.构造△A’B’C’，使其满足________________________________。3.如果△ABC____△A’B’C’，则△ABC是直角三角形。90≌AC=A’C’,BC=B’CbacABCbacA’B’C’∠C’=90°新知探究BYYUSHEN已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．求证：△ABC是直角三角形．证明：作Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′=a，A′C′=b，则A′B′2=B′C′2+A′C′2=a2+b2∵a2+b2=c2∴A′B′2=c2则A′B′=c在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′，则∠C=∠C′=90°∴△ABC是直角三角形bacABCbacA’B’C’新知探究BYYUSHEN如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。几何描述：∵三角形三边之间的关系为：a²+b²=c²∴△ABC是直角三角形勾股数的概念：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。勾股数的性质：一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数。bacABC新知探究勾股定理的逆定理BYYUSHEN用角判断：1.两个锐角互余的三角形是直角三角形；2.有一个角是90°的三角形是直角三角形；用边判断：如果已知条件与边有关，则可通过勾股定理的逆定理（a²+b²=c²）进行判断.新知探究判断直角三角形的方法BYYUSHEN下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？1、a=15，b=8，c=172、a=13，b=14，c=15解：∵152+82=289，172=289，∴152+82=172，根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形。∵132+142=365，152=225，∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理，∴这个三角形不是直角三角形.课堂练习BYYUSHEN运用勾股定理的逆定理判断直角三角形的一般步骤：1.找：确定三角形的最长边。2.算：分别计算出最长边的平方与另两边的平方和。3.比：通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等。4.判：作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形。