重难点专题50 二项式定理十一大题型汇总（解析版）

重难点专题50二项式定理十一大题型汇总题型1通项公式的运用 1题型2含参二项式 3题型3含有三项的二项式 5题型4两个二项式乘积问题 8题型5二项式系数和问题 10题型6所有项系数和问题 12题型7含有绝对值的求和问题 16题型8系数和相关拓展一 18题型9系数和相关拓展二 21题型10二项式系数最大 23题型11系数最值 26题型1通项公式的运用二项展开式的通项公式：Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1【例题1】（2022下·陕西西安·高三校考阶段练习）二项式x-1x10【答案】5【分析】利用二项式x-1【详解】解：二项式x-1x当r=0,1,2,3,4时，x所以二项式x-1x10的展开式中含故答案为：5【变式1-1】1.（2022上·辽宁铁岭·高三校联考期末）已知(1+2x)n的二项式系数和为256，则展开式中含x【答案】112【分析】根据题意，由条件可得n=8，再由二项式展开式的通项公式，代入计算，即可得到结果【详解】因为二项式系数和为256，所以2n=256，即所以Tr令r=2，则T所以展开式中含x2项的系数为故答案为：112【变式1-1】2.（2022上·江苏扬州·高三邵伯高级中学校考期末）在x+26的展开式中，x2【答案】60【分析】利用二项式展开式通项可求得x2的系数【详解】x+26的展开式通项为令6-k2=2，可得k=2，因此，展开式中故答案为：60.【变式1-1】3.（2022上·四川内江·高三四川省内江市第一中学校考阶段练习）在x+1x8的展开式中，x【答案】28【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】由题意得x+1x令8-2r则x4的系数为C故答案为：28【变式1-1】4.（2022下·北京·高三北京市十一学校校考阶段练习）二项式(3x-【答案】40【分析】根据二项式定理，写出通向，由题意，建立方程，可得答案.【详解】展开式的通项公式为Tk+1=令5-k3-k2故答案为：40．题型2含参二项式利用二项展开式通项公式，待定系数法可求得.注意n值为正整数，可能存在分类讨论的情况.【例题2】（2022上·山东青岛·高三统考期末）若a+x3+a-x4的展开式中含有A．2 B．32 C．32或-2 D．【答案】C【分析】根据二项式展开式的通项公式，可列出方程，即可求得a，即得答案.【详解】由题意a+x3+a即C32a+解得a=-2或a故选：C【变式2-1】1.（2022上·福建泉州·高三校考期中）(x-a)7的展开式中x3的系数为560【答案】±2【分析】利用二项展开式的通项即可得出答案．【详解】解：Tr令7-r=3，得故T5由题意知C74a解得a=±2故答案为：±2.【变式2-1】2.（2022下·上海闵行·高三闵行中学校考开学考试）已知二项式(1+ax)6的展开式中x-【答案】1【分析】利用所给的二项式写出展开式的通项即可求解.【详解】1+ax6当-r=-3，解得：所以由展开式中含x-3的项的系数为20可得：C63故答案为:1.【变式2-1】3.（2022·安徽黄山·统考一模）在x+ax26的展开式中，常数项为【答案】±1【分析】运用二项式定理求解.【详解】由二项式定理知：Tr+1=C6r即C62a2=15故答案为：±1.【变式2-1】4.（2022·四川德阳·统考一模）已知二项式x+2xn【答案】12【分析】根据后三项二项式系数和为79,建立等式,解出即可.【详解】解:由题知二项式的展开式中最后三项的二项式系数和为79,所以Cn即n!化简可得:nn解得:n=-13(舍)或n故答案为:12题型3含有三项的二项式【例题3】（2022上·福建福州·高三福建师大附中校考阶段练习）1+1x-x5A．10 B．5 C．-5 D．【答案】C【分析】利用二项式定理分类讨论即可得答案【详解】1+1x-x5在这5个因式中，有3个因式都选-x，其余2个都选1，或者有4个因式都选-x，剩下的一个因式选1x所以x3项的系数为C故选：C【变式3-1】1.（2022·全国·高三专题练习）(x+yA．10项 B．15项 C．20项 D．21项【答案】B【分析】根据二项式定理的展开式项数即可得出结论.【详解】∵(x由二项式定理可知，x+yn∴(x+y+故选：B．【变式3-1】2.（2022上·山西·高三校联考阶段练习）x-2xA．-479 B．-239 C．1 D【答案】C【分析】根据二项式定理直接求解即可.【详解】解：根据二项式定理，x-2x-1所以，展开式中常数项的情况有以下三种情况：①6个x-2x②6个x-2x-1中有1个选择x项，2个选择-③6个x-2x-1中有2个选择x项，所以，其常数项为：(-1)6故选：C.【变式3-1】3.（2022上·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）x+1-2y6的展开式中，A．60 B．-60 C．120 D．【答案】A【分析】设x+1-2y6的通项为Tr+1=【详解】解：设x+1-2y设(x-2令k所以x4y2故选：A【变式3-1】4.（2022上·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）2x2+y+1A．120 B．160 C．180 D．210【答案】A【分析】将2x2+y+15看作5个因式2x2+y+1相乘，根据【详解】由题意2x2+y+1故选：A题型4两个二项式乘积问题因式相乘型，可以采取乘法分配律，变为两式相加型再转而求对应通项系数【例题4】（2022上·山西·高三校联考期末）2x-y2xA．5 B．15 C．20 D．25【答案】B【分析】根据题意得到2xx+y【详解】因为2x2xx+y2xx由6-k=34-r=3x3y3故选:B.【变式4-1】1.（2022上·广东中山·高三华南师范大学中山附属中学校考开学考试）x3-1【答案】40【分析】先求出x-2x5的展开式通项为Tr【详解】x-2x要求x3-1xx-分别解得：r=4和r因此所求常数项为(-2)4故答案为：40.【变式4-1】2.（2022上·湖南常德·高三统考期末）1x-1x【答案】96【分析】1x-1x13-y+26的展开式的常数项由1【详解】由题，1x-1x13-1x与x13-y-1与x13-所以1x-1故答案为：96.【变式4-1】3.（2022上·广东惠州·高三统考阶段练习）xx-2【答案】-【分析】求得二项式x-2x5的展开式的通项为Tr+1【详解】由二项式x-2x令5-2r=-1，可得所以xx-2故答案为：-80【变式4-1】4.（2022上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知x+1x-15【答案】-【分析】利用二项式展开式的通项进行求解即可.【详解】x-15所以a5故答案为：-题型5二项式系数和问题【例题5】（2022上·四川巴中·高三南江中学校考阶段练习）已知1x-xn的展开式中二项式系数的和是A．252 B．-252 C．210 D．【答案】B【分析】求解先求出n，在利用通项公式求解【详解】由1x-xn的展开式中二项式系数的和是1024，故由二项式定理得展开通项为Tr当r=5时为常数项，故选：B【变式5-1】1.（2022下·四川内江·高三威远中学校校考阶段练习）已知x-2xn【答案】-【分析】先通过2n=64得到n，再写出x-2xn【详解】由x-2xn的展开式中，二项式系数之和为64得则x-2x令6-2r=0所以展开式中常数项为T4故答案为：-160【变式5-1】2.（2022下·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考阶段练习）在(1-2x)n的二项展开式中，所有二项式系数的和为256，则正整数【答案】8【分析】由2n=256得出n【详解】由题意得2n=256，所以故答案为：8【变式5-1】3.（2022上·湖北·高三武钢三中校联考阶段练习）已知2-xn展开式中所有偶数项的二项式系数和为32，则展开式中不含x【答案】161【分析】由题可得n=6，再利用二项展开式的通项公式及赋值法即可求解【详解】因为2-xn展开式中所有偶数项的二项式系数和为所以2n-1所以2-xn=所以令r=3，可得展开式中含x3项的系数为所以展开式中不含x3的各项系数之和为2-1故答案为：161.【变式5-1】4.（2022·全国·高三专题练习）已知(x+2)n的二项展开式中，第三项与第n-2A．280 B．448 C．692 D．960【答案】B【分析】根据第三项与第n-2项的二项式系数和为84，可求得n【详解】由题，Tk因为第三项与第n-2项的二项式系数和为84，所以Cn所以nn-1所以第四项的系数为C8故选：B题型6所有项系数和问题二项展开式中系数和的求法：1.对形如(ax＋b)n,(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；2.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)奇数项系数之和为a偶数项系数之和为a【例题6】（2022·山东德州·统考二模）已知a>0，二项式x+ax2A．36 B．30 C．15 D．10【答案】C【分析】先根据“所有项的系数和”求得a，然后利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】令x=1，则可得所有项的系数和为1+a6=64且∵x+1x∴当k=2时，展开式中的常数项为C故选：C【变式6-1】1.（2022上·辽宁大连·高三统考期末）若二项式ax+1x26A．10 B．15 C．25 D．30【答案】B【分析】根据赋值法可得系数和，进而求解a=1，由二项式展开式的通项公式即可求解常数项【详解】令x=1，则所有的项的系数和为a+16=64，由于x+1x26展开式的通项为Tr+1故选：B【变式6-1】2.（多选）（2022上·重庆·高三重庆市长寿中学校校考阶段练习）已知二项式3x-3xn的展开式中各项系数的和为A．nB．展开式中二项式系数和为128C．展开式中x项的系数为21D．展开式中有3项有理项【答案】BD【分析】根据各项系数的和为-128,令x=1即可得n=7,可得选项A错误,二项式系数和即C70+C71+…+C77=27=128,即可判断选项B的正误,根据二项式定理写出通项【详解】解:由题可得,不妨令x=1得(1-3)n所以n=7故选项A错误;展开式中二项式系数和为C7故选项B正确;展开式的通项公式为Tr令7-4r3=1,展开式中x项的系数为-C故选项C错误;展开式的通项公式为Tr当r=1,4,7时Tr+1故选项D正确.故选:BD【变式6-1】3.（2022·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）在x+2xn【答案】240【分析】由已知求得n=6，再根据二项式通项公式的展开式求出常数项即可【详解】x+2x令x=1，得x+2由题意可得3n2n=729所以x+2x令6-32r=0，解得故答案为：240【变式6-1】4.（2022上·四川成都·高三校考阶段练习）5-3x+2yn展开式中不含y的项的系数和为【答案】15625/5【分析】根据题意，令y的指数为0，得5-3xn，再令x=1，得5-3x+2yn【详解】5-3x+2yn展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为再令x=1，得5-3x+2yn展开式中不含所以n=6因为5-3x所以展开式中的常数项为C6故答案为：15625.题型7含有绝对值的求和问题【例题7】（2022·四川成都·统考模拟预测）若(2x-1)5=A．244 B．243C．242 D．241【答案】C【分析】对偶法，结合二项式展开式的特征，各系数绝对值之和，将二项式中的2x-1改成2x+1【详解】显然(2x+1)5令x=1得a故a1故选：C.【变式7-1】1.（2022上·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）若x2-2x【答案】3092【分析】由多项式分析知：k为奇数，项系数为负；k为偶数，项系数为正，可得a1+a2+⋅⋅⋅+a10=-【详解】由题设，含xk的项中，当k为奇数，项系数为负，而当k所以a1+a令x=0，则a令x=-1所以a1由x可知x10的系数a10为5项中x所以a故答案为：3092.【变式7-1】2.（2022·全国·高三专题练习）已知2-x6=a【答案】729【分析】由二项式定理确定各项的符号，则原式可化为a0【详解】由二项式定理可知，a0、a可得a0故答案为：729【变式7-1】3.（2022·全国·高三专题练习）若(1-x)7=【答案】127【分析】根据题意判断各项系数正负，化简含绝对值的等式，运用赋值法即可得到答案.【详解】因为(1-x所以x奇次方系数为负，x偶次方系数为正，所以a1对于(1-x令x=-1，得a令x=0，得a两式相减，得-a即a1故答案为：127【变式7-1】4.（2022上·黑龙江大庆·高三大庆中学校考开学考试）已知(1-2x)5=【答案】210【分析】根据二项展开式的通项可知展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正，可得a1+a【详解】解：因为(1-2x所以展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正，所以a1(1-2x)5所以a0=1，在二项展开式中，令x=-1可得a0a1故答案为：210．题型8系数和相关拓展一常见的通法是通过赋值使得多项式中的(x-1)变为0和1,,求出展开式的常数项a;【例题8】（2022上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知x-14+2xA．-2 B．2 C．4 D．【答案】C【分析】令x+1=t【详解】令x+1=t，则故x-t-24中t2得系数为C42-所以a2故选：C.【变式8-1】1.（2022上·湖南长沙·高三长沙一中校联考阶段练习）已知Cn3=Cn6，设A．-1 B．0 C．1 D．【答案】D【分析】利用组合数的性质可求得n的值，再利用赋值法可求得a0和a0【详解】因为Cn3=所以2x令x=2，得2×2-39=令x=1，得2×1-3所以a1故选：D.【变式8-1】2.（2022上·四川眉山·高三校考阶段练习）已知2x-3【答案】24【分析】将2x-34写成【详解】2+C∵2x∴a2故答案为:24.【变式8-1】3.（2022上·山东济南·高三山东省济南市莱芜第一中学校考阶段练习）若(1-x)8【答案】112【分析】令t=x+1，则x=t-【详解】令t=x则原题变为：若(2-t)8二项式(2-t)8的通项公式为当r=6时，即T7故答案为：112【变式8-1】4.（2022上·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知1+x5=a【答案】10【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由于1+x所以a3故答案为：10题型9系数和相关拓展二【例题9】（2022·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知x-143【答案】-【分析】赋值法，令x=0、x=1，结合二项式定理展开式求a【详解】因为x-令x=0，可得a令x=1，aa1a7所以a2故答案为：-39【变式9-1】1.（2022上·云南·高三云南民族大学附属中学校考期中）若x-25【答案】-【分析】根据赋值法即可求解奇数项的系数和.【详解】令x=1得，a令x=-1得，a故答案为：-【变式9-1】2.（2022·全国·高三专题练习）设x-12+x3=a0+a1x【答案】－431【分析】a1即为x-1又x-12+x3=x2+=a1+2a2x+3【详解】因x-则a1注意到x=a1+2a得a1+2a2+3a3故答案为：-4；31【变式9-1】3.（2022上·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）设多项式(x+1)6+(【答案】544【分析】分别赋值x=1,x=-1，得到两个等式，两式相加即得偶数项系数的【详解】依题意，令x=1，得到：a10+a10-a9+故答案为：544【变式9-1】4.（2022·全国·高三专题练习）已知1-2x5＝a0【答案】243【分析】根据题意，利用赋值法，令x=-1【详解】解：因为1-2x所以令x=-1，则1+2所以a0故答案为：243题型10二项式系数最大二项式系数的最大项的求法：求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论：（1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；（2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大【例题10】（2022上·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考阶段练习）已知x+2x2n的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】先求出二项式展开的通项公式，分别求出第3项的系数与倒数第3项的系数，由题意得到关于n的方程，即可确定其展开式二项式系数最大项.【详解】x+2x则第3项的系数为Cn2⋅22因为第3项的系数与倒数第3项的系数之比为116所以Cn2⋅22所以展开式中二项式系数最大的项为第5项，故选：C【变式10-1】1.（2022上·河南安阳·高三校联考阶段练习）已知x-2xn的展开式中只有第A．-448 B．-1024 C．-1792 D．-5376【答案】C【分析】先根据二项式系数的性质可得n=8，再结合二项展开式的通项求各项系数ar=-2【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则n∴展开式的通项为T则该展开式中各项系数a若求系数的最小值，则r为奇数且ar-ar∴系数的最小值为a故选：C.【变式10-1】2.（2022上·安徽·高三校联考开学考试）已知(mx+1)nn∈N*,m∈RA．63 B．64 C．247 D．255【答案】C【分析】根据二项式系数的性质求出n，根据a1=8求出m【详解】因为展开式只有第5项的二项式系数最大，所以展开式共9项，所以n=8，∵a1=∴(x+1)8=a0+a1∴a2故选：C．【变式10-1】3.（2022上·四川广安·高三四川省岳池中学校考阶段练习）已知13x-2x【答案】2【分析】先算出n，再写出通项公式，确定x的次数为整数即可【详解】13x-2xn的展开式有n+1项T当r=2时,56r-166=-1,所以展开式中有理项的个数为2故答案为：2【变式10-1】4.（2022上·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）已知二项式x3-2【答案】-【分析】根据二项式系数的性质，可知第4项二项式系数最大，写出展开式的第4项即可得到.【详解】由题意知，n=6.根据二项式系数的性质可得，第4项二项式系数最大T4=故答案为：-160.题型11系数最值二项式系数最大的项与系数最大的项不同，二项式系数最大的项即中间一项或两项；展开始终系数最大的项的求法用解不等式组Tr+1【例题11】（2022·全国·高三专题练习）x-19按xA．第4项和第5项 B．第5项C．第5项和第6项 D．第6项【答案】B【分析】利用二项展开式通项结合二项式系数的单调性可得出结论.【详解】因为x-19其中第5项和第6项的二项式系数最大，但第5项的系数为正，第6项的系数为负，故x-19按x降幕排列的展开式中，系数最大的项是第故选：B.【变式11-1】1.（2022·全国·高三专题练习）在x-12xnA．52x92 B．154x【答案】B【分析】根据奇数项的二项式系数和为2n-1求得【详解】解：因为在x-12所以2n-1则x+=x所以展开式中系数最大的项为154故选：B.【变式11-1】2.（2022·全国·高三专题练习）在(x-ax)5的展开式中，A．5 B．10C．15 D．20【答案】B【分析】求出二项式的通项公式，根据题意求出a，再根据二项式展开式的特征判断系数最大项．【详解】(x-a令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为C5故选：B.【变式11-1】3.（2022上·陕西西安·高三陕西师大附中校考期中）已知(a2+1)n的展开式中各项系数之和等于(165x2【答案】3【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．根据(a2+1)n=【详解】(165Tr令10-5r2=0，解得由题意可得2n=16，故有由于(a2+1)n=(a由于a>0，所以a故答案为：3【变式11-1】4.（2022·全国·高三专题练习）已知(1-3x)n的展开式中各项系数之和为64【答案】1215【分析】利用赋值法，令x=1，则(1-3x)n的展开式各项系数之和为-【详解】令x=1，则(1-3x)n的展开式各项系数之和为由(1-3x)n设二项展开式中第r+1则C6r经验证可得r=4则该展开式中系数最大的项为T5故答案为:1215x1.（2022·甘肃兰州·统考一模）2x-1A．40 B．-40 C．20 D．-20【答案】D【分析】运用二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式2x-1令6-2，所以2x-1故选：D2.（2022·海南·校联考模拟预测）若x+ay6展开式中x3y3【答案】-【分析】求出x+ay6的通项，令r=3【详解】x+ay6令r=3，则C63故答案为：-23.（2022·四川·统考三模）1+1x21+x【答案】30【分析】利用二项式定理及通项公式即可求解.【详解】由题意可知，1+x6展开式的通项公式为T所以1+1x21+x6即含x2项的系数为30故答案为：30.4.（2022·辽宁沈阳·统考三模）若1-2x5=a【答案】243/3【分析】根据二项展开式可得a0+a1【详解】解：1-2x5的展开式得通项为则a0令x=-1，则a即a0故答案为：243.5.（2022·江苏南通·校联考模拟预测）在(x+1)4(y【答案】1024120【分析】利用赋值法计算可得所有项系数之