高中数学人教A版选修2-3教案1-2-2组合3

1．2.2组合eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))教材分析排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序．教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通．学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列．在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题．排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述．也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程．据笔者观察，有些同学之所以在学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法(很可能是有悖于常理或常规的做法)．要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题．久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能理解组合的意义，能写出一些简单问题的所有组合．明确组合与排列的联系与区别，能判断一个问题是排列问题还是组合问题．过程与方法通过具体实例，体会组合数的意义，总结排列数Aeq\o\al(m,n)与组合数Ceq\o\al(m,n)之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数公式进行计算．情感、态度与价值观能运用组合要领分析简单的实际问题，提高分析问题的能力．重点难点教学重点：组合的概念和组合数公式．教学难点：组合的概念和组合数公式．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新课))提出问题1：回顾分类加法计数原理和分步乘法计数原理，排列的概念和排列数公式．活动设计：教师提问．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．3．排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．4．排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq\o\al(m,n)表示．5．排列数公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．6．阶乘：n！表示正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘．规定0！＝1.7．排列数的另一个计算公式：Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！).设计意图：检查学生的掌握情况，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：分析下列两个问题是不是排列问题，为什么？问题(1)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题(2)：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？活动设计：学生自己分析，教师提问．活动成果：问题(1)中不但要求选出2名同学，而且还要按照一定的顺序“排列”，而问题(2)只要求选出2名同学，是与顺序无关的，不是排列．我们把这样的问题称为组合问题．设计意图：引导学生通过具体实例找出排列与组合问题的不同，引出组合的概念．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探索新知))提出问题1：结合上述问题(2)，试总结组合和组合数的概念．活动设计：学生小组讨论，总结概念．活动成果：1．组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．2．组合数的概念：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Ceq\o\al(m,n)表示．设计意图：培养学生的类比和概括能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))提出问题1：判断下列问题是组合问题还是排列问题？(1)在北京、上海、广州三个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？(2)高中部11个班进行篮球单循环比赛，需要进行多少场比赛？(3)从全班23人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)10个人互相通信一次，共写了多少封信？(5)10个人互通一次，共打了多少个？活动设计：小组交流，共同分析．活动成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是组合．设计意图：通过具体实例比较排列和组合，加深对组合的理解．提出问题2：试找出排列和组合的区别和联系．活动设计：小组交流，教师提问，学生补充．活动成果：1．区别：(1)排列有顺序，组合无顺序．(2)相同的组合只需选出的元素相同，相同的排列则需选出的元素相同，并且选出元素的顺序相同．2．联系：(1)都是从n个不同的元素中选出m(m≤n)个元素；(2)排列可以看成先组合再全排列．设计意图：加深对排列组合的理解，为推导组合数公式奠定基础．提出问题2：你能类比排列数的推导过程和排列与组合的联系推导出从4个不同元素a，b，c，d中取出3个元素的组合数Ceq\o\al(3,4)是多少吗？活动设计：小组交流，共同推导．活动成果：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数Aeq\o\al(3,4)可以求得，故我们可以考察一下Ceq\o\al(3,4)和Aeq\o\al(3,4)的关系，如下：组合排列abc→abc，bac，cab，acb，bca，cbaabd→abd，bad，dab，adb，bda，dbaacd→acd，cad，dac，adc，cda，dcabcd→bcd，cbd，dbc，bdc，cdb，dcb由此可知，每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数Aeq\o\al(3,4)，可以分如下两步：①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有Ceq\o\al(3,4)个；②对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有Aeq\o\al(3,3)种方法．由分步乘法计数原理得：Aeq\o\al(3,4)＝Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(3,3)，所以，Ceq\o\al(3,4)＝eq\f(A\o\al(3,4),A\o\al(3,3)).设计意图：从具体实例出发，探索组合数的求法．提出问题3：你能想出求Ceq\o\al(m,n)的方法吗？活动设计：小组交流，共同推导．活动成果：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Ceq\o\al(m,n)，可以分如下两步：①先求从n个不同元素中取出m个元素的排列数Aeq\o\al(m,n)；②求每一个组合中m个元素的全排列数Aeq\o\al(m,m)，根据分步乘法计数原理得：Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)·Aeq\o\al(m,m).得到组合数的公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)或Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)(n，m∈N，且m≤n)．规定：Ceq\o\al(0,n)＝1.设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出组合数公式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(运用新知))类型一：组合数公式的应用1计算：(1)Ceq\o\al(4,7)；(2)Ceq\o\al(7,10).解：(1)Ceq\o\al(4,7)＝eq\f(7×6×5×4,4！)＝35；(2)解法1：Ceq\o\al(7,10)＝eq\f(10×9×8×7×6×5×4,7！)＝120.解法2：Ceq\o\al(7,10)＝eq\f(10！,7！3！)＝eq\f(10×9×8,3！)＝120.【巩固练习】求证：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n－m)·Ceq\o\al(m＋1,n).证明：∵Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)，eq\f(m＋1,n－m)·Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(m＋1,n－m)·eq\f(n！,(m＋1)！(n－m－1)！)＝eq\f(m＋1,(m＋1)！)·eq\f(n！,(n－m)(n－m－1)！)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)，∴Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n－m)·Ceq\o\al(m＋1,n).【变练演编】设x∈N*，求Ceq\o\al(x－1,2x－3)＋Ceq\o\al(2x－3,x＋1)的值．解：由题意可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3≥x－1，,x＋1≥2x－3，))解得2≤x≤4，∵x∈N*，∴x＝2或x＝3或x＝4.当x＝2时原式的值为4；当x＝3时原式的值为7；当x＝4时原式的值为11.∴所求的值为4或7或11.类型二：简单的组合问题例2一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛．按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人．问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？思路分析：对于(1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从17个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于(2)，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题．解：(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为Ceq\o\al(11,17)＝12376.(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有Ceq\o\al(11,17)种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有Ceq\o\al(1,11)种选法．所以教练员做这件事情的方式种数为Ceq\o\al(11,17)×Ceq\o\al(1,11)＝136136.【巩固练习】(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？解：(1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段条数为Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,1×2)＝45.(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90.【变练演编】(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n(n>3)边形有多少条对角线？解答：(1)凸五边形的五个顶点中，任意两个顶点的连线是凸五边形的一条对角线或是一条边，所以，凸五边形的对角线条数为Ceq\o\al(2,5)－5＝5.(2)凸n边形的n个顶点中，任意两个顶点的连线是凸n边形的一条对角线或是一条边，所以，凸n边形的对角线条数为Ceq\o\al(2,n)－n＝eq\f(n(n－3),2).【达标检测】1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：(1)从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？(2)从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为()A．42B．21C．7D．63．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有()A．15对B．25对C．30对D．20对答案：1.(1)是组合问题(2)是排列问题2.B3.Aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))1．知识收获：组合概念、组合数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(补充练习))【基础练习】1．A，B，C，D，E5个足球队进行单循环比赛，(1)共需比赛多少场？(2)若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？2．空间有10个点，其中任何4点不共面，(1)过每3个点作一个平面，一共可作多少个平面？(2)以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？3．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？4．写出从a，b，c，d，e这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合．答案：1.(1)10(2)202.(1)Ceq\o\al(3,10)＝120(2)Ceq\o\al(4,10)＝2103.Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝24－1＝15.4．a，b，c，da，b，c，ea，b，d，ea，c，d，eb，c，d，e.【拓展练习】5．第19届世界杯足球赛于2010年夏季在南非举办，共32支球队有幸参加，他们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？解：可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有Ceq\o\al(2,4)＝6场，8个小组共有48场；(2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强