必修1、2、4综合测试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．（5分）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．3．（5分）若函数，则（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案：C4．（5分）（2013•浙江模拟）要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位5．（5分）（2004•山东）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）A．B．C．D．46．（5分）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为()A． B．C． D．7．（5分）（2010•绍兴模拟）函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（）A．B．C．D．8．（5分）方程（x﹣2）|x|﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）9．（5分）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 A．20℃ B．20．5℃ C．21℃ D．21．5℃10．（5分）设函数，集合，设c1≥c2≥c3≥c4，则c1—c4= A．11 B．13 C．7 D．9二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）sin300°的值为_________．12．（4分）（2014•吉林三模）已知均为单位向量，且它们的夹角为60°，当取最小值时，λ=_________．13．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是_________．

14．（4分）已知函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点，则a的取值范围是_________．15．（4分）在△ABC中，AB=2，AC=1，D为BC的中点，则=_________．16．（4分）已知平面向量，，若存在非零实数和角，，使得，，且。若时，则的值为_________．17．（4分）若实数t满足f（t）=﹣t，则称t是函数f（t）的一个次不动点．设函数f（x）=lnx与函数g（x）=ex的所有次不动点之和为m，则m=_________．三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知．（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；（2）证明：对任意实数m，恒有成立．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求sin2θ的值．20．如图1，在直角梯形中，，．把沿折起到的位置，使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，如图2所示，点分别为棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面； （3）若，求四棱锥的体积．21．（14分）某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：Q=（1）求总利润（利润=销售额﹣成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．22．已知二次函数f(x)对任意x∈R，都有f(1-x)=f(1+x)成立，设向量a=(sinx,2),b=(2sinx,),c=(cos2x,1),d=(1,2)。（1）分别求a·b和c·d的取值范围；（2）当x∈[0,π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集。一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M∩N，则P的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：利用集合的交集的定义求出集合P；利用集合的子集的个数公式求出P的子集个数．解答：解：∵M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，∴P=M∩N={1，3}∴P的子集共有22=4故选B点评：本题考查利用集合的交集的定义求交集、考查一个集合含n个元素，则其子集的个数是2n．2．（5分）（2010•东城区二模）若函数是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，2）B．C．（0，2）D．考点：函数单调性的性质；指数函数的单调性与特殊点．专题：计算题．分析：由函数是单调减函数，则有a﹣2＜0，且注意2（a﹣2）≤．解答：解：∵函数是R上的单调减函数，∴∴故选B点评：本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．3．（5分）3．（5分）若函数，则（）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m答案：C4．（5分）（2013•浙江模拟）要得到函数的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：根据平移的性质，，根据平移法则“左加右减”可知向右平移个单位．解答：解：∵故选：D点评：本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减．但要注意平移量是而不是，平移量是指x的变化量．5．（5分）（2004•山东）已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）A．B．C．D．4考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．分析：求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．解答：解：∵均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=1，||=1，=cos60°∴||===故选C．点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．6．（5分）设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为()A． B．C． D．7．（5分）（2010•绍兴模拟）函数图象的一条对称轴在内，则满足此条件的一个φ值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题．分析：求出函数的对称轴方程，使得满足在内，解不等式即可求出满足此条件的一个φ值．解答：解：函数图象的对称轴方程为：x=k∈Z，函数图象的一条对称轴在内，所以当k=0时，φ=故选A点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，不等式的解法，考查计算能力，不够充分利用基本函数的性质解题是学好数学的前提．8．（5分）方程（x﹣2）|x|﹣k=0有三个不相等的实根，则k的取值范围是（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，1）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由方程（x﹣2）|x|﹣k=0得k=（x﹣2）|x|，然后利用分段函数，作出函数的图象，利用图象确定k的取值范围即可．解答：解：由（x﹣2）|x|﹣k=0得k=（x﹣2）|x|，设f（x）=（x﹣2）|x|，则f（x）=，作出函数f（x）的图象如图：由图象知要使方程（x﹣2）|x|﹣k=0有三个不相等的实根，则﹣1＜k＜0．故k的取值范围是（﹣1，0）．故选A．点评：本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．9．（5分）某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 A．20℃ B．20．5℃ C．21℃ D．21．5℃考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：计算题；压轴题．分析：令，利用可求得a与A，从而可求得f（10）．解答：解：令，由得：；解得a=23，A=5，∴f（10）=23+5cos=20.5．故选B．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，着重考查方程组法与代入法，属于中档题．10．（5分）设函数，集合，设c1≥c2≥c3≥c4，则c1—c4= A．11 B．13 C．7 D．9考点：函数与方程的综合运用．专题：函数的性质及应用．分析：易知f（x）=0的根由x2﹣8x+c1=0，x2﹣8x+c2=0，x2﹣8x+c3=0，x2﹣8x+c4=0得到，并且它们的根分别关于直线x=4对称，依此可以计算这些根的和，则问题即可解决．解答：解；由题意原方程的根由x2﹣8x+c1=0，x2﹣8x+c2=0，x2﹣8x+c3=0，x2﹣8x+c4=0得到．因为这些方程所对应的函数对称轴相同，故这些根成对关于x=4对称．又因为{x1，x2…，x7}⊆N+，所以根都是正整数，因此它们的根分别为1，7；2，6；3，5；4，4．结合根与系数的关系，所以c的值为1×7=7，2×6=12，3×5=15，4×4=16．结合c1≥c2≥c3≥c4，所以c1=7，c4=16，所以c4﹣c1=9．故选D．点评：本题考查了函数与方程的关系，实际上是一元二次方程与二次函数的关系，要注意韦达定理的应用．二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．（4分）sin300°的值为﹣．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题．分析：利用诱导公式可得sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°，从而得到结果．解答：解：sin300°=sin（360°﹣60°）=﹣sin60°=﹣，故答案为﹣．点评：本题考查利用诱导公式进行化简求值，把要求的式子化为﹣sin60°，是解题的关键．12．（2014•吉林三模）已知均为单位向量，且它们的夹角为60°，当取最小值时，λ=．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用．分析：由题意可得=，由于=，利用二次函数的性质可得当λ=s时，取得最小值，从而得到答案．解答：解：由题意可得=1×1×cos60°=，由于==，故当λ=﹣时，取得最小值，故答案为﹣．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，二次函数的性质应用，属于中档题．13．已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是_________． 答案：100解析：由三视图可知，该几何体是如图所示长方体去掉一个三棱锥，故几何体的体积是6×3×6－××3×42＝100(cm3)．故为100.14．（4分）已知函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点，则a的取值范围是（0，1）．考点：指数函数的图像变换．专题：计算题；作图题．分析：画出函数f（x）=|2x﹣1|的图象，根据图象即可得到函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点时，a的取值范围．解答：解：f（x）=|2x﹣1|的图象如下图所示：由图可知：当0＜a＜1时，函数f（x）=|2x﹣1|的图象与直线y=a有两个公共点，故答案为：（0，1）点评：本题考查的知识点是指数函数的图象变换，其中根据指数函数的图象及函数图象的变换法则，得到函数f（x）=|2x﹣1|的图象，数形结合即可得到答案．15．（4分）在△ABC中，AB=2，AC=1，D为BC的中点，则=．考点：向量数乘的运算及其几何意义．专题：计算题．分析：把和=代入要求的式子化简可得结果．解答：解：=•（）===﹣，故答案为：．点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，求向量的模的方法，把要求的式子化为•（），是解题的关键．16．（4分）已知平面向量，，若存在非零实数和角，，使得，，且。若时，则的值为_________．⑴∵从而＝则而于是∴17．（4分）若实数t满足f（t）=﹣t，则称t是函数f（t）的一个次不动点．设函数f（x）=lnx与函数g（x）=ex的所有次不动点之和为m，则m=0．考点：对数函数图象与性质的综合应用．专题：新定义．分析：函数y=lnx的图象与直线y=﹣x有唯一公共点（t，﹣t）则有t=﹣ln（﹣t），ex=﹣x⇔x=ln（﹣x）⇔x=﹣t．故两个函数的所有次不动点之和m=t+（﹣t）=0．解答：解：函数y=lnx的图象与直线y=﹣x有唯一公共点（t，﹣t）则有t=﹣ln（﹣t），而ex=﹣x⇔x=ln（﹣x）⇔x=﹣t．故两个函数的所有次不动点之和m=t+（﹣t）=0，故答案为0．点评：本题以新定义为载体，考查了函数图象的对称性的灵活运用，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18．（14分）已知．（1）若A，B，C三点共线，求实数m的值；（2）证明：对任意实数m，恒有成立．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题；平面向量及应用．分析：（1）由平面向量的坐标运算，得到向量、的坐标，根据向量共线的充要条件列式，解之即可得到实数m的值；（2）由平面向量数量积的坐标运算公式，得=m2+1，结合二次函数的性质，可证出对任意实数m恒成立．解答：解：（1）∵∴…（2分）∵A，B，C三点共线，∴向量是共线向量，得（﹣2）×（﹣2）=（1﹣m）×1…（5分）∴解之得：m=﹣3…（7分）（2）由（1），得…（9分）∴即对任意实数m，恒有成立．…（14分）点评：本题给出含有字母m的向量坐标形式，在已知三点共线的情况下求参数m的值，并且证明不等式恒成立．着重考查了平面向量数量积的运算公式和向量共线等知识，属于基础题．19．（14分）已知函数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，，求sin2θ的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦；复合三角函数的单调性．专题：计算题；转化思想．分析：（Ⅰ）利用二倍角与两角和的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过余弦函数的单调增区间，直接求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若，求出，结合，求出，通过利用两角差的正弦函数求解即可．解答：（本题满分14分）解：（Ⅰ）==．…（4分）由，得（k∈Z）．∴函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．…（6分）（Ⅱ）∵，∴，．…（8分）∵，∴，．…（11分）∴=．…（14分）点评：本题考查二倍角公式与两角和与差的三角函数，函数的单调性函数值的求法，考查计算能力，转化思想．20．（14分）如图1，在直角梯形中，，．把沿折起到的位置，使得点在平面上的正投影恰好落在线段上，如图2所示，点分别为棱的中点． （1）求证：平面平面； （2）求证：平面； （3）若，求四棱锥的体积．解：（1）因为点在平面上的正投影恰好落在线段上所以平面，所以…1分因为，所以是中点，…2分所以，所以…3分同理又所以平面平面…5分（2）因为，，所以又平面，平面所以…7分又所以平面…8分（3）因为，，所以，而点分别是的中点，所以，…10分由题意可知为边长为5的等边三角形，所以高，…………11分即点到平面的距离为，又为的中点，所以到平面的距离为，故．…12分21．（14分）某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销．经试销发现：日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：Q=（1）求总利润（利润=销售额﹣成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大．考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；函数的性质及应用．分析：（1）根据利润=销售额﹣成本，写出总利润y（元）与销售价x（件）的函数关