高中数学 对数 专项训练

4.3对数

基础巩固

1.（2023秋•高一课时练习）将=g化为对数式正确的是（）

,,1-

A.log13=-B.log1-=3

2°2°

I12,11

C.10giT=3D.log3-=-

8z23

【答案】B

【分析】根据指对互化即可求解.

【详解】化为对数式：log,1=3,

l2j858

故选：B

2.（2022•全国•高一专题练习）下列对数式中，与指数式7,=9等价的是（）

A.log7x=9B.log,x=-7C.log79=xD.logY9=7

【答案】C

【分析】根据指数式与对数式的关系直接判断即可.

【详解】对于A,1英7》=9等价于79=X,A错误；

对于B,1咤/=-7等价于9-=x,B错误；

对于C,1。879=》等价于于=9,C正确；

对于D,bg,9=7等价于/=9（x>0,xwl）,D错误.

故选：C.

3.（2023春・湖南长沙•高一长沙市明德中学校考期中）已知bg2X=3,则无的值为（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根据对数的定义运算求解.

【详解】•.Tog2X=3,则x=2'=8.

故选：D.

4.（2021秋•高一课时练习）给出下列说法：

①零和负数没有对数；

②任何一个指数式都可以化成对数式；

③以10为底的对数叫作常用对数；

④以e为底的对数叫作自然对数.

其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根据对数的概念和定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断选择.

【详解】零和负数没有对数，命题①正确；

（一仔=1,不能写成对数式，命题②错误,；

以10为底的对数叫做常用对数，命题③正确；

以e为底的对数叫作自然对数，命题④正确；

故正确命题是①③④，

故选：C.

5.（2023•江苏•高一假期作业）方程lg（/-1）=炮（2工+2）的根为（）

A.-3B.3

C.-1或3D.1或一3

【答案】B

【分析】根据对数把原方程转化为一元二次方程，注意对数的真数大于0.

x?-1—2x+2

【详解】由lg，-l）=lg（2x+2）,得「「I〉。，

2%+2>0

x2—2x-3=0

即,解得》=3,

2x+2>0

所以方程lg（/T）=lg（2x+2）的根为3.

故选：B

6.(2022・全国•高一专题练习)方程bg2X=g的解为()

A.；B.—C.D.-72

242

【答案】D

【分析】把对数式化为指数式即可得出.

【详解】方程bg2X=；,化为：x=2；=也.

故选：D.

7.(2023・高一课时练习)已知log3(log2X)=0,那么x=()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】根据对数的定义，先求出log?》，进而求出x.

【详解】H^jlog3(log2x)=0,所以log2X=l,则x=2.

故选：B.

8.(2023秋・山东荷泽・高一校联考期末)(log43+log83)(log32+log92)=()

54

A.-B.-C.15D.12

45

【答案】A

【分析】运用对数的运算性质进行求解即可.

(log43+log83)(log32+log,2)

2

5

-----X-----

41g2lg3

5

4

故选：A

9.(2023秋・河南郑州•高三校考阶段练习)下列结果正确的是()

B.log。(MN)=log。M+log.N

D.(log32+log92)•(log43+log83)=|

a^\[a=&

【答案】D

【分析】根据指数幕运算及对数运算公式判断各个选项.

【详解】对A：当〃为偶数且时，=\a\=—a,故A不正确;

对B：只有M>0,N〉0时，log.（AW）=log.M+log.N才成立，故B不正确;

对D：(log32+log92)-(log43+log83)=(log32+；log32)-(|log23+|log23)

31c31n251n35

=—log.2,—10g3=------------------=—故D正确;

23622In36In24

故选：D

log23

10.（2023•浙江温州•高二统考学业考试）2+log2V2=（）

57L

A.—B.3C.-D.3+V2

【答案】C

【分析】根据对数的运算可求得答案.

1

【详解】原式=2晦3+bg2收=3+噫25

=3+ri

故选：C.

11.（2022秋•广东东莞•高一校联考期中）（多选题）下列四个命题：①lgio=l；②若2，=N,则

x=log27V；③lg(lne)=l；④lg(lnl)=0.其中真命题是()

A.①B.②C.③D.④

【答案】AB

【分析】根据对数的概念和常见底数的对数逐一判断每个选项

【详解】①lgl0=log/0=l,正确；

②根据指数式和对数式的互化可知其正确；

③lg(lne)=lgI=O,错误;

（4）lg（lnl）=lg0,对数的真数部分是正数，因此IgO无意义，错误.

故选：AB

12.（2023秋•高一课时练习）（多选题）下列指数式与对数式的互化，正确的一组是（）

A.e°=l与lnl=0

-1-11

B.273与log27§=一§

C.log?4=2与%=2

D.logs5=1与5=5

【答案】ABD

［分析］根据指数式与对数式的互化公式aN=b^log,6=N伍>0且aN1,N>0)可得答案.

【详解】根据指数式与对数式的互化公式，=601。86="仅>0且。/1,双>0）可知，ABD正确;

对于C,1(^4=204=22,故C错误.

故选：ABD

13.（2023春•广东东莞•高一校考期中）（多选题）下列指数式与对数式互化正确的是（）

二11

A.10。=1与lgl=0B.273=§与k）g27]=-3

C.1超5=1与5=5D.lnN=g与N=（g）°

【答案】AC

【分析】根据优="=》=108,双逐项判断即可求解.

【详解】依题意，由/=Nnx=log,N可得：

对于A：10°=1=>Igl=0,故A正确；

-1111

对于B：273=—nk）g—,故B错误；

32733

对于C：log55=l=>5'=5,故C正确；

11

对于D：lnN=—=0=N,故D错误；

2

故选：AC.

14.（2023秋•高一课时练习）（多选题）下列各式不正确的是（）

222

A.loga(Z>-c)=21ogaZ,-21ogacB.(loga3)=21oga3

Igl5lg5.1

C.=lg5D.7^=logi—

lg3lg2725

【答案】ABC

【分析】根据对数的运算性质，以及对数的换底公式，逐项运算，即可求解.

2222

【详解】对于A中，2logfl-2logflc=logab-logac=logaloga(b-c),所以A错误;

c

对于B中，由2log.3=log,32*(log.3)2,所以B错误;

对于C中，由对数的换底公式，可得整=log315/lg5,所以c错误；

1g3

lgJ_2

对于D中，由对数的换底公式，可得log12=T=用=譬，所以D正确.

25

7lg1口lg2

故选：ABC.

15.(2021秋・广东汕尾•高一海丰县海城仁荣中学校考阶段练习)下列运算正确的是()

A.ig(igio)=o

B.Ig2+lg5-eta3=-2

C.

221、5Z2

D.2/於［一54办--a3b3

2

【答案】ABD

【分析】根据对数的运算性质可判断AB；根据指数幕的运算性质可判断CD.

【详解】对于A,lg(lglO)=lgl=O,故A正确;

对于B,lg2+lg5-eM=lglO-3=-2,故B正确;

+1=(V2-1)-(V2-1)+1=1,故C错误；

c,24215r72

=--a33〃33=Sb3,故D正确.

22

故选：ABD.

16.(2021,高一课时练习)已知3"=27,lgb=。，则。=,b=.

【答案】31000

【解析】根据指数式与对数式的互化求解即可.

3

【详解】解：将3"=27化成对数形式得：a=log327=log33=3;

故lg6=a=3化成指数形式得：Z,=IO3=1OOO.

故答案为：3；1000.

17.（2023・高一课时练习）若log2'=§，贝！J%=;若log》3=-2,贝！Jx=.

【答案】次且

3

【分析】由10gM=；,转化为指数式求解；由log,3=-2转化为指数式求解.

【详解】因为logzx=；,

所以X==次

因为1呜3=-2

所以短2=3,

解得工=也

3

故答案为：（1）蚯；（2）走.

3

【点睛】本题主要考查指数与对数转化与运算，属于基础题.

18.（2019秋•浙江宁波•高一效实中学校考期中）化简求值：

（1）（g）T+（1）°一如+（0.064）-3=；

（2）若4"=5"=加，且工+：=2,则旭=_______.

ab

a

【答案】-j2V5

【分析】（1）根据指数运算法则计算求解;

（2）首先指对互化，a=log4机，b=\^5m,（加＞0）,再根据对数运算法则求解.

3L

【详解】（1）原式=3+1-（22）3+［（0,4）1=4-23+（0.4尸

(2)a=log4m,b-log5m,(m>0)

1111

—+—=--------+---------=loga4+logm5=logM20=2

ablog4mlog5m

/.m2=20,•/m>0

m=2Vs.

a

故答案为-5;2A/5

【点睛】本题考查指数和对数运算，意在考查计算，变形和转化能力，属于基础题型.

19.（2023春•山东潍坊•高二校考阶段练习）把28=256写成对数式.

【答案】log2256=8

【分析】根据指数与对数的关系直接求解.

【详解】28=256写成对数式为log2256=8.

故答案为：log2256=8

20.（2022春・江西赣州•高一校考期中）3嗨12的值.

【答案】12

【分析】根据对数恒等式计算即可.

【详解】由对数恒等式得3加声=12，

故答案为：12.

21.（2023秋,江苏宿迁•高一江苏省泗阳中学校考期末）83+2峪3一lg；_21g2=.

【答案】6

【分析】根据对数的运算法则及嘉的运算性质计算可得.

【详解】83+2log23-lgj-21g2

=（2小+3-卜|+底）

=23^+3-lg^jx22^

=4+3-l=6.

故答案为：6

22.（2023秋・贵州铜仁•高三贵州省思南中学校考阶段练习）Ig2-lg^+31g5-log32xlog49=

【答案】2

【分析】利用对数运算的性质求值即可.

【详解】JM^,=lg2+21g2+31g5-2x^-xlog32xlog23=3（lg2+lg5）-l=31gl0-l=2.

故答案为：2

23.（2024秋,四川广安•高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）计算:

£

7

病-弓）+（log23）x（log34）=-------

【答案】y

【分析】根据指数幕和对数运算公式，化简求值.

32,“c35cl5

【详解】原式=Q4尸-['J+log24=2--+2=y

故答案为：—

24.（2023秋•重庆•高三校联考开学考试）计算：0.125号-［黑］-log225xlog34xlog59=

【答案】-7

【分析】根据分式指数嘉运算法则及换底公式计算即可得出结果.

【详解】易知原式=（。5）］一1一譬x詈x鲁=0.5一一1一箸x詈义鲁

''1g21g3lg5lg2lg3lg5

=2-l-8=-7

故答案为：-7

25.（2023•全国•高一专题练习）求下列各式中x的值.

(l)log2(log5x)=0；

(2)log3(lgx)=l；

⑶logs(1吗(logs*))=0.

【答案】(1)5；

(2)1000；

⑶625.

【分析】（1）利用对数式与指数式的关系化简即可；

（2）利用对数式与指数式的关系结合指数运算性质化简即可;

（3）利用对数式与指数式的关系结合指数运算性质化简即可.

【详解】（1）log2（log5x）=0,

1

log5x=2°=1,x=5=5；

(2)log3(lgx)=l,

Igx=31=3,

.­,x=103=1000;

(3)由1083(1084(1085")=。可得，log4(log5X)=l,

故logsx=4,所以x=5"=625.

26.(2022・全国•高一专题练习)将下列指数式与对数式互化:

(l)log216=4；

⑵logj27=-3；

3

(3)log^x=3.

⑷53=125；

⑸万=》

哂=9.

【答案】⑴2'=16；

哂=27；

⑶(e)=x；

⑷logs125=3；

⑸bg2；=T；

⑹1%9=-2

3

【分析】(1)(2)(3)(4)(5)(6)利用指数式与对数式的互化公式直接求解作答.

【详解】(1)因为logzl6=4,所以有:24=16.

（2）因为bg/7=-3,所以有：Qy=27.

（3）因为log^x=3,所以有：

（4）因为53=125,所以有：logs125=3.

（5）因为万=g,所以有：log2；=-l.

（6）因为曾=9,所以有：bgJ=-2.

能力提升B组

27.（2023秋•广东揭阳,高三普宁市第二中学校考阶段练习）为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好

污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染

物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为2.25g/n?,首次改良工艺后排放的废

水中含有的污染物数量为2.21g/m3,第〃次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量/满足函数模型

025+（

1r0+（r,-r0）-3"（ZeR,"eN*）,其中“为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量，外为首次改

良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，〃为改良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过

0.25g/n?时符合废水排放标准，若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（）（参

考数据：增2々0.30,坨3处0.48）

A.15次B.16次C.17次D.18次

【答案】B

【分析】利用5，6的值求出3可得5=2.25-0.04X3°25（I）,依题意列出不等式，解不等式即可求得答案.

【详解】由题意知“=2.25g/n?力=2.21g/n?,

当〃=1时，4=%+（4_%）X3.25+\故3"25”=I,t=-0.25,

故2=2.25-0.04乂30（1）,

由々V0.25得3。颂2）＞50,即025（〃警,

4（2-lg2）

则,E”+1x15.17,而“eN*,故“216,

lg3

故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要16次，

故选：B

28.（2023•江西景德镇•统考三模）中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个伟大的创造.据

史料推测，算筹最晚出现在春秋晚期战国初年，算筹记数的方法是：个位、百位、万位L的数按纵式的数

码摆出、十位、千位、十万位L的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为|口三一J

纵式：1IIIII1111IIIIITTTW

横式：--------———±旦上

123456789

1-9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则3嗨32的运算结果可用算筹表示（）

-||=III±||^

c-W=TTD-TT=W

【答案】A

【分析】根据题意，由3脸32=243,结合算筹的表示，即可得到结果.

【详解】因为3嗨g=3$=243,由题中所给表示数码知243可用A选项中的算筹表示.

故选：A

29.（2023秋•湖南长沙♦高三湖南师大附中校考阶段练习）为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》

规定：汽车驾驶员血液中的酒精含量不得超过0Q9mg/mL.据仪器监测，某驾驶员喝了二两白酒后，血液中

的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL,在停止喝酒后，血液中每小时末的酒精含量都比上一个小时末减少25%,

那么此人在开车前至少要休息（参考数据：lg2*0.301,lg3a0.477）（）

A.4.1小时B.4.2小时C.4.3小时D.4.4小时

【答案】B

【分析】根据题意列不等式，然后利用对数运算公式解不等式即可.

【详解】设经过x小时，血液中的酒精含量为九则y=03x（1-25%）'=0.3x0.75".

由0.3x0.75,W0.09,得0.75*40.3,贝I]xlg0.75Wlg0.3.因为lg0.75<0,则

lg0.3_lg3-l0.477-1

X2---------------------------~----------------------二——=4.184<4.2所以开车前至少要休息4.2小时.

1g0.751g3-1g40.477-0.602125

故选：B.

30.（2023・全国•高一专题练习）一科研人员研究45两种菌.已知在任何时刻4a两种菌的个数乘积为定

值10%为便于研究，科研人员用乙=lg（町）来记录A菌个数的资料，其中%为A菌的个数，则下列说法:

①月21；②若今天的乙值比昨天的与值增加1,则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多了10个；③假设

科研人员将8菌的个数控制为5万个，则此时5＜乙＜5.5.其中正确的序号为

【答案】③

【分析】根据对数函数的性质逐个验证，对于①和②举出一个反例即可排除错误答案，从而得到正确答

案.

【详解】对于①，当犯＜10时，则有月＜1,故①不正确.

对于②，乙值增加1,则个数变为原来的10倍，而不是增加10个，故②不正确.

1nlO

对于③，将3菌个数控制为5万个时，A菌个数为」二=2x105,

5xl04

贝乙=lg(肛)=lg(2xl()5)=5+lg2,止匕时有5＜乙＜5.5,

故③正确.

故答案为：③