专题01 集合（5知识点+3题型+5考法）（原卷版）

专题1：集合（5知识点+3题型+5考法）知识点一：元素与集合知识点一：元素与集合（1）集合的定义：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）.我们通常用大写拉丁字母A，B，C，...表示集合（2）集合与元素的关系：属于（）与不属于（）关系；若a属于集合A，记作；若b不属于集合A，记作．（3）集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．（重点考查确定性、互异性）（4）集合的表示方法：列举法、描述法、venn图法．（5）常见数集的表示方法及关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．集合的分类：有限集：含有有限个元素的集合；无限集：含有无限各元素的集合；空集：不含任何元素的集合，记为知识点二、集合间的基本关系知识点二、集合间的基本关系(1)子集：对于两个集合A与B，若对A中的任意元素x∈A，必有x∈B，则A⊆B或B⊇A.(2)真子集：若A⊆B，但存在元素x∈B且x∉A；则AB或BA.(3)相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A=B.也就是说，若且，则A=B.(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.知识点三：集合的基本运算知识点三：集合的基本运算（1）交集的概念及表示方法概念符号语言图形语言由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作"A交B")A∩B={x|x∈A,且x∈B}（2）并集的概念及表示方法概念符号语言图形语言由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”)A∪B={x|x∈A,或x∈B}（3）全集与补集的概念及表示方法全集定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．通常记作U.补集的概念及表示：定义概念对于一个集合A，由全集U中不属于集合

A的所有元素组成的集合称为集合A相

对全集U的补集，简称为集合A的补集，

记作∁UA符号

语言∁UA={x|x∈U,且x∉A}图形

语言知识点四：集合的运算性质知识点四：集合的运算性质交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.性质说明满足交换律任何集合与其本身的交集等于它本身任何集合与空集的交集等于空集满足结合律两个集合的交集是其中任一集合的子集任何集合同它的子集的交集等于这个集合的子集，反之亦然满足分配律(2)并集的性质：(3)补集的性质：性质(1)

(2)常用结论有限集A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，则集合A的非空子集有2n－1个，集合A的真子集有2n－1个.集合A的非空真子集有2n－2个题型一：集合的含义及表示【解题方法】：（1）判断一句话能否为集合依据：集合元素的确定性，要成为集合元素必须是确定的，不能出现模棱两可的概念。(2)用描述法表示的集合时，首先要看集合中的代表元素，即确定这个集合是数集还是点集等，然后根据集合元素的限制条件解出不等式。(3)元素与集合的关系求参数时，要学会分类讨论思维；求的结果要注意去检验集合中的元素是否满足互异性.例1．下列各组对象不能构成集合的是（

）A．上课迟到的学生 B．2023年高考数学难题C．所有有理数 D．小于的正整数例2．已知集合，且，则实数为（

）A．2 B．3 C．0或3 D．例3．方程的解集用列举法表示为（

）A． B． C． D．变式训练：4．（多选题）考查下列每组对象，能构成集合的是（

）A．中国各地最美的乡村； B．直角坐标系中横､纵坐标相等的点；C．不小于3的自然数； D．2018年第23届冬季奥运会金牌获得者.5．由实数，，，，所组成的集合，最多含元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．56．若集合中的元素是的三边长，则一定不是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形7．（多选题）若集合，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．8．（多选题）已知x，y，z为非零实数，代数式的值组成的集合是M，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．题型二、集合间的基本关系考法一：判断集合间的基本关系【解题方法】;判断集合关系的三种方法：观察法：先根据条件列出每个集合的部分元素，在根据元素特征来判断集合关系。元素特征法：首先明确集合的元素是什么，弄清楚元素特征，在化简成相同的形式，再利用元素的特征来判断集合关系。数形结合法：化简集合在借助数轴或venn图来判断。例1．（多选题）已知集合，则下列关系正确的是（

）A． B． C． D．A例2．（多选题）以下四个选项表述正确的有（

）A． B．⫋C． D．例3．已知集合，，，，则（

）A． B． C． D．变式训练4．（多选）集合，，则P与T的关系为（

）A． B．C． D．5．（多选题）下列集合中，与相等的是（）A． B．C． D．6．下列五个写法：①；②；③；④；⑤，其中错误写法的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．47．已知集合，，，则，，的关系为（

）A． B．C． D．考法二：集合间的关系求子集和真子集个数【解题方法】：（1）先确定集合中有几个元素，在根据集合中至少几个元素来讨论出子集和真子集的个数；比如说没有元素有几个子集，有一个元素有几个子集......。（2）再利用结论：有限集A中有n个元素，则集合A的子集有2n个，则集合A的非空子集有2n－1个，集合A的真子集有2n－1个.集合A的非空真子集有2n－2个例8．（多选）若{1,2}⊆B{1,2,3,4}，则B=（

）A．{1,2} B．{1,2,3} C．{1,2,4} D．{1,2,3,4}例9．若集合，若的真子集个数是3个，则的范围是.变式训练10．已知集合，则M的真子集个数为（

）A．3 B．5 C．7 D．811．已知集合M满足，则所有满足条件的集合M的个数是（

）A．5 B．6 C．7 D．812．集合的真子集的个数是.考法三：集合间的关系求参数及范围【解题方法】：主要考查两种题：一个是有限集合求参数；一个是无限集求参数问题有限集合：首先根据集合间的关系，列出满足条件子集或真子集个数，在分类分类讨论每种情况求参数，注意检验集合的互异性。无限集合：化简求解出集合，先在数轴上画出已知集合的范围，在根据集合的关系画出满足条件的范围，列出不等式求解。【易错警示】空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．例13．（多选题）若集合，且，则实数的取值为（

）A．0 B．1C．3 D．例14．若，则的值是（

）A．0 B．1 C．-1 D．例15．已知集合，集合，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．变式训练16．若集合，，且，则实数的值是（

）A． B． C．或 D．或或017．设集合，，满足，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．18．已知，，若集合，则的值为.19．设为实数，集合，，满足，则的取值范围是．20．已知，.(1)若是的子集，求实数的值；(2)若是的子集，求实数的取值范围.题型三：集合的运算考法一：集合的综合运算【解题方法】：在求解集合运算先确定元素，在化简集合最后运算求解；确定元素：确实集合中的元素及其满足的条件，如函数定义域、值域、一元二次不等式的解集等等。化简求集合：根据元素满足的条件解方程或者不等式，将集合清晰表示出来。运算求解：利用交、并、补集的定义求解，必要时可借助数轴或venn图求解。例1．已知全集，集合，或，则（

）A． B．C． D．例2．已知全集，集合，，则（

）A． B．C． D．例3．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（

）A． B．C． D．变式训练4．已知是实数集，集合，，则（

）A． B． C． D．5．设集合，若集合，，则（

）A． B．C． D．或6．对于集合A，B，我们把集合且叫做集合A与集合B的差集，记作．现已知集合，，则下列说法不正确的是（

）A． B．C． D．7．（多选题）如图，已知矩形表示全集，、是的两个子集，则阴影部分可表示为（

）

A． B． C． D．考法二：集合运算求参数及范围【解题方法】利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法：（1）确定集合关系：通过集合运算确定集合间的基本关系；（2）有限集合：首先根据集合间的关系，列出满足条件子集或真子集个数，在分类分类讨论每种情况求参数，注意检验集合的互异性。无限集合：化简求解出集合，先在数轴上画出已知集合的范围，在根据集合的关系画出满足条件的范围，列出不等式求解。【易错警示】（1）注意元素的互异性．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误．（2）防范空集．在解决有关等集合问题时，往往容易忽略空集的情况，一定要先考虑时是否成立，以防漏解．例8．设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．例9．已知集合，，若，则的取值范围是.例10．已知集合，，若，则实数的取值范围为.变式训练11．（多选）设集合，若，则a的值为（

）A．0 B．C．1 D．212．设为实数，集合，.(1)若，求，；(2)若，求实数的取值范围.13．已知全集，集合．(1)求,；(2)已知集合，若，求实数的取值范围．一、单选题1．下列各组对象不能构成集合的是（

）A．中国所有直辖市 B．某校高三的聪明学生C．2020年参加强基计划招生的高校 D．中国的四大发明2．已知集合，，则（）A． B．或 C． D．3．已知集合，，则（

）A． B．C． D．4．已知集合，则（

）A． B． C． D．5．若集合，，，则的关系是（）A． B．C． D．6．已知全集，，则（

）A． B． C． D．7．若集合，，则的子集有（

）A．15个 B．16个 C．7个 D．8个8．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（

）名A．7 B．8 C．9 D．109．设集合，集合，，则（

）A． B．C． D．10．设集合.若，则（

）A． B．C．1 D．311．设全集，，，则（

）A． B． C． D．12．已知集合，若A，B均为U的非空子集且，则满足条件的有序集合对的个数为（

）A．16 B．31 C．50 D．8113．设集合，集合，定义，则子集的个数是（

）A． B． C． D．10二、多选题14．如图中阴影部分所表示的集合是（

）

A． B． C． D．15．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（

）A． B．C．若，则 D．若，则16．我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为且，类似地，对于集合A，B我们把集合且，叫作集合A和B的差集，记作，例如：，，